北師大版七年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷一、壓軸題1．某商場在黃金周促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的打折出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場消費(fèi)打折后的金額滿一定數(shù)額，還可按如下方案抵扣相應(yīng)金額：說明：表示在范圍中，可以取到a，不能取到b．根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠：打折優(yōu)惠與抵扣優(yōu)惠．例如：購買標(biāo)價(jià)為900元的商品，則打折后消費(fèi)金額為450元，獲得的抵扣金額為30元，總優(yōu)惠額為：元，實(shí)際付款420元．購買商品得到的優(yōu)惠率，請(qǐng)問：購買一件標(biāo)價(jià)為500元的商品，顧客的實(shí)際付款是多少元？購買一件商品，實(shí)際付款375元，那么它的標(biāo)價(jià)為多少元？請(qǐng)直接寫出，當(dāng)顧客購買標(biāo)價(jià)為______元的商品，可以得到最高優(yōu)惠率為______．2．已知：如圖，點(diǎn)是線段上一定點(diǎn)，，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（在線段上，在線段上）若，當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了，此時(shí)________，________；（直接填空）當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了，求的值．若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則________（填空）在的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的值．3．已知：∠AOB是一個(gè)直角，作射線OC，再分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE．（1）如圖①，當(dāng)∠BOC=70°時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖②，若射線OC在∠AOB內(nèi)部繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠BOC=α?xí)r，求∠DOE的度數(shù).（3）如圖③，當(dāng)射線OC在∠AOB外繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，畫出圖形，直接寫出∠DOE的度數(shù)．4．如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即返回，以的速度向左運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)第二次重合時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).（1）求，；（2）當(dāng)為何值時(shí)，；（3）當(dāng)為何值時(shí)，與第一次相遇；（4）當(dāng)為何值時(shí)，.5．已知：A、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，過O點(diǎn)作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按5°每秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)直角三角板的直角邊OM所在直線恰好平分∠BOC時(shí)，時(shí)間t的值為（直接寫結(jié)果）．6．如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，∠AOC=30°，將一直角三角尺（∠M=30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．(1)若將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O以每秒5°的速度，沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒，當(dāng)OM恰好平分∠BOC時(shí)，如圖2．①求t值；②試說明此時(shí)ON平分∠AOC；(2)將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=α，∠COM=β，當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，試求α與β的數(shù)量關(guān)系；(3)若將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O以每秒5°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，射線OC也繞點(diǎn)O以每秒8°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，那么經(jīng)過多長時(shí)間，射線OC第一次平分∠MON?請(qǐng)說明理由．7．已知∠AOB和∠AOC是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)角,OD是∠BOC的平分線.(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如圖(1),圖(2),求∠AOD的度數(shù)；(2)若∠AOB=度,∠AOC=度,其中且求∠AOD的度數(shù)(結(jié)果用含的代數(shù)式表示)，請(qǐng)畫出圖形，直接寫出答案．8．已知，如圖，A、B、C分別為數(shù)軸上的三點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)，并且與A點(diǎn)的距離為30，C點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，C點(diǎn)到A點(diǎn)距離是B點(diǎn)到A點(diǎn)距離的4倍．（1）求出數(shù)軸上B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)及AC的距離．（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以3單位/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)P點(diǎn)在AB之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則BP＝．（用含t的代數(shù)式表示）②P點(diǎn)自A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，何時(shí)P，A，B三點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)？