專題08有理數(shù)及其運算44道壓軸題型專訓(xùn)（11大題型）題型一數(shù)軸上的翻折問題題型二絕對值的幾何意義題型三絕對值方程題型四有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用題型五程序流程圖題型六算24點題型七絕對值的其他應(yīng)用題型八有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用題型九有理數(shù)乘方的運算題型十有理數(shù)乘方的逆運算題型十一乘方的應(yīng)用【經(jīng)典例題一數(shù)軸上的翻折問題】1．（24-25七年級下·河南開封·期末）一個長方形在數(shù)軸上的位置如圖所示，，，若此長方形繞著頂點按照順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應(yīng)的數(shù)為1，求翻轉(zhuǎn)2018次后，點所對應(yīng)的數(shù)（）A．5040 B．5042 C．5043 D．5044【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸上點的位置變化規(guī)律，通過分析得出規(guī)律每翻轉(zhuǎn)次，點就會落在數(shù)軸上，再根據(jù)規(guī)律計算即可得解，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，將長方形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)次，點首次落在數(shù)軸上的點對應(yīng)的數(shù)為，當(dāng)點第二次落在數(shù)軸上時，其對應(yīng)的點是，對應(yīng)的數(shù)是，而，以后，每翻轉(zhuǎn)次，點就會落在數(shù)軸上，翻轉(zhuǎn)2018次后，點會第次落在數(shù)軸上，故翻轉(zhuǎn)2018次后，點所對應(yīng)的數(shù)是，故選：D．2．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，小明將畫在紙上的數(shù)軸對折，把表示的點與表示1的點重合，此時與表示的點重合的點表示的數(shù)是（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】B【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點間距離公式．先求出折痕處的點表示的數(shù)為，然后再根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式進行解答即可．【詳解】解：將畫在紙上的數(shù)軸上對折，表示的點與表示的點重合，折痕處的點表示的數(shù)為，與表示的點重合的數(shù)是，故選：B．3．（24-25七年級上·河北保定·期中）正方形在數(shù)軸上的位置如圖所示，點、對應(yīng)的數(shù)分別為和，若正方形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，第次翻轉(zhuǎn)后，點所對應(yīng)的數(shù)為；則翻轉(zhuǎn)次后，數(shù)軸上數(shù)所對應(yīng)的點是．【答案】點B【分析】本題考查了數(shù)軸，數(shù)字字母規(guī)律問題，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知每次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用除以，根據(jù)是否整除可知點在數(shù)軸上．然后進行計算即可得解．【詳解】解：每次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，，翻轉(zhuǎn)次后點在數(shù)軸上，點對應(yīng)的數(shù)是，數(shù)軸上數(shù)所對應(yīng)的點是點故答案為：點．4．（24-25七年級上·貴州黔南·期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．如圖，已知點，，在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是1，，，請結(jié)合數(shù)軸，解答下面的問題：【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)軸上，與點的距離為3的點表示的數(shù)是________．【探究問題】（2）①若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則與點重合的點表示的數(shù)是________；②在①的情況下，若此數(shù)軸上，兩點間的距離為（點在點的左側(cè)），且當(dāng)點與點重合時，點與點也恰好重合，求，兩點表示的數(shù)．【拓展延伸】（3）已知數(shù)軸上，兩點間的距離為（點在點的左側(cè)），表示數(shù)的點到，兩點的距離相等，若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則，兩點表示的數(shù)分別是________，________．（用含，的代數(shù)式表示）【答案】（1）或4；（2）①，②表示的數(shù)為，表示的數(shù)為；（3），【分析】本題主要考查列代數(shù)式，數(shù)軸上兩點距離及數(shù)軸上折疊問題、有理數(shù)的運算，熟練掌握數(shù)軸上兩點距離及數(shù)軸上折疊問題、有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上的兩點距離可進行求解．（2）①由點與點重合可知折疊點表示的數(shù)為，然后由此可求解問題；②由①可知折疊點表示的數(shù)為，則可知到的距離都為，進而問題可求解．（3）由題意可知表示數(shù)的點到兩點的距離都為，然后問題即可求解．【詳解】解：（1）∵點表示的數(shù)為1，且到點A的距離為，∴這個數(shù)為或，故答案為：或．（2）①∵點與點重合，∴折疊點對應(yīng)的數(shù)為：，∴與點重合的點表示的數(shù)是：；②由①得折疊點對應(yīng)的數(shù)為：，∴點表示的數(shù)為：，F(xiàn)點表示的數(shù)為：．