2025年下學期初中數學幾何壓軸題突破試卷一、三角形綜合題（25分）題目：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為AB中點，點P從點A出發(fā)沿AC方向以每秒1個單位長度的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向以每秒2個單位長度的速度向點B運動，設運動時間為t秒（0≤t≤4）。（1）用含t的代數式表示線段PD、PQ的長度；（2）當t為何值時，△PDQ為等腰三角形？（3）在點P、Q運動過程中，線段PQ的中點M所經過的路徑長為多少？解析：（1）關鍵思路：利用直角三角形斜邊中線性質及勾股定理。由勾股定理得AB=10，D為AB中點，故CD=AD=BD=5。過D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，易證DE、DF為中位線，DE=4，DF=3，AE=3，CF=4。AP=t，CQ=2t，故PE=|3-t|，PF=4-2t，∴PD=√(PE2+DE2)=√[(3-t)2+42]=√(t2-6t+25)，PQ=√(PC2+CQ2)=√[(6-t)2+(2t)2]=√(5t2-12t+36)。（2）分類討論：等腰三角形需分三種情況。當PD=PQ時：√(t2-6t+25)=√(5t2-12t+36)，解得t=(-1±√5)/2（舍負），t=(√5-1)/2；當PD=DQ時：DQ=√(QF2+DF2)=√[(4-2t)2+32]，同理列方程解得t=1或t=3；當PQ=DQ時：√(5t2-12t+36)=√[(4-2t)2+9]，解得t=0或t=12（舍）。綜上，t=(√5-1)/2或1或3。（3）軌跡分析：建立坐標系，C為原點，AC為x軸，BC為y軸，M為PQ中點，坐標為((6-t)/2,t)，消去t得y=(-1/2)x+3（3≤x≤6），故路徑長為√[(6-3)2+(0-3)2]=3√2。二、四邊形動態(tài)題（30分）題目：如圖2，在正方形ABCD中，AB=4，點E為BC邊上一動點（不與B、C重合），將△ABE沿AE翻折得△AFE，延長EF交CD于點G，連接AG。（1）求證：△AFG≌△ADG；（2）設BE=x，CG=y，求y與x的函數關系式；（3）當△ECG為等腰三角形時，求BE的長。解析：（1）全等判定：折疊性質+HL定理。由折疊得AF=AB=AD，∠AFE=∠B=90°，故∠AFG=90°=∠D，又AG=AG，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL）。（2）方程思想：設BE=x，則EC=4-x，EF=x，FG=GD=4-y，EG=x+4-y，在Rt△ECG中，EG2=EC2+CG2，即(x+4-y)2=(4-x)2+y2，化簡得y=(-2x2+8x)/8=(-x2+4x)/4（0<x<4）。（3）分類討論：等腰△ECG需分三種情況。當EC=CG時：4-x=y，代入y=(-x2+4x)/4，解得x=0（舍）或x=4（舍）；當EC=EG時：4-x=x+4-y，結合y=(-x2+4x)/4，解得x=2；當CG=EG時：y=x+4-y，即2y=x+4，代入得x=4（舍）或x=4/3。綜上，BE=2或4/3。三、圓與幾何綜合題（35分）題目：如圖3，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB。（1）求證：CD是⊙O切線；（2）若AD=3，AC=2√6，求⊙O半徑；（3）在（2）條件下，點E為⊙O上一動點（不與A、B重合），連接CE、BE，求△CBE面積的最大值。解析：（1）切線判定：連OC，證OC⊥CD。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC=∠OCA，∴AD∥OC，又AD⊥CD，故OC⊥CD，即CD為切線。（2）勾股定理+相似：在Rt△ADC中，CD=√(AC2-AD2)=√(24-9)=√15，連BC，AB為直徑，∠ACB=90°=∠ADC，∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴AD/AC=AC/AB，即3/(2√6)=2√6/AB，解得AB=8，半徑為4。（3）面積最值：當點E到BC距離最大時，S△CBE最大，此時E為優(yōu)弧BC中點。由AB=8，AC=2√6，得BC=√(AB2-AC2)=√(64-24)=√40=2√10，圓心O到BC距離d=√(OB2-(BC/2)2)=√(16-10)=√6，故E到BC最大距離為d+OB=√6+4，S△CBE最大值=1/2×BC×(√6+4)=1/2×2√10×(√6+4)=√60+4√10=2√15+4√10。四、幾何探究題（40分）題目：【模型引入】“隱圓”模型：若動點到定點距離等于定長，則動點軌跡為圓?！締栴}解決】如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點P是對角線AC上一動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°得BQ，連接PQ、CQ。（1）求證：△ABP≌△CBQ；（2）若AP=√2，求PQ的長；（3）點P在運動過程中，CQ的最小值為多少？（4）拓展：若點P在正方形內運動，且∠BPC=90°，求CP+√2BP的最小值。解析：（1）旋轉性質：BP=BQ，∠PBQ=90°，∠ABC=90°，∴∠ABP=∠CBQ，又AB=BC，∴△ABP≌△CBQ（SAS）。（2）勾股定理：AP=√2，AC=4√2，∴PC=3√2，△ABP≌△CBQ，∴CQ=AP=√2，∠BCQ=∠BAC=45°，∠ACB=45°，∴∠PCQ=90°，PQ=√(PC2+CQ2)=√(18+2)=√20=2√5。（3）軌跡法：由△ABP≌△CBQ得CQ=AP，點P在AC上，AP最小值為0（P與A重合），但P不與A重合，當P與C重合時，CQ=AP=4√2，故CQ無最小值（趨近于0）。（4）隱圓模型：∠BPC=90°，∴點P在以BC為直徑的圓上（不含B、C），設BC中點為O，半徑r=2，BP為圓O的弦，構造√2BP：在BO延長線上取點D，使OD=OB=2，則△BPD∽△BOD（SAS），PD=√2BP，∴CP+√2BP=CP+PD≥CD=√(BC2+BD2)=√(16+32)=√48=4√3（當C、P、D共線時取等）。五、動點與最值綜合題（40分）題目：如圖5，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點D為BC中點，點E、F分別為AB、AC上動點，且∠EDF=90°。（1）求證：△BDE∽△CFD；（2）設BE=x，CF=y，求y與x的函數關系式；（3）線段EF的最小值為多少？解析：（1）相似判定：∠B+∠C=90°，∠EDF=90°，∴∠BDE+∠CDF=90°，又∠CDF+∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CFD，且∠B=∠C，∴△BDE∽△CFD。（2）比例線段：BC=5，D為中點，BD=CD=2.5，BE=x，AE=3-x，CF=y，AF=4-y，由相似得BE/CD=BD/CF，即x/2.5=2.5/y，∴y=6.25/x（1.25≤x≤3）。（3）二次函數最值：EF2=(3-x)2+(4-y)2，代入y=25/(4x)，EF2=(3-x)2+(4-25/(4x))2，令t=x，求導