求出相應(yīng)的時(shí)間t．③當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)Q以5單位/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，也向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)后立即原速返回到A點(diǎn)，那么Q點(diǎn)在往返過程中與P點(diǎn)相遇幾次？直．接．寫．出．相遇時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)9．已知：如圖，點(diǎn)A、B分別是∠MON的邊OM、ON上兩點(diǎn)，OC平分∠MON，在∠CON的內(nèi)部取一點(diǎn)P（點(diǎn)A、P、B三點(diǎn)不在同一直線上），連接PA、PB．（1）探索∠APB與∠MON、∠PAO、∠PBO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分線PQ交OC于點(diǎn)Q，求∠OQP的度數(shù)（用含有x、y的代數(shù)式表示）．10．結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)解決下列問題：探究：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是____，表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是____；結(jié)論：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于∣m-n∣．直接應(yīng)用：表示數(shù)a和2的兩點(diǎn)之間的距離等于____，表示數(shù)a和－4的兩點(diǎn)之間的距離等于____；靈活應(yīng)用：(1)如果∣a+1∣=3，那么a=____；(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4與2之間，則∣a-2∣+∣a+4∣=_____；(3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10，則a=______；實(shí)際應(yīng)用：已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別表示-24，-10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位長度/秒，乙的速度為6個(gè)單位長度/秒.(1)兩只電子螞蟻分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，求甲、乙數(shù)軸上相遇時(shí)的點(diǎn)表示的數(shù)。(2)求運(yùn)動(dòng)幾秒后甲到A、B、C三點(diǎn)的距離和為40個(gè)單位長度？11．如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OQ在射線OA上，另一邊OP與OC都在直線AB的上方．將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖2，經(jīng)過t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時(shí)OQ是否平分∠AOC？請(qǐng)說明理由；（2）若在三角板轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時(shí)間OC平分∠POQ？請(qǐng)說明理由；（3）在（2）問的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多少秒OC平分∠POB？（直接寫出結(jié)果）．12．如圖1，線段AB的長為a．（1）尺規(guī)作圖：延長線段AB到C，使BC＝2AB；延長線段BA到D，使AD＝AC．（先用尺規(guī)畫圖，再用簽字筆把筆跡涂黑．）（2）在（1）的條件下，以線段AB所在的直線畫數(shù)軸，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，若點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)恰好為10，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，并直接寫出C，D兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，請(qǐng)求線段MN的長．（3）在（2）的條件下，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)物體在數(shù)軸上進(jìn)行勻速直線運(yùn)動(dòng)，甲從點(diǎn)D處開始，在點(diǎn)C，D之間進(jìn)行往返運(yùn)動(dòng)；乙從點(diǎn)N開始，在N，M之間進(jìn)行往返運(yùn)動(dòng)，甲、乙同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙從M點(diǎn)第一次回到點(diǎn)N時(shí)，甲、乙同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若甲的運(yùn)動(dòng)速度為每秒5個(gè)單位，乙的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，請(qǐng)求出甲和乙在運(yùn)動(dòng)過程中，所有相遇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)．13．已知：平分，以為端點(diǎn)作射線，平分.（1）如圖1，射線在內(nèi)部，，求的度數(shù).（2）若射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，（為大于的鈍角），，其他條件不變，在這個(gè)過程中，探究與之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并加以說明.14．問題：將邊長為的正三角形的三條邊分別等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個(gè)？探究：要研究上面的問題，我們不妨先從最簡單的情形入手，進(jìn)而找到一般性規(guī)律.探究一：將邊長為2的正三角形的三條邊分別二等分，連接各邊中點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個(gè)？如圖①，連接邊長為2的正三角形三條邊的中點(diǎn)，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有3個(gè)，共有個(gè)；邊長為2的正三角形一共有1個(gè).探究二：將邊長為3的正三角形的三條邊分別三等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個(gè)？