（3）∵數(shù)軸上兩點間的距離為（在左側(cè)），表示數(shù)的點到兩點的距離相等，∴表示數(shù)的點到兩點的距離都為，∴點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為；故答案為：；．【經(jīng)典例題二絕對值的幾何意義】5．（24-25七年級上·海南?？凇て谥校┦阶拥闹等〉阶钚≈禃r，滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查絕對值的最值問題，將原式提取公因式，絕對值的和在x等于加權(quán)中位數(shù)時取得．【詳解】解：原式，絕對值的和在x等于加權(quán)中位數(shù)時取得，零點為，權(quán)重分別為：3，5，7，9，11，13，當(dāng)累計權(quán)重達總權(quán)重的一半（24）時，對應(yīng)區(qū)間為，故選D．6．（22-23七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）我們知道，式子的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離是，則式子的最小值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查絕對值的意義，兩點間的距離公式，根據(jù)絕對值的意義，把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值問題是解題的關(guān)鍵；先求出值最小，的最小值，兩個最小值的條件是一致的，再求出答案即可．【詳解】解：，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離與數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離之和，當(dāng)表示數(shù)x的點在表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間時，值最小，也即是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間距離，的最小值為，的最小值是0，且取最小值時x的值為，且當(dāng)時，最小值是3，的最小值為，的最小值是，故選：．7．（23-24七年級上·廣西桂林·階段練習(xí)）對于數(shù)軸上的一切數(shù)，式子的最小值是．【答案】11【分析】分五種情況，，，，，結(jié)合絕對值的意義化簡求解．本題考查絕對值意義，結(jié)合數(shù)軸，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，，，，，則；當(dāng)時，，，，，則，在這里；當(dāng)時，，，，，則；當(dāng)時，，，，，則，在這里；當(dāng)時，，，，則．綜上，式子的最小值是11．故答案為：11．8．（24-25七年級上·福建泉州·期中）閱讀下面材料：在數(shù)軸上點A、B分別表示數(shù)a，b，則A、B兩點之間的距離，例如，當(dāng)，．回答下列問題：(1)①在數(shù)軸上表示與兩點間的距離是，②在數(shù)軸上表示x與4兩點間的距離是；③在數(shù)軸上表示x與________兩點之間的距離為．(2)下面對式子進行探究：①當(dāng)表示數(shù)x的點在與4之間移動時，的值總是一個固定的值為：___________．②要使，數(shù)軸上表示的數(shù)___________________．(3)求的最小值．【答案】(1)①4；②；③(2)①6；②5或(3)9【分析】本題考查了絕對值的幾何意義是數(shù)軸上兩點之間的距離，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)題干中兩點之間的距離公式計算即可；（2）①分析出的意義，再結(jié)合數(shù)軸可得；②分析出的意義，再根據(jù)兩點之間的距離為8列式計算即可；（3）分5種情況去絕對值符號，計算各種不同情況的值，最后討論得出最小值．【詳解】（1）解：①在數(shù)軸上表示與兩點間的距離是；②在數(shù)軸上表示x與4兩點間的距離是；③則在數(shù)軸上表示x與兩點之間的距離為；（2）解：①當(dāng)表示數(shù)x的點在與4之間移動時，表示數(shù)軸上x與的距離和與4的距離之和，則此時；②表示數(shù)軸上x與的距離和與4的距離之和為8，則x的值為或；（3）解：表示數(shù)軸上x分別與4，2，，的距離之和，時，原式,此時的最小值是13；時，原式，此時的最小值是9；時，原式，時，原式，此時的最小值是9；時，原式，此時的最小值是11，綜上：的最小值為9．【經(jīng)典例題三絕對值方程】9．（2024七年級·全國·競賽）使成立的條件是（

）．A．為任意數(shù) B． C． D．【答案】D【分析】分，，三種情況，結(jié)合絕對值的意義化簡絕對值，看等號是否恒成立，從而得出答案．本題主要考查了含絕對值符號的等式．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的化簡，分類討論．【詳解】當(dāng)時，，，等式化為：，成立；當(dāng)時，，，等式化為：，解得：，不符合題意；當(dāng)時，，，等式化為：，矛盾．故使成立的條件是：．故選：D．10．（24-25九年級上·重慶·期中）有一組非負整數(shù)：，，…，．從開始，滿足，，，…，，某數(shù)學(xué)小組研究了上述數(shù)組，得出以下結(jié)論：①當(dāng)，時，；②當(dāng)，時，；③當(dāng)，，時，；④當(dāng)，，（，m為整數(shù)）時，．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了數(shù)的變化規(guī)律以及絕對值的知識點，綜合性較強，難度較大，理解題意，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．根據(jù)其規(guī)律，求出其值，再判定結(jié)論是否正確即將可．【詳解】解：根據(jù)題意有，①當(dāng)，時，，，故①錯誤；②當(dāng)，時，，，同理：，，，，，，，，…，，，，故②正確；③當(dāng)，，時，，則有：，解得：或，故③錯誤；④當(dāng)，，（，m為整數(shù)）時，，，，，，，．故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論②④觀點，共2個．故選：B．11．（24-25七年級上·浙江金華·期末）若關(guān)于的方程有三個解，則該方程三個解的和為．