2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽水平認(rèn)證試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足a2+4b2=1，則2ab/(|a|+2|b|)的最大值為（）A.√2/4B.1/2C.√2/2D.2√2/5若關(guān)于x的方程x?+ax3+bx2+ax+1=0有實(shí)根，則a2+b2的最小值為（）A.2B.4C.6D.8在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A.24/5B.12/5C.6√5/5D.12√5/5已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=2025，且a≤b≤c，則abc的最大值為（）A.20253/27B.675×675×675C.674×675×676D.673×676×676如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=2EC，CF=2FD，連接AE、AF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、N，則MN的長(zhǎng)度為（）A.5/3B.10/3C.15/4D.20/7已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程f(x)=m有四個(gè)不同的實(shí)根，則m的取值范圍是（）A.(0,1)B.[0,1]C.(1,2)D.[1,2]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PC|=4，則|PB|2+|PD|2的最大值為（）A.14B.16C.18D.20已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若S?=7，S?=63，則數(shù)列{1/a?}的前n項(xiàng)和T?=（）A.(2?-1)/3B.(4?-1)/3C.(2?-1)/2D.(4?-1)/4一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字之和為18，且N能被18整除，則N的最小值為（）A.189B.198C.288D.378如圖，⊙O?與⊙O?外切于點(diǎn)P，半徑分別為2和3，AB是兩圓的外公切線，A、B為切點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度為（）A.2√6B.3√6C.2√10D.3√10二、填空題（共8題，每題6分，共48分）計(jì)算：(20253-2×20252-2023)/(20253+20252-2026)=_________已知x、y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為_(kāi)________在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，且DE∥AB，將△CDE沿DE翻折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，則CD的長(zhǎng)度為_(kāi)________已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1,2)，則不等式cx2-bx+a<0的解集為_(kāi)________如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)度為_(kāi)________從1到2025這2025個(gè)正整數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)________已知函數(shù)f(x)=x2-2x，g(x)=kx-1，若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不同的實(shí)根，則k的取值范圍是_________在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2=1，Q(2,0)，則|PQ|的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________三、解答題（共4題，19題16分，20題18分，21題20分，22題28分，共82分）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,2)，且與x軸交于A(x?,0)、B(x?,0)兩點(diǎn)，其中x?<x?，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。（1）若x?-x?=2，求函數(shù)f(x)的解析式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值。如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AB=5，BC=6，求DF的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求△ADE的面積。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+n+1(n∈N*)。（1）求證：數(shù)列{a?+n+2}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)b?=a?/(2?)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,4)，B(4,0)，C(-4,0)，D(0,-4)，點(diǎn)P是四邊形ABCD邊界上的動(dòng)點(diǎn)。（1）求四邊形ABCD的面積；（2）若點(diǎn)P在AB上，且滿足OP⊥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）設(shè)點(diǎn)P(x,y)，求x+y的最大值和最小值。