如圖②，連接邊長為3的正三角形三條邊的對(duì)應(yīng)三等分點(diǎn)，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有3個(gè)，第三層有5個(gè)，共有個(gè)；邊長為2的正三角形共有個(gè).探究三：將邊長為4的正三角形的三條邊分別四等分（圖③），連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個(gè)？（仿照上述方法，寫出探究過程）結(jié)論：將邊長為的正三角形的三條邊分別等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個(gè)？（仿照上述方法，寫出探究過程）應(yīng)用：將一個(gè)邊長為25的正三角形的三條邊分別25等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，則該三角形中邊長為1的正三角形有______個(gè)和邊長為2的正三角形有______個(gè).15．綜合與探究問題背景數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師將一副三角尺按圖（1）所示位置擺放，分別作出∠AOC，∠BOD的平分線OM、ON，然后提出如下問題：求出∠MON的度數(shù)．特例探究“興趣小組”的同學(xué)決定從特例入手探究老師提出的問題，他們將三角尺分別按圖2、圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分線．其中，按圖2方式擺放時(shí)，可以看成是ON、OD、OB在同一直線上．按圖3方式擺放時(shí)，∠AOC和∠BOD相等．（1）請(qǐng)你幫助“興趣小組”進(jìn)行計(jì)算：圖2中∠MON的度數(shù)為°．圖3中∠MON的度數(shù)為°．發(fā)現(xiàn)感悟解決完圖2，圖3所示問題后，“興趣小組”又對(duì)圖1所示問題進(jìn)行了討論：小明：由于圖1中∠AOC和∠BOD的和為90°，所以我們?nèi)菀椎玫健螹OC和∠NOD的和，這樣就能求出∠MON的度數(shù)．小華：設(shè)∠BOD為x°，我們就能用含x的式子分別表示出∠NOD和∠MOC度數(shù)，這樣也能求出∠MON的度數(shù)．（2）請(qǐng)你根據(jù)他們的談話內(nèi)容，求出圖1中∠MON的度數(shù)．類比拓展受到“興趣小組”的啟發(fā)，“智慧小組”將三角尺按圖4所示方式擺放，分別作出∠AOC、∠BOD的平分線OM、ON，他們認(rèn)為也能求出∠MON的度數(shù)．（3）你同意“智慧小組”的看法嗎？若同意，求出∠MON的度數(shù)；若不同意，請(qǐng)說明理由．16．已知，、、、是內(nèi)的射線．(1)如圖1，當(dāng)，若平分，平分，求的大??；(2)如圖2，若平分，平分，，，求．17．已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F、G在邊CD上，連接EF、EG．將∠BEG對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EG上的點(diǎn)B′處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN．（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，求∠MEN的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度數(shù)；（3）若∠MEN＝α，請(qǐng)直接用含α的式子表示∠FEG的大?。?8．閱讀理解：如圖①，若線段AB在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和(），則線段AB的長（點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離）可表示為AB=.請(qǐng)用上面材料中的知識(shí)解答下面的問題:如圖②，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)2cm到達(dá)P點(diǎn)，再向右移動(dòng)7cm到達(dá)Q點(diǎn)，用1個(gè)單位長度表示1cm．（1）請(qǐng)你在圖②的數(shù)軸上表示出P，Q兩點(diǎn)的位置；（2）若將圖②中的點(diǎn)P向左移動(dòng)cm，點(diǎn)Q向右移動(dòng)cm，則移動(dòng)后點(diǎn)P、點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為多少？并求此時(shí)線段PQ的長.（用含的代數(shù)式表示）；（3）若P、Q兩點(diǎn)分別從第⑴問標(biāo)出的位置開始，分別以每秒2個(gè)單位和1個(gè)單位的速度同時(shí)向數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），當(dāng)為多少時(shí)PQ=2cm？19．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，求：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度？20．已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c，且滿足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若點(diǎn)P到A點(diǎn)距離是到B點(diǎn)距離的2倍，求點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后．再立即以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，在點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)后第幾秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為8？請(qǐng)說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．(1)230元;(2)790元或者810元;(3)400，.【解析】【分析】可對(duì)照表格計(jì)算，500元的商品打折后為250元，再享受20元抵扣金額，即可得出實(shí)際付款；實(shí)際付款375元時(shí)，應(yīng)考慮到與這兩種情況的存在，所以分這兩種情況討論；根據(jù)優(yōu)惠率的定義表示出四個(gè)范圍的數(shù)據(jù)，進(jìn)行比較即可得結(jié)果．【詳解】解：由題意可得：顧客的實(shí)際付款故購買一件標(biāo)價(jià)為500元的商品，顧客的實(shí)際付款是230元．設(shè)商品標(biāo)價(jià)為x元．與兩種情況都成立，于是分類討論抵扣金額為20元時(shí)，，則抵扣金額為30元時(shí)，，則故當(dāng)實(shí)際付款375元，那么它的標(biāo)價(jià)為790元或者810元．