2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽解析幾何試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知點A(1,2)和點B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是解析：①求AB中點坐標(biāo)：(\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(2,1))；②求AB斜率：(k_{AB}=\frac{0-2}{3-1}=-1)，則垂直平分線斜率為(k=1)（負(fù)倒數(shù)）；③由點斜式得方程：(y-1=1\cdot(x-2))，化簡為(x-y-1=0)。答案：無正確選項（注：原題選項可能存在排版誤差，正確方程應(yīng)為(x-y-1=0)）。圓(x^2+y^2-4x+6y-3=0)的圓心坐標(biāo)是解析：將方程配方：((x^2-4x)+(y^2+6y)=3)，即((x-2)^2-4+(y+3)^2-9=3)，整理得((x-2)^2+(y+3)^2=16)。答案：A.(2,-3)拋物線(y^2=8x)的焦點坐標(biāo)是解析：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為(y^2=2px)（開口向右），對比得(2p=8\Rightarrowp=4)，焦點坐標(biāo)為((\frac{p}{2},0)=(2,0))。答案：A.(2,0)橢圓(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1)的焦距是解析：由橢圓方程知(a^2=9)，(b^2=4)，則(c^2=a^2-b^2=5\Rightarrowc=\sqrt{5})，焦距(2c=2\sqrt{5})。答案：B.(2\sqrt{5})雙曲線(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)的漸近線方程是解析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)，漸近線方程為(y=\pm\frac{a}x)。此處(a=4)，(b=3)，故漸近線為(y=\pm\frac{3}{4}x)。答案：無正確選項（注：原題選項可能缺失，正確方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)）。點P(x,y)在直線(y=x)上，且以P為圓心、半徑為3的圓與y軸相切，則點P的坐標(biāo)是解析：①圓與y軸相切，則圓心橫坐標(biāo)絕對值等于半徑，即(|x|=3\Rightarrowx=3)或(x=-3)；②又因點P在(y=x)上，故坐標(biāo)為(3,3)或(-3,-3)。答案：(3,3)或(-3,-3)（注：可作為填空題答案）橢圓(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1)的離心率是解析：(a=5)，(b=4)，則(c=\sqrt{a^2-b^2}=3)，離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5})。答案：(\frac{3}{5})（注：可作為填空題答案）已知直線(y=kx+3)與圓((x-2)^2+(y-1)^2=4)相切，則k的值是解析：圓心(2,1)到直線距離等于半徑2，即(\frac{|2k-1+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2)，化簡得(|2k+2|=2\sqrt{k^2+1})，兩邊平方后解得(k=0)或(k=-\frac{4}{3})。答案：(k=0)或(k=-\frac{4}{3})（注：可作為填空題答案）雙曲線(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1)的實軸長是解析：焦點在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，實軸長(2a=2\times3=6)。答案：6（注：可作為填空題答案）拋物線(x^2=-4y)的準(zhǔn)線方程是解析：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為(x^2=-2py)（開口向下），(2p=4\Rightarrowp=2)，準(zhǔn)線方程為(y=\frac{p}{2}=1)。答案：(y=1)（注：可作為填空題答案）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）已知點A(2,-3)，B(-4,1)，則線段AB的長度是__________。解析：由兩點間距離公式：(AB=\sqrt{(-4-2)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13})。答案：(2\sqrt{13})直線(3x+4y-12=0)與x軸的交點坐標(biāo)是__________。解析：令(y=0)，則(3x=12\Rightarrowx=4)，交點為(4,0)。答案：(4,0)橢圓(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1)的離心率為(\frac{1}{2})，則m的值是__________。解析：分兩種情況：①焦點在x軸上（(m>4)）：(a^2=m)，(b^2=4)，(c^2=m-4)，(e=\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{2})，解得(m=\frac{16}{3})；②焦點在y軸上（(m<4)）：(a^2=4)，(b^2=m)，(c^2=4-m)，(e=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{1}{2})，解得(m=3)。答案：3或(\frac{16}{3})若直線(y=2x+b)與圓(x^2+y^2=5)相切，則b的值是__________。解析：圓心(0,0)到直線距離等于半徑(\sqrt{5})，即(\frac{|b|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}\Rightarrow|b|=5\Rightarrowb=\pm5)。答案：(\pm5)拋物線(y=ax^2)的焦點坐標(biāo)是((0,1))，則a的值是__________。解析：方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x^2=\frac{1}{a}y)，焦點坐標(biāo)為((0,\frac{1}{4a}))，則(\frac{1}{4a}=1\Rightarrowa=\frac{1}{4})。答案：(\frac{1}{4})已知雙曲線的漸近線方程為(y=\pm2x)，且過點(1,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________。解析：設(shè)雙曲線方程為(y^2-4x^2=\lambda)（漸近線(y=\pm2x)的統(tǒng)一形式），代入點(1,2)得(4-4=\lambda=0)（矛盾），修正為(4x^2-y^2=\lambda)，代入得(4-4=\lambda=0)（仍矛盾），重新設(shè)焦點在y軸：(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，(\frac{a}=2\Rightarrowa=2b)，方程為(\frac{y^2}{4b^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，代入(1,2)得(\frac{4}{4b^2}-\frac{1}{b^2}=0)，無解。答案：(y^2-4x^2=0)（注：該點在漸近線上，雙曲線不存在，可能題目數(shù)據(jù)有誤）三、解答題（本大題共5小題，共70分）17.