【答案】6【分析】本題考查了含有絕對值的一元一次方程，把含有絕對值的方程化成一般形式的一元一次方程是解題關(guān)鍵．先根據(jù)絕對值的非負性判斷的取值范圍，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)把含有絕對值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根據(jù)方程解的情況判斷的取值，從而求出方程的解，再求出它們的和即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，或或或，方程有3個解，即有兩個相等，顯然，不成立，若，則，此時方程有兩個解，不成立；若，則，因為，不成立；若，則，此時方程有三個解，分別為2，18，；該方程三個解的和為：，故答案為：6．12．（24-25七年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有四個解，化簡．【答案】4【分析】本題考查的是絕對值的相關(guān)計算，理解絕對值方程四個解的意義，判斷絕對值符號中的每個代數(shù)式的正負是解題的關(guān)鍵．由可化簡得,在化簡的過程中判斷的符號，從而化簡求值即可．【詳解】解：對于關(guān)于的方程有四個解，可知均不為0，且，，∴，將原方程整理可得，∴，，∴，，，∴，∴．【經(jīng)典例題四有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用】13．（2024七年級下·浙江杭州·競賽）甲乙兩人分別從，兩地同時出發(fā)勻速相向而行，出發(fā)后小時兩人相遇，若兩人每小時都多走千米，則出發(fā)后小時兩人相遇在距離中點千米的地方．已知甲比乙行得快，甲原來每小時行________千米（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用，根據(jù)題意求出，兩地的距離，進而求出甲現(xiàn)在的速度，即可求出甲原來的速度，根據(jù)題意正確列出算式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，兩地相距為千米，∴甲現(xiàn)在的速度為千米小時，∴甲原來的速度為千米小時，故選：．14．（22-23七年級上·浙江·單元測試）如圖，已知正方形的邊長為4，甲、乙兩動點分別從正方形的頂點A、C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的3倍，則它們第2022次相遇在邊（

）上．A． B． C． D．【答案】C【分析】此題利用行程問題中的相遇問題，根據(jù)乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地點，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：因為乙的速度是甲的速度的3倍，時間相同，所以乙所行的路程是甲所行的路程的3倍，①第一次相遇甲乙行的路程和為8，甲行的路程為，乙行的路程為，此時相遇在邊的中點處；②第二次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為，乙行的路程為，此時相遇在邊的中點處；③第三次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為，乙行的路程為，此時相遇在邊的中點處；④第四次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為，乙行的路程為，此時相遇在邊的中點處；⑤第五次相遇甲乙行的路程和為16，甲行的路程為，乙行的路程為，此時相遇在邊的中點處；∵，∴第2022次相遇在邊上，故選：C．【點睛】本題主要考查的是行程問題中的相遇問題及按比例分配的運用，難度較大，注意先通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后再解決問題．15．（25-26七年級上·四川成都·開學(xué)考試）2022年2月4日是北京冬奧會開幕的日子，很多觀眾在檢票之前就已經(jīng)排隊等候．設(shè)每分鐘來的觀眾一樣多，從開始檢票到等候檢票的隊伍全部入園，若同時開8個檢票口需60分鐘；同時開10個檢票口需30分鐘，為了使15分鐘內(nèi)檢票隊伍全部入園，至少需要開個檢票口．【答案】14【分析】本題考查了牛吃草問題，假設(shè)每分鐘每個檢票口檢票1人．根據(jù)乘法的意義，用即可求出60分鐘檢票的總?cè)藬?shù)，用即可求出30分鐘檢查的總?cè)藬?shù)，根據(jù)除法的意義，用60分鐘檢票的總?cè)藬?shù)減去30分鐘檢查的總?cè)藬?shù)，除以60-30分鐘，即可求出每分鐘增加的人數(shù)，即6人，再用60分鐘檢票的總?cè)藬?shù)分鐘×每分鐘增加的人數(shù)即可求出開始檢票前排隊的人數(shù)；如果15分鐘內(nèi)要檢票完，則15分鐘×每分鐘增加的人數(shù)+開始檢票前排隊的人數(shù)即可求出總?cè)藬?shù)，已知每分鐘每個檢票口檢票1人，則15分鐘每個檢票口檢查15人，用總?cè)藬?shù)除以15，即可求出檢票口的總個數(shù)．【詳解】解：假設(shè)每分鐘每個檢票口檢票1人，每分鐘增加的人數(shù)：1×8×60-1×10×30÷=（人）開始檢票前排隊的人數(shù)：（人）15×6+120=（個）答：至少需要開14個檢票口．故答案為：14．16．（24-25七年級下·重慶·自主招生）小明、小紅同時從A城沿相反方向出發(fā)，兩人速度相同．上午9：00，小紅迎面與一列長1200米的小火車相遇，錯開時間為30秒；上午9：30，火車追上小明，并在40秒后超過小明，那么火車每秒行多少米？小明和小紅出發(fā)時間是幾點？【答案】火車每秒行米，小明和小紅出發(fā)時間是：.【分析】本題考查的是混合運算的應(yīng)用，先計算小紅與火車的速度和為每秒（米），火車與小明的速度差為每秒（米），可得火車的速度為每秒（米），可得小明，小紅的速度為每秒米，可得上午9：00時，小明，小紅之間的距離為：（米），再進一步求解即可.【詳解】解：因為上午9：00，小紅迎面與一列長1200米的小火車相遇，錯開時間為30秒；所以小紅與火車的速度和為每秒（米），因為上午9：30，火車追上小明，并在40秒后超過小明，所以火車與小明的速度差為每秒（米），因為小明、小紅同時從A城沿相反方向出發(fā)，兩人速度相同，所以火車的速度為每秒（米），所以小明，小紅的速度為每秒米，所以上午9：00時，小明，小紅之間的距離為：（米），所以（分鐘），所以火車每秒行米，小明和小紅出發(fā)時間是：.