設(shè)商品標(biāo)價(jià)為x元，抵扣金額為b元，則優(yōu)惠率為了得到最高優(yōu)惠率，則在每一范圍內(nèi)x均取最小值，可以得到當(dāng)商品標(biāo)價(jià)為400元時(shí)，享受到最高的優(yōu)惠率故答案為400，【點(diǎn)睛】本題考查的是日常生活中的打折銷售問題，運(yùn)用一元一次方程解決問題時(shí)要抓住未知量，明確等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．2．（1），；（2）；（3）；（4）或．【解析】【詳解】（1）根據(jù)題意知，CM=2cm，BD=4cm．∵AB=12cm，AM=4cm，∴BM=8cm，∴AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm．故答案為2，4；（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm，BD=4cm．∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6cm；（3）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=2MC．∵M(jìn)D=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM．∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=AB=4．故答案為4；（4）①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖1．∵AN﹣BN=MN．又∵AN﹣AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4，∴==；②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時(shí)，如圖2．∵AN﹣BN=MN．又∵AN﹣BN=AB，∴MN=AB=12，∴==1．綜上所述：=或1．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．3．（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°.【解析】【分析】（1）由∠BOC的度數(shù)求出∠AOC的度數(shù)，利用角平分線定義求出∠COD與∠COE的度數(shù)，相加即可求出∠DOE的度數(shù)；（2）∠DOE度數(shù)不變，理由為：利用角平分線定義得到∠COD為∠AOC的一半，∠COE為∠COB的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度數(shù)為45度；（3）分兩種情況考慮，同理如圖3，則∠DOE為45°；如圖4，則∠DOE為135°．【詳解】（1）如圖，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°，∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=∠BOC=35°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；（2）∠DOE的大小不變，理由是：∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=45°；（3）∠DOE的大小發(fā)生變化情況為：如圖③，則∠DOE為45°；如圖④，則∠DOE為135°，分兩種情況：如圖3所示，∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=（∠AOC﹣∠BOC）=45°；如圖4所示，∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×270°=135°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計(jì)算，正確作圖，熟記角的特點(diǎn)與角平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．4．（1）AC=4cm,BC=8cm；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，與第一次相遇；(4)【解析】【分析】（1）由于AB=12cm，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，BC=2AC，則AC+BC=3AC=AB=12cm，依此即可求解；（2）分別表示出AP、PQ，然后根據(jù)等量關(guān)系A(chǔ)P=PQ列出方程求解即可；（3）當(dāng)與第一次相遇時(shí)由得到關(guān)于t的方程，求解即可；（4）分相遇前、相遇后以及到達(dá)B點(diǎn)返回后相距1cm四種情況列出方程求解即可．【詳解】（1）AC=4cm,BC=8cm.(2)當(dāng)時(shí)，,即,解得.所以當(dāng)時(shí)，.(3)當(dāng)與第一次相遇時(shí)，,即,解得.所以當(dāng)時(shí)，與第一次相遇.(4)，，，【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系以及分類討論思想是解決問題的關(guān)鍵．5．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．【解析】【分析】（1）依據(jù)圖形可知旋轉(zhuǎn)角=∠NOB，從而可得到問題的答案；（2）先求得∠AOC的度數(shù)，然后依據(jù)角的和差關(guān)系可得到∠NOC=60°-∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM與∠NOC的差即可；（3）可分為當(dāng)OM為∠BOC的平分線和當(dāng)OM的反向延長為∠BOC的平分線兩種情況，然后再求得旋轉(zhuǎn)的角度，最后，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間=旋轉(zhuǎn)的角度÷旋轉(zhuǎn)的速度求解即可．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)的定義可知：旋轉(zhuǎn)角＝∠NOB＝90°．故答案為：90°（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝60°．∴∠NOC＝60°﹣∠AON．∵∠NOM＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．（3）如圖1所示：當(dāng)OM為∠BOC的平分線時(shí)，∵OM為∠BOC的平分線，∴∠BOM＝∠BOC＝60°，∴t＝60°÷5°＝12秒．如圖2所示：當(dāng)OM的反向延長為∠BOC的平分線時(shí)，∵ON為為∠BOC的平分線，∴∠BON＝60°．∴旋轉(zhuǎn)的角度＝60°+180°＝240°．∴t＝240°÷5°＝48秒．故答案為：12秒或48秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的定義、直角三角形的定義以及角的和差計(jì)算，求得三角板旋轉(zhuǎn)的角度是解題的關(guān)鍵．