（14分）已知直線(l:y=kx+2)與橢圓(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1)相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB})，求k的值。解析：聯(lián)立直線與橢圓方程：[\begin{cases}y=kx+2\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}]代入消元得：(\frac{x^2}{4}+\frac{(kx+2)^2}{2}=1)，化簡為((1+2k^2)x^2+8kx+4=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則：[x_1+x_2=-\frac{8k}{1+2k^2},\quadx_1x_2=\frac{4}{1+2k^2}]由(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB})得(x_1x_2+y_1y_2=0)，其中(y_1y_2=(kx_1+2)(kx_2+2)=k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4)。代入得：[x_1x_2+k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4=0][(1+k^2)\cdot\frac{4}{1+2k^2}+2k\cdot\left(-\frac{8k}{1+2k^2}\right)+4=0]化簡：[\frac{4(1+k^2)-16k^2}{1+2k^2}+4=0\Rightarrow\frac{4-12k^2}{1+2k^2}=-4\Rightarrow4-12k^2=-4-8k^2\Rightarrowk^2=2\Rightarrowk=\pm\sqrt{2}]答案：(k=\pm\sqrt{2})18.（14分）已知圓C的圓心在直線(x-2y=0)上，且與y軸相切于點(0,1)，求圓C的方程及過點(1,2)的切線方程。解析：（1）求圓C方程：①圓心在(x=2y)上，設(shè)圓心((2a,a))；②與y軸相切于(0,1)，則圓心縱坐標(biāo)(a=1)，半徑(r=|2a|=2)；③圓心為(2,1)，方程為((x-2)^2+(y-1)^2=4)。（2）求過點(1,2)的切線方程：①點(1,2)在圓上（代入圓方程：((1-2)^2+(2-1)^2=2<4)，實際在圓內(nèi)，注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯誤，若點為(4,1)（圓上點），切線方程為(x=4)；②若點在圓外，設(shè)切線方程(y-2=k(x-1))，由圓心到直線距離等于半徑得：[\frac{|2k-1-k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2\Rightarrow|k+1|=2\sqrt{k^2+1}\Rightarrowk^2+2k+1=4k^2+4\Rightarrow3k^2-2k+3=0]判別式(\Delta=4-36=-32<0)，無實數(shù)解，故點(1,2)在圓內(nèi)，不存在切線。答案：圓方程((x-2)^2+(y-1)^2=4)；點(1,2)在圓內(nèi)，無切線。19.（14分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))，求橢圓E的方程及以橢圓右焦點為圓心、半徑為2的圓與橢圓E的交點坐標(biāo)。解析：（1）求橢圓方程：由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}a^2}=1)，即(x^2+4y^2=a^2)。代入點(2,1)：(4+4=a^2\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）求交點坐標(biāo)：右焦點(F(c,0)=(\sqrt{8-2},0)=(\sqrt{6},0))，圓方程為((x-\sqrt{6})^2+y^2=4)。聯(lián)立橢圓與圓方程：[\begin{cases}x^2+4y^2=8\(x-\sqrt{6})^2+y^2=4\end{cases}]由②得(y^2=4-(x-\sqrt{6})^2)，代入①：[x^2+4[4-(x^2-2\sqrt{6}x+6)]=8\Rightarrowx^2+16-4x^2+8\sqrt{6}x-24=8\Rightarrow-3x^2+8\sqrt{6}x-16=0]解得(x=\frac{8\sqrt{6}\pm\sqrt{384-192}}{6}=\frac{8\sqrt{6}\pm\sqrt{192}}{6}=\frac{8\sqrt{6}\pm8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\pm4\sqrt{3}}{3})。因(x\leqa=2\sqrt{2}\approx2.828)，(\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{3}\approx\frac{9.798+6.928}{3}\approx5.575>2.828)（舍去），故(x=\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3})。代入(y^2=4-\left(\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{6}\right)^2=4-\left(\frac{\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3}\right)^2)，計算得(y=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3})。答案：交點坐標(biāo)(\left(\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3},\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\right))20.（14分）已知拋物線(y^2=4x)的焦點為F，過F的直線l與拋物線交于A、B兩點，若|AB|=8，求直線l的方程。解析：拋物線焦點(F(1,0))，設(shè)直線l斜率為k，方程為(y=k(x-1))（k不存在時為(x=1)，此時|AB|=4≠8，舍去）。聯(lián)立拋物線方程：[\begin{cases}y=k(x-1)\y^2=4x\end{cases}]消元得(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則：[x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2},\quadx_1x_2=1]由拋物線焦點弦長公式：(|AB|=x_1+x_2+p=2+\frac{4}{k^2}+2=4+\frac{4}{k^2}=8\Rightarrow\frac{4}{k^2}=4\Rightarrowk^2=1\Rightarrowk=\pm1)。直線方程為(y=x-1)或(y=-x+1)。答案：(y=x-1)或(y=-x+1)21.（14分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為2，且過點((3,\sqrt{3}))，求雙曲線C的方程及漸近線方程，并求以雙曲線的兩條漸近線為對稱軸、且過點(2,1)的橢圓方程。解析：（1）求雙曲線方程：由(e=2)得(c=2a)，(b^2=c^2-a^2=3a^2)，方程為(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1)。代入點(3,(\sqrt{3}))：(\frac{9}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1\Rightarrow\frac{8}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=24)，方程為(\frac{x^2}{8