【經(jīng)典例題五程序流程圖】17．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進行第二次運算則輸出的是，…，則第2024次輸出的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了程序圖與有理數(shù)計算的規(guī)律性問題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)據(jù)運算程序計算出前8次的輸出結(jié)果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：第1次：；第2次：；第3次：；第4次：；第5次：；第6次：；第7次：；第8次：；……∴從第2次開始，每6次一個循環(huán)周期，∴，∴第2024次輸出的結(jié)果是，故選：B．18．（23-24七年級上·山西·期中）小明在計算機上設(shè)置了一個運算程序：任意輸入一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2．通過對輸出結(jié)果的觀察，他發(fā)現(xiàn)了一個有意思的現(xiàn)象：無論輸入的自然數(shù)是多少，按此規(guī)則經(jīng)過若干次運算后可得到1．例如：如圖所示，輸入自然數(shù)5，最少經(jīng)過5次運算后可得到1．如果一個自然數(shù)a恰好經(jīng)過7次運算后得到1，則所有符合條件的a的值有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】首先根據(jù)題意，應(yīng)用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分類討論，判斷出所有符合條件的a的值為多少即可．【詳解】解：根據(jù)分析，可得則所有符合條件的a的值為：128、21、20、3．故答案為：D．【點睛】此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，考查了逆推法的應(yīng)用，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．19．（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）有一個運算程序，可以使：（為常數(shù)）時，得，，現(xiàn)在已知，那么．【答案】【分析】由得到當(dāng)，時，利用，得到，，，，然后根據(jù)此規(guī)律得到．【詳解】解：(其中，，)，，(此時，，)，，(此時，，)，，，，．故答案為．【點睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運算：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，也考查了學(xué)生的閱讀理解能力．讀懂題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．（23-24七年級上·陜西西安·期中）計算機的運算編程與數(shù)學(xué)原理是密不可分的，相對簡單的運算編程就是數(shù)值轉(zhuǎn)換機，(1)如圖，同學(xué)設(shè)置了一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為________

(2)如圖，同學(xué)設(shè)置了一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機，若輸出結(jié)果為0，則輸入的________

(3)同學(xué)也設(shè)置了一個計算裝置示意圖，、是數(shù)據(jù)入口，是計算結(jié)果的出口，計算過程是由，分別輸入自然數(shù)和，經(jīng)過計算后的自然數(shù)由輸出，此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質(zhì)：

①若、分別輸入1，則輸出結(jié)果1，記；②若輸入1，輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來的2倍，記；③若輸入任何固定自然數(shù)不變，輸入自然數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大2，記；問：當(dāng)輸入自然數(shù)7，輸入自然數(shù)6時，的值是多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，有理數(shù)的混合運算，理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)程序的運算法則計算解題即可；（2）根據(jù)題意，分兩種情況列方程解應(yīng)用題即可；（3）根據(jù)題目中給的三個性質(zhì)依次運算解題即可．【詳解】（1）解：輸入的值為，輸出結(jié)果為：，故答案為：；（2）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，不符合題意，舍去；故答案為：；（3）當(dāng)輸入自然數(shù)，輸入自然數(shù)，則，根據(jù)性質(zhì)③：，根據(jù)性質(zhì)②：，根據(jù)性質(zhì)①；，綜上，的值為．【經(jīng)典例題六算24點】21．（23-24七年級上·湖北鄂州·期末）“24點”游戲規(guī)則是：從一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4張牌，用上面的數(shù)字進行混合運算，使結(jié)果為24或—24.其中紅色代表負數(shù)，黑色代表正數(shù)，A，J，Q，K分別代表1，11，12，13，例如張毅同學(xué)抽取的4張牌分別為紅桃4、紅桃3、梅花6、黑桃2，于是張毅同學(xué)列出的算式為（－4）×（－3－6÷2）＝24，現(xiàn)在張毅同學(xué)想挑戰(zhàn)“36點”，將這四張牌中的任意一張換成其它牌，使結(jié)果為36或—36，下列方法可行的有幾種：①將紅桃4換成黑桃6；②將紅桃3換成紅桃6；③將梅花6換成黑桃Q；④將黑桃2換成黑桃A（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的四則混合計算法則求解即可．【詳解】解：①這四個數(shù)分別為6、-3、6、2，∵，∴①符合題意；②這四個數(shù)分別為-4、-6、6、2，∵，∴②符合題意；③這四個數(shù)分別為-4、-3、12、2，∵，∴③符合題意；④這四個數(shù)分別為-4、-3、6、1，∵，∴④符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．22．（23-24七年級上·廣東佛山·開學(xué)考試）“算24點”的游戲規(guī)則是：用“，，，”…四種運算符號把給出的4個數(shù)字連接起來進行計算，要求最終算出的結(jié)果是24，例如，給出2，2，2，8這四個數(shù)，可以列式．以下的4個數(shù)用“，，，”四種運算符號不能算出結(jié)果為24的是（