6．（1）①t=3；②見解析；（2）β=α+60°；（3）t=5時(shí)，射線OC第一次平分∠MON.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及余角補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到結(jié)論；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和OC平分∠MON列方程求解即可．【詳解】（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°．∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．即t=5時(shí)，射線OC第一次平分∠MON．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（1）圖1中∠AOD=60°；圖2中∠AOD=10°；（2）圖1中∠AOD=；圖2中∠AOD=.【解析】【分析】（1）圖1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=20°，則∠BOD=10°，根據(jù)∠AOD=∠AOB+∠BOD即得解；圖2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，則∠BOD=60°，根據(jù)∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可得解；（2）圖1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，則∠BOD=，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=；圖2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，則∠BOD=，故∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=.【詳解】解：（1）圖1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=70°﹣50°=20°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=∠BOC=10°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°；圖2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=∠BOC=60°，∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；（2）根據(jù)題意可知∠AOB=度，∠AOC=度，其中且，如圖1中，∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=∠BOC=，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=；如圖2中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=∠BOC=，∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=.【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，所有情況都要考慮，切勿遺漏.8．（1）30，120（2）①30﹣3t②5或20③﹣15或﹣48【解析】【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)，AB＝30求出B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；根據(jù)AC＝4AB求出AC的距離；（2）①當(dāng)P點(diǎn)在AB之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間求出AP＝3t，根據(jù)BP＝AB﹣AP求解；②分P點(diǎn)是A、B兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)；B點(diǎn)是A、P兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)兩種情況討論即可；③根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與方向可知Q點(diǎn)在往返過程中與P點(diǎn)相遇2次．設(shè)Q點(diǎn)在往返過程中經(jīng)過x秒與P點(diǎn)相遇．第一次相遇是點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的途中．根據(jù)AQ﹣BP＝AB列出方程；第二次相遇是點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)后返回到A點(diǎn)的途中．根據(jù)CQ+BP＝BC列出方程，進(jìn)而求出P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．【詳解】（1）∵A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)，并且與A點(diǎn)的距離為30，∴B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60﹣30＝30；∵C點(diǎn)到A點(diǎn)距離是B點(diǎn)到A點(diǎn)距離的4倍，∴AC＝4AB＝4×30＝120；（2）①當(dāng)P點(diǎn)在AB之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AP＝3t，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣3t．故答案為30﹣3t；②當(dāng)P點(diǎn)是A、B兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，AP＝AB＝15，∴3t＝15，解得t＝5；當(dāng)B點(diǎn)是A、P兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，AP＝2AB＝60，∴3t＝60，解得t＝20．故所求時(shí)間t的值為5或20；③相遇2次．設(shè)Q點(diǎn)在往返過程中經(jīng)過x秒與P點(diǎn)相遇．第一次相遇是點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的途中．∵AQ﹣BP＝AB，∴5x﹣3x＝30，解得x＝15，此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是：60﹣5×15＝﹣15；第二次相遇是點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)后返回到A點(diǎn)的途中．