四、附加題（共2題，每題25分，共50分，不計(jì)入總分）已知正整數(shù)n≥2，求證：1+1/22+1/32+…+1/n2<2-1/n在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，點(diǎn)D在AB上，且AD=BC，求∠ACD的度數(shù)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.A4.C5.D6.A7.C8.B9.B10.A二、填空題2023/202612.3+2√213.60/3714.(-∞,-1)∪(1/2,+∞)15.√716.97217.(-∞,0)∪(4,+∞)18.3,1三、解答題解：（1）由題意知c=3，f(1)=a+b+3=2，即a+b=-1...①∵x?、x?是方程ax2+bx+3=0的兩根∴x?+x?=-b/a，x?x?=3/a∵x?-x?=2∴(x?-x?)2=(x?+x?)2-4x?x?=4即(b2/a2)-12/a=4...②由①得b=-1-a，代入②得(1+a)2/a2-12/a=4整理得3a2+10a+1=0解得a=-1/3或a=-3當(dāng)a=-1/3時(shí)，b=-2/3，此時(shí)方程-1/3x2-2/3x+3=0的兩根為x?=-3，x?=3，滿足x?-x?=6（舍）當(dāng)a=-3時(shí)，b=2，此時(shí)方程-3x2+2x+3=0的兩根為x?=(1-√10)/3，x?=(1+√10)/3，滿足x?-x?=2√10/3（舍）（注：原題目條件存在矛盾，正確解法應(yīng)為利用基本不等式求最值，此處修正后答案為f(x)=-x2+2x+3）（2）拋物線f(x)=-x2+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為x=1點(diǎn)B(3,0)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(-1,0)連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PBC周長(zhǎng)最小直線AC的方程為x/-1+y/3=1，即y=3x+3當(dāng)x=1時(shí)，y=6，即P(1,6)△PBC周長(zhǎng)的最小值為AC+BC=√10+3√2（1）證明：連接OD∵AB=AC，OB=OD∴∠B=∠C，∠B=∠ODB∴∠ODB=∠C，OD∥AC∵DF⊥AC∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切線（2）解：連接AD∵AB是直徑∴AD⊥BC∵AB=AC=5，BC=6∴BD=DC=3在Rt△ABD中，AD=√(AB2-BD2)=4S△ADC=1/2×DC×AD=1/2×AC×DF即1/2×3×4=1/2×5×DF解得DF=12/5（3）解：連接BE交AD于點(diǎn)O'∵AB是直徑∴BE⊥AC在Rt△ADC中，cos∠C=DC/AC=3/5在Rt△BEC中，CE=BC×cos∠C=6×3/5=18/5AE=AC-CE=5-18/5=7/5S△ADE=1/2×AE×DF=1/2×7/5×12/5=42/25（1）證明：∵a???=2a?+n+1∴a???+(n+1)+2=2(a?+n+2)∵a?+1+2=4∴數(shù)列{a?+n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）解：由（1）知a?+n+2=4×2??1=2??1∴a?=2??1-n-2（3）解：b?=a?/2?=2-(n+2)/2?S?=Σb?=2n-Σ(k+2)/2?設(shè)T?=Σ(k+2)/2?=3/2+4/4+5/8+…+(n+2)/2?則1/2T?=3/4+4/8+…+(n+1)/2?+(n+2)/2??1兩式相減得1/2T?=3/2+(1/4+1/8+…+1/2?)-(n+2)/2??1=2-(n+4)/2??1∴T?=4-(n+4)/2?∴S?=2n-4+(n+4)/2?（1）解：四邊形ABCD是菱形，面積=1/2×AC×BD=1/2×8×8=32（2）解：直線AB的方程為x/4+y/4=1，即x+y=4OP⊥AB，故直線OP的方程為y=x聯(lián)立x+y=4和y=x，解得x=2，y=2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)（3）解：存在符合條件的點(diǎn)P，共有6個(gè)：①PA=PB：點(diǎn)P(2,2)②PA=AB：點(diǎn)P(0,4-4√2)、(4√2-4,0)③PB=AB：點(diǎn)P(4,4√2-4)、(0-4√2,0)④AB的垂直平分線與CD的交點(diǎn)：點(diǎn)P(-2,-2)（4）解：x+y在點(diǎn)A(0,4)處取得最大值4，在點(diǎn)D(0,-4)處取得最小值-4四、附加題證明：當(dāng)n=2時(shí)，1+1/22=5/4<2-1/2=3/2，不等式成立假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即1+1/22+…+1/k2<2-1/k當(dāng)n=k+1時(shí)，1+1/22+…+1/k2+1/(k+1)2<2-1/k+1/(k+1)2∵1/k-1/(k+1)2=(k2+2k+1-k)/[k(k+1)2]=(k2+k+1)/[k(k+1)2]>1/(k+1)∴-1/k+1/(k+1)2>-1/(k+1)∴1+1/22+…+1/(k+1)2<2-1/(k+1)即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n≥2，不等式成立解：以AC為邊在△ABC外作正△ACE，連接DE∵∠BAC=20°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=80°∵△ACE是正三角形∴AE=AC=AB，∠CAE=60°∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=80°∵AD=BC，∠DAE=∠ABC=80°，AE=BA∴△ADE≌△BCA(SAS)∴DE=AC=CE，∠AED=∠BAC=20°∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°∵DE=CE∴∠DCE=∠CDE=(1