）A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8【答案】A【分析】根據(jù)題意，逐項組合計算，即可作答．【詳解】A項，1，6，8，7，不能算出結(jié)果為24，故符合題意；B項，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；C項，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；D項，，能算出結(jié)果為24，故不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了數(shù)之間的混合運算，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)靈活組合舉例，是解答本題的關(guān)鍵．23．（23-24七年級上·福建漳州·階段練習(xí)）你玩過24點游戲吧，請你運用加、減、乘、除運算和括號，寫出數(shù)5、5、5、1得到24的算式（每個數(shù)只能用一次）．【答案】5×（5-1÷5）=24【分析】根據(jù)，列出正確算式即可．【詳解】解：5×（5-1÷5）=24，故答案為：5×（5-1÷5）=24．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪\用運算符號和括號列出準(zhǔn)確算式．24．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為24．寫出運算式子．(要寫出兩種運算式)．【答案】（1）一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是?4時，最大值是20；（2）一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是+2時，它們相除的最小值是?2.5；（3）(?5)×(?4)+6?2=24，(?4?2)?(?5)×6=24.【分析】（1）從中抽2張卡片，要使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個數(shù)必須同號，據(jù)此求解即可；（2）從中抽取2張卡片，要使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，則一個是正數(shù)，另一個是負數(shù)，據(jù)此求出最小值是多少即可．（3）用學(xué)過的運算方法，構(gòu)造出兩個算式，使結(jié)果為24即可．【詳解】（1）(+6)×(+2)=12(?5)×(?4)=20因為20>12，所以其中的一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是?4時，最大值是20；（2）(?5)÷(+2)=?2.5所以其中的一個數(shù)抽?5，另一個數(shù)是+2時，它們相除的最小值是?2.5；（3）從中取出4張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為24，運算式子為：(?5)×(?4)+6?2=24，(?4?2)?(?5)×6=24.【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則和運算順序并且能靈活運用是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題七絕對值的其他應(yīng)用】25．（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可知，異號，再根據(jù)，以及，即可確定，，，，，在數(shù)軸上的位置，而表示到，，三點的距離的和，根據(jù)數(shù)軸即可確定．【詳解】解：∵，∴a，c異號，∵，∴，，又∵，∴，又∵表示到，，三點的距離的和，當(dāng)在時距離最小，即最小，最小值是與之間的距離，即．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)的最值問題，解決的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定，，，，，之間的大小關(guān)系，把求式子的最值的問題轉(zhuǎn)化為距離的問題，有一定難度．26．（23-24七年級上·廣東東莞·期中）已知和是一對互為相反數(shù)，的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用絕對值非負性求出a、b的值，代入到所求的代數(shù)式中再運用進行簡便運算．【詳解】∵和是一對互為相反數(shù)∴+=0∴a=1，b=2∴=====故選：C．【點睛】此題考查絕對值的非負性和有理數(shù)的簡便運算．其關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)并運用對，，等進行裂項，并兩倆抵消．27．（2025·北京朝陽·模擬預(yù)測）某快遞公司配送包裹至n個站點，站點按順序編號為1至n，從站點i到站點j的配送成本為，其中表示站點i的包裹大小．已知包裹大小序列為：，，，，．若每次配送必須連續(xù)站點（如從站點2到站點4），且每個站點只能被配送一次，則完成所有站點配送的最小總成本為元；若允許拆分配送（每個站點可被多次訪問，但包裹只交付一次），最小總成本為元．【答案】【分析】本題考查了優(yōu)化問題．理解配送成本公式是解題的關(guān)鍵．不允許拆分配送時，由于每個站點只能被配送一次且每次配送必須連續(xù)站點，那么只能一次性將所有站點配送完，即從站點1到站點5.根據(jù)配送成本公式計算即可．