∵CQ+BP＝BC，∴5（x﹣24）+3x＝90，解得x＝，此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是：30﹣3×＝﹣48．綜上，相遇時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣15或﹣48．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，行程問題相等關(guān)系的應(yīng)用，線段中點(diǎn)的定義，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（1）見解析；（2）∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．【解析】【試題分析】（1）分下面兩種情況進(jìn)行說明；①如圖1，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，②如圖2，點(diǎn)P在直線AB的左側(cè)，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，（2）分兩種情況討論，如圖3和圖4.【試題解析】（1）分兩種情況：①如圖1，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，證明：∵四邊形AOBP的內(nèi)角和為（4﹣2）×180°=360°，∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO；②如圖2，點(diǎn)P在直線AB的左側(cè)，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，證明：延長AP交ON于點(diǎn)D，∵∠ADB是△AOD的外角，∴∠ADB=∠PAO+∠AOD，∵∠APB是△PDB的外角，∴∠APB=∠PDB+∠PBO，∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO；（2）設(shè)∠MON=2m°，∠APB=2n°，∵OC平分∠MON，∴∠AOC=∠MON=m°，∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠APB=n°，分兩種情況：第一種情況：如圖3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°①∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°，∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②，①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°，∴∠OQP=180°+x°﹣y°；第二種情況：如圖4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO，即∠OQP+n°=m°+x°，∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①，∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，∴2n°=2m°+x°+y°②，①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°，∴∠OQP=x°﹣y°，綜上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．10．探究：3；5；直接應(yīng)用：∣a-2∣，∣a+4∣；靈活應(yīng)用(1)2或-4；(2)6；(3)-6或4；實(shí)際應(yīng)用：(1)甲、乙數(shù)軸上相遇時(shí)的點(diǎn)表示的數(shù)是-10.4；(2)運(yùn)動(dòng)2秒或5秒后甲到A、B、C三點(diǎn)的距離和為40個(gè)單位長度.【解析】【分析】利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式、絕對(duì)值的意義、行程問題的基本數(shù)量關(guān)系，以及數(shù)軸直觀解決問題即可．【詳解】探究：4-1=3；2-（－3）=5．直接應(yīng)用：∣a-2∣，∣a+4∣；靈活應(yīng)用：（1）a+1=±3，a=3-1=2或a=－3－1=－4，∴a=2或-4；（2）∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4與2之間，∴a-2＜0，a+4＞0，∴原式=2-a+a+4=6；（3）由（2）可知，a＜－4或a＞2．分兩種情況討論：①當(dāng)a＜－4時(shí)，方程變?yōu)椋?－a－（a+4）=10，解得：a=－6；②當(dāng)a＞2時(shí)，方程變?yōu)椋篴－2+（a+4）=10，解得：a=4；綜上所述：a的值為-6或4．實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)x秒后甲與乙相遇，則：4x+6x=34解得：x=3.4，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4．故甲、乙數(shù)軸上相遇時(shí)的點(diǎn)表示的數(shù)是﹣10.4；（2）設(shè)y秒后甲到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為40個(gè)單位，B點(diǎn)距A，C兩點(diǎn)的距離為14+20=34＜40，A點(diǎn)距B、C兩點(diǎn)的距離為14+34=48＞40，C點(diǎn)距A、B的距離為34+20=54＞40，故甲應(yīng)為于AB或BC之間．①AB之間時(shí)：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40解得：y=2；②BC之間時(shí)：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40解得：y=5．答：運(yùn)動(dòng)2秒或5秒后甲到A、B、C三點(diǎn)的距離和為40個(gè)單位長度．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．11．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由詳見解析；（2）5秒或65秒時(shí)OC平分∠POQ；（3）t＝秒．【解析】【分析】（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分線定義求出∠POC度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠COQ度數(shù)，再算出旋轉(zhuǎn)角∠AOQ度數(shù)，最后除以旋轉(zhuǎn)速度3即可求出t值；②根據(jù)∠AOQ和∠COQ度數(shù)比較判斷即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根據(jù)角平分線定義可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之間的關(guān)系構(gòu)造方程求出時(shí)間t；（3）先證明∠AOQ與∠POB互余，從而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根據(jù)角平分線定義再用t表示∠BOC度數(shù)；同時(shí)旋轉(zhuǎn)后∠AOC＝30°+6t，則根據(jù)互補(bǔ)關(guān)系表示出∠BOC度數(shù)，同理再把∠BOC度數(shù)用新的式子表達(dá)出來．