1概率論與隨機(jī)過程2隨機(jī)現(xiàn)象:

在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.例如，天氣的變化、股市的漲跌、車站人數(shù)……概率論與隨機(jī)過程：研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。課程介紹第2頁3課程介紹概率論與隨機(jī)過程：研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。

概率論起源于17世紀(jì)中葉的賭博問題，帕斯卡和費(fèi)馬最先考慮該問題。隨后，伯努利，棣莫弗，拉普拉斯，高斯，泊松，切比雪夫，馬爾科夫等數(shù)學(xué)家對概率論的發(fā)展做出杰出貢獻(xiàn)。1933年，柯莫戈洛夫出版《概率論基礎(chǔ)》，在測度論基礎(chǔ)上建立了概率的公理化定義。

概率論與生活實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)有著緊密的聯(lián)系，是許多新發(fā)展的前沿學(xué)科(如控制論、信息論、可靠性理論、人工智能等)的基礎(chǔ)。第3頁4課程介紹概率論與隨機(jī)過程：研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。

隨機(jī)過程研究隨時(shí)間推移的隨機(jī)現(xiàn)象?？履曷宸颉ⅠR爾科夫、維納、萊維、辛欽、伊藤清等著名數(shù)學(xué)家做了很多重要工作。隨機(jī)過程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過程的理論來建立數(shù)學(xué)模型。第4頁5第一章概率論的基本概念1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.2事件的概率及其性質(zhì)1.3條件概率1.4

事件的獨(dú)立性1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間、樣本點(diǎn)隨機(jī)事件事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的運(yùn)算法則71.隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn)是對自然現(xiàn)象的一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn)。(1)在相同的條件下可重復(fù)試驗(yàn);(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè),且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.隨機(jī)試驗(yàn)第7頁8隨機(jī)試驗(yàn)舉例

E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.

E3:將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).E5:一天內(nèi)收到的微信數(shù).E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.E4:擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).第8頁92.樣本空間與樣本點(diǎn)

第9頁10

E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.

E3:將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).

第10頁11E5:一天內(nèi)收到的微信數(shù).E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.E4:擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

說明：樣本空間中的元素可以是數(shù)，也可以不是數(shù).第11頁12

樣本空間的分類第12頁133.隨機(jī)事件

第13頁14

第14頁15

第15頁164.事件間的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含關(guān)系A(chǔ)B

第16頁17

第17頁18（2）相等關(guān)系

第18頁

AB（3）和事件

第19頁

（4）積事件

AB

第20頁事件的和、積可推廣至有任意有限和可列個(gè)事件的和的情況。推廣有限個(gè)事件的和可列個(gè)事件的和有限個(gè)事件的積可列個(gè)事件的積第21頁

（5）差事件

AB

ABA-B

第22頁23

第23頁24

第24頁

BA（6）互不相容事件

第25頁26

推廣第26頁

注：對立事件一定互不相容，但互不相容事件未必是對立事件。（7）對立事件

AB

第27頁

（8）逆事件

A

第28頁

幾點(diǎn)說明:第29頁

其他相關(guān)性質(zhì)：

第30頁

5.事件的運(yùn)算法則第31頁32

第32頁33

第33頁34

第34頁

第35頁364個(gè)概念：隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件4種關(guān)系：包含、相等、互不相容、對立4種運(yùn)算：和、積、差、逆4種法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對偶律總結(jié)第36頁

記號(hào)

事件意義關(guān)系或運(yùn)算事件的關(guān)系事件的運(yùn)算總結(jié)第37頁1.2.1古典概率1.2.2幾何概率1.2.3概率的統(tǒng)計(jì)定義1.2.4概率的公理化定義381.2事件的概率及其性質(zhì)39生活中有這樣一些試驗(yàn)，它們具有以下特點(diǎn)：(1)樣本空間中的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.1.2.1古典概率1.定義比如：足球比賽中扔硬幣選邊，圍棋比賽中猜先.我們把這類試驗(yàn)稱為古典概型（或等可能概型）,古典概型中事件的概率稱為古典概率.古典概型法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)在1812年給出了古典概率的定義.第39頁

古典概率的計(jì)算第40頁（有限可加性）

2.性質(zhì)第41頁

第42頁例