允許拆分配送時，為了使總成本最小，每次配送2個站點．例如站點3位于中間，優(yōu)先配送，然后每次途經(jīng)站點3或已配送完的站點，配送費用最小，分別計算再求和即可．【詳解】解：不允許拆分配送時，由于每個站點只能被配送一次且每次配送必須連續(xù)站點，有以下3種方案方案1：配送成本為元方案2：配送成本為元方案3：配送成本為元∴方案2成本最低為元允許拆分配送時，為了使總成本最小，需要合理拆分配送站點．站點3位于中間，優(yōu)先配送，然后每次途經(jīng)站點3或已配送完的站點，配送費用最小，站點3，包裹已經(jīng)交付，則接下來，，成本為元故答案為：，22．28．（23-24七年級下·吉林長春·期末）對于絕對值不等式，甲同學(xué)根據(jù)絕對值的幾何意義給出求解方法，表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)x表示的點與原點的距離大于1．觀察數(shù)軸，得到不等式的解集為：或(1)根據(jù)甲同學(xué)提供的方法，不等式表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)表示的點與原點的距離______1（填“大于”或“小于”），觀察數(shù)軸，得到不等式的解集為______；(2)不等式的解集為______；(3)解不等式；(4)已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，若是整數(shù)，求的最小值．【答案】(1)小于；(2)或(3)或(4)【分析】（1）根據(jù)絕對值的幾何意義，即可求解，（2）根據(jù)絕對值的幾何意義，首先得到或，即可求解，（3）根據(jù)絕對值的幾何意義，首先得到或，即可求解，（4）根據(jù)絕對值的幾何意義，得到，結(jié)合是整數(shù)，即可求解，本題考查了，絕對值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握絕對值的幾何意義．【詳解】（1）解：不等式表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)表示的點與原點的距離小于1，不等式的解集為：，（2）解：表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)表示的點與原點的距離大于1，得到不等式的解集為：或，即或，（3）解：∵，∴，表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)表示的點與數(shù)1表示的點的距離大于2，得到不等式的解集為：或，即：或，（4）解：∵，∴，即：，∵，∴，即，表示的意義：數(shù)軸上，數(shù)表示的點與數(shù)表示的點的距離小于4，不等式的解集為：，∵是整數(shù)，∴的最小值為．【經(jīng)典例題八有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用】29．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）把幾個互不相同的數(shù)用大括號括起來，相鄰兩個數(shù)之間用逗號隔開，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我們稱之為集合，其中的每一個數(shù)稱為該集合的元素，如果一個所有元素均為有理數(shù)的集合滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個元素時，2018﹣x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們又稱為對稱集合，例如{2，2016}就是一個對稱集合，若一個對稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，則該集合總共的元素個數(shù)是（）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】B【詳解】分析：根據(jù)題意可知對稱集合都是成對出現(xiàn)的，并且這對對應(yīng)元素的和為2018，然后通過估算即可解答本題．詳解：∵在對稱集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為2018-a，∴對稱集合中的每一對對應(yīng)元素的和為：a+2018-a=2018，2018×11=22198，2018×11.5=23207，2018×12=24216，又∵一個對稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，∴該集合總共的元素個數(shù)是11.5×2=23．故選B．點睛：本題考查有理數(shù)、是探究性問題，關(guān)鍵是明確什么是對稱集合，集合中的各個數(shù)都是元素，明確對稱集合中的元素個數(shù)，在此還要應(yīng)用到估算的知識．30．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·課后作業(yè)）已知a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖1所示，下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)>b B．|a|<|b| C．－a<－b D．a(chǎn)<－b【答案】D【詳解】如下圖，把表示的點表示到數(shù)軸上，由圖可知：，∴A、B、C三個選項中的結(jié)論都是錯的，只有D選項中的結(jié)論是正確的.故選D.31．（24-25七年級上·重慶開州·期末）對于一個三位正整數(shù)，其各個數(shù)位上的數(shù)字互不相等，若的百位數(shù)字與個位數(shù)字的平均數(shù)等于十位數(shù)字，則稱為“平均數(shù)”．例如：753，因為，所以753是“平均數(shù)”；又如469，因為，所以469不是“平均數(shù)”，則“平均數(shù)”的最大值是；若“平均數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被7整除，則滿足條件的的最小值是．