先后兩個(gè)關(guān)于∠BOC的式子相等，構(gòu)造方程求解．【詳解】（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,∵OP平分∠BOC，∴∠COP＝∠BOC＝75°,∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,t＝15÷3＝5；②是，理由如下：∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；（2）∵OC平分∠POQ，∴∠COQ＝∠POQ＝45°．設(shè)∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，當(dāng)30+6t﹣3t＝225，也符合條件，解得：t＝65，∴5秒或65秒時(shí)，OC平分∠POQ；（3）設(shè)經(jīng)過t秒后OC平分∠POB，∵OC平分∠POB，∴∠BOC＝∠BOP，∵∠AOQ+∠BOP＝90°，∴∠BOP＝90°﹣3t，又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，∴180﹣30﹣6t＝（90﹣3t），解得t＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)角度的和差倍分關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵.12．（1）詳見解析；（2）35；（3）﹣5、15、11、﹣7．【解析】【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的方法按要求做出即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義及線段長度的計(jì)算求出；（3）認(rèn)真分析甲、乙物體運(yùn)行的軌跡來判斷它們相遇的可能性，分情況建立一元一次方程來計(jì)算相遇的時(shí)間，然后計(jì)算出位置．【詳解】解：（1）如圖所示；（2）根據(jù)（1）所作圖的條件，如果以點(diǎn)A為原點(diǎn)，若點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)恰好為10，則有點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為30，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35（3）設(shè)乙從M點(diǎn)第一次回到點(diǎn)N時(shí)所用時(shí)間為t，則t＝＝35（秒）那么甲在總的時(shí)間t內(nèi)所運(yùn)動(dòng)的長度為s＝5t＝5×35＝175可見，在乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，甲在C，D之間運(yùn)動(dòng)的情況為175÷60＝2……55，也就是說甲在C，D之間運(yùn)動(dòng)一個(gè)來回還多出55長度單位．①設(shè)甲乙第一次相遇時(shí)的時(shí)間為t1，有5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5這時(shí)甲和乙所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為﹣5．②設(shè)甲乙第二次相遇時(shí)的時(shí)間經(jīng)過的時(shí)間t2，有5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒）此時(shí)甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15這時(shí)甲和乙所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為15．③設(shè)甲乙第三次相遇時(shí)的時(shí)間經(jīng)過的時(shí)間t3，有5t3﹣2t3＝20，t3＝（秒）此時(shí)甲的位置：30﹣（5×﹣15）＝11，乙的位置：20﹣（2×﹣5）＝11這時(shí)甲和乙所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為11④從時(shí)間和甲運(yùn)行的軌跡來看，他們可能第四次相遇．設(shè)第四次相遇時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為t4，有5t4﹣11﹣30﹣15+2t4＝11，t4＝9（秒）此時(shí)甲的位置：5×9﹣45﹣11＝﹣7，乙的位置：11﹣2×9＝﹣7這時(shí)甲和乙所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為﹣7．四次相遇所用時(shí)間為：5+10++9＝31（秒），剩余運(yùn)行時(shí)間為：35﹣31＝3（秒）當(dāng)時(shí)間為35秒時(shí)，乙回到N點(diǎn)停止，甲在剩余的時(shí)間運(yùn)行距離為5×3＝＝17．位置在﹣7+17＝10，無法再和乙相遇，故所有相遇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為﹣5、15、11、﹣7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸作圖及線段長度計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)，重要的是兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上做復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡和相遇的位置，具有比較大的難度．正確分析出可能相遇的情況并建立一元一次方程是解題的關(guān)鍵．13．(1)41°;(2)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，進(jìn)而可得∠COE=，即可得答案；（2）分別討論OA在∠BOD內(nèi)部和外部的情況，根據(jù)求得結(jié)果進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）∵射線平分、射線平分，∴，，∴=====41°（2）與之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，如圖，當(dāng)在內(nèi)部，∵射線平分、射線平分，∴，∴===如圖，當(dāng)在外部，∵射線平分、射線平分，∴，∴=====∴與之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，正確作圖，熟記角的特點(diǎn)與角平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．14．探究三：16,6；結(jié)論：n2,;應(yīng)用：625，300.【解析】【分析】探究三：模仿探究一、二即可解決問題；結(jié)論：由探究一、二、三可得：將邊長為的正三角形的三條邊分別等分，連接各邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，邊長為1的正三角形共有個(gè)；邊長為2的正三角形共有個(gè)；應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論即可解決問題.【詳解】解：探究三：如圖3，連接邊長為4的正三角形三條邊的對(duì)應(yīng)四等分點(diǎn)，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有3個(gè)，第三層有5個(gè)，第四層有7個(gè)，共有個(gè)；邊長為2的正三角形有個(gè).結(jié)論：連接邊長為的正三角形三條邊的對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個(gè)，第二層有3個(gè)，第三層有5個(gè)，第四層有7個(gè)，……，第層有個(gè)，共有個(gè)；邊長為2的正三角形，共有個(gè).應(yīng)用：邊長為1的正三角形有=625（個(gè)），邊長為2的正三角形有（個(gè)）.故答案為探究三：16,6；結(jié)論：n2,;應(yīng)用：625，300.【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題．15．（1）135，135；（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°.【解析】【分析】（1）由題意可得，∠MON＝×90°+90°，∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD，即可得出答案；（2）根據(jù)“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；（3）設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，進(jìn)而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.【詳解】解：（1）圖2中∠MON＝×90°+90°＝135°；圖3中∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD＝（∠AOC+∠BOD）+90°＝90°+90°＝135°；故答案為：135，135；（2）∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線，∴∠MOC+∠NOD＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）＝45°，∴∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD＝45°+90°＝135°；（3）同意，設(shè)∠BOC＝x°，則∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分線，∴∠MOC＝∠AOC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∠BON＝∠BOD＝（90°﹣x°）＝45°﹣x°，∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝（90°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)角度關(guān)系及運(yùn)算的靈活運(yùn)用和掌握，此類問題的練習(xí)有利于學(xué)生更好的對(duì)角進(jìn)行理解.16．（1）80°；（2）140°【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，再根據(jù)角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠MON=∠BOM+∠BON，結(jié)合三式求解；（2）根據(jù)角平分線的定義∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根據(jù)角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC結(jié)合三式求解.【詳解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=∠AOB+∠BOD=(∠AOB+∠BOD).∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，∴∠MON=×160°=80°；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，∴∠MON=∠AOC+∠BOD-∠BOC=(∠AOC+∠BOD)-∠BOC.∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC,∴∠MON=(∠AOB+∠BOC+∠BOD)-∠BOC=(∠AOD+∠BOC)-∠BOC，∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°,∴60°=(α+20°)-20°,∴α=140°.【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，角平分線的定義，明確角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.17．（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，平角的定義，角的和差定義計(jì)算即可．（2）根據(jù)∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解決問題．（3）分兩種情形分別討論求解．【詳解】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°（3）若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，∠FEG＝2α﹣180°，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)側(cè)，∠FEG＝180°﹣2α．【點(diǎn)睛】考查了角的計(jì)算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．18．（1）見詳解；（2），，；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒或9秒時(shí)，PQ=2cm.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，所以可以求出點(diǎn)P，Q的位置；（2）根據(jù)向