【答案】987579【分析】本題考查了新定義、有理數(shù)的大小比較、整式加減的應(yīng)用，正確理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)高位數(shù)字越大，該數(shù)字越大即可解答；設(shè)的百位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則十位數(shù)字為，根據(jù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被7整除以及數(shù)位上的數(shù)字大小關(guān)系可得，再根據(jù)高位數(shù)字越小，該數(shù)字越小即可解答．【詳解】解：“平均數(shù)”有最大值，“平均數(shù)”的百位數(shù)字、十位數(shù)字要盡可能大，當(dāng)“平均數(shù)”的百位數(shù)字為9，十位數(shù)字為8，個位數(shù)字為7時符合題意，“平均數(shù)”的最大值為987；設(shè)的百位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則十位數(shù)字為，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為，“平均數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被7整除，是14的倍數(shù)，又，，，，滿足條件的有最小值，滿足條件的百位數(shù)字要盡可能小，最大可取9，最小可取，此時，滿足條件的的最小值為579．故答案為：987；579．32．（24-25七年級上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都鎮(zhèn)傳統(tǒng)特產(chǎn)，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心潤喉，是老少皆宜的美味佳品．請閱讀以下材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：材料一：某批發(fā)市場計劃準(zhǔn)備從福清市一都鎮(zhèn)運輸一批枇杷到甲地出售，為保證枇杷新鮮需用帶冷柜的貨車運輸或空運．貨車運輸?shù)钠骄俣葹?0千米/時，飛機的平均速度為800千米/時，方案一：從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地；方案二：從福清市一都鎮(zhèn)先用帶冷柜的貨車運輸?shù)綑C場用時1小時后用飛機空運到甲地；方案二比方案一少用11小時，且路程少160千米．材料二：已知有一批枇杷用帶冷柜的貨車每輛運8噸，則剛好運完，若每輛運7噸，則還剩2噸枇杷沒有裝上車．材料三：在材料一與材料二的條件下，運這批枇杷從福清市一都鎮(zhèn)到甲地陸運單價冷柜車空運單價7000元/噸400元/（小時·輛）10000元/噸注意：如選方案二空運，則陸運時間段只收冷柜使用費，且在飛行途中不收冷柜使用費．參考公式：冷柜使用費冷柜使用單價使用時間車輛數(shù)目；總費用路費冷柜使用費．請同學(xué)們根據(jù)材料一、材料二提供的信息完成3個任務(wù)：(1)請求出從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間；(2)這批枇杷共有_______噸．(3)本次從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地，冷柜車一次運8噸，應(yīng)選用那種方案使得總費用較少？【答案】(1)小時(2)(3)方案一【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用（行程問題，其他問題），有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用，有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用等知識點，讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出方程和算式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“方案二比方案一少用11小時，且路程少160千米”列方程求解即可；（2）根據(jù)“每輛運8噸，則剛好運完，若每輛運7噸，則還剩2噸枇杷沒有裝上車”列方程求解即可；（3）先分別求出兩種方案的總費用，再比較大小即可．【詳解】（1）解：設(shè)從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間為小時，則用飛機空運到甲地的時間為小時，由題意得：，解得：，從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間為小時；（2）解：設(shè)這批枇杷共有噸，由題意得：，解得：，故答案為：；（3）解：方案一：（元），方案二：（元），，應(yīng)選方案一，答：應(yīng)選用方案一使得總費用較少．【經(jīng)典例題九有理數(shù)乘方的逆運算】33．（23-24七年級上·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個圖中，的值是（

）A． B． C．510 D．512【答案】B【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律．觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)字變化的規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：觀察所給圖形可知，左上角的數(shù)字依次為：，，，，…，所以第n個圖形中左上角的數(shù)字可表示為：．右上角的數(shù)字比同一個圖形中左上角的數(shù)字大2，所以第n個圖形中右上角的數(shù)字可表示為：．下方的數(shù)字為同一個圖形中左上角數(shù)字的，所以第n個圖形中下方的數(shù)字可表示為：．當(dāng)時，，，，所以．故選：B．34．（23-24九年級·浙江·自主招生）設(shè)表示數(shù)的個位數(shù)字．則（

）A．400 B．450 C．500 D．550【答案】B【分析】根據(jù)表示數(shù)的個位數(shù)字，先對前面的數(shù)字按要求計算得到的數(shù)字規(guī)律，再利用規(guī)律將化簡為代值求解即可得到答案．【詳解】解：表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，表示數(shù)的個位數(shù)字，…根據(jù)以上數(shù)字呈現(xiàn)的規(guī)律，表示數(shù)的個位數(shù)字，每個一循環(huán)，，故選：B．【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律類問題，涉及乘方運算、有理數(shù)加法及乘法運算，讀懂題意，找尋的數(shù)字規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．35．（22-23九年級下·重慶渝中·自主招生）若a、b、c均為整數(shù)，且滿足，則．【答案】2【分析】本題考查的是有理數(shù)的乘方及絕對值的性質(zhì)，能根據(jù)有理數(shù)的乘方及絕對值的性質(zhì)得出、、之間的關(guān)系式解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)，，均為整數(shù)，得出和均為整數(shù)，根據(jù)有理數(shù)乘方的法則得出關(guān)于、、的方程組，求出、、之間的關(guān)系，用表示出、，代入原式進行計算．【詳解】解：因為，，均為整數(shù)，所以和均為整數(shù)，從而由可得或，若，則，從而．若，則，從而．因此，．故答案為：2．36．（23-24九年級·浙江·自主招生）我們已知道：，事實上：（為正整數(shù)）成立，故有：當(dāng)時，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________；(2)___________；(3)____．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）添加一項1后，根據(jù)題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果；（2）提取后，根據(jù)題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果；（3）多次使用題干中的結(jié)論計算，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：根據(jù)已知有，當(dāng)時，成立，，，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：，故答案為：；（3）解：根據(jù)已知有：當(dāng)時，成立，，，，，，上式，故答案為：．【點睛】本題考查了觀察、類比、數(shù)字類律探索的知識；解題關(guān)鍵是熟練掌握觀察、類比、數(shù)字類規(guī)律探索的方法，結(jié)合運算法則完成求解．【經(jīng)典例題十有理數(shù)乘方的逆運算】27．（24-25七年級下·山西太原·階段練習(xí)）計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的逆運算、積的乘方的逆用，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運算可得，再根據(jù)積的乘方的逆用計算即可得．【詳解】解：，故選：D．38．（23-24七年級上·江蘇泰州·周測）計算(－2)2009+3×(－2)2008的值為(

)A．－22008 B．22008 C．(－2)2009 D．5×22008【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義，可知(－2)2009+3×(－2)2008=（-2）×（-2）2008+3×(－2)2008=（-2+3）×(－2)2008=22008.故選B.39．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）若，則（且，，是正整數(shù)）．（1）如果，那么；（2）如果，，那么．【答案】1【分析】（1）根據(jù)底數(shù)相同的兩個數(shù)相等，只需指數(shù)也相等，列出關(guān)于待求字母的方程求解；（2）運用逆用同底數(shù)冪相除，逆用冪的乘方，整體代入求值．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：，故答案為：．（2）當(dāng)，時，故答案為：1．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的逆用，一元一次方程的其他應(yīng)用，同底數(shù)冪相除的逆用，冪的乘方的逆用，解題關(guān)鍵是學(xué)會同底數(shù)冪相除的逆用，冪的乘方的逆用的運用求解．40．（23-24七年級上·福建泉州·期中）【概念學(xué)習(xí)】現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們寫作，讀作“的圈4次方”，一般地把（）寫作，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】(1)直接寫出計算結(jié)果：______；______；(2)下列關(guān)于除方說法中，不正確的是（

）．A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)；C．

D．1和的圈n次方都等于它本身．(3)算一算：(4)當(dāng)取得最小值時，寫出x的取值范圍．【答案】(1)1，(2)D(3)12(4)【分析】（1）根據(jù)規(guī)定運算，直接計算即可；（2）根據(jù)新定義逐項判斷；（3）先把圈n次方轉(zhuǎn)化成冪的形式，利用有理數(shù)的混合運算，計算求值即可；（4）分，，，，四種情況分別討論，再合并結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意可得：；；（2）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，，故正確；B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，，故正確；C．，，且，則，故正確；D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故錯誤；故選D；（3）；（4），1、當(dāng)時，，當(dāng)時，，最小值為；2、當(dāng)時，；3、當(dāng)時，，；4、當(dāng)時，，當(dāng)時，，最小值為；綜上：的最小值為，的取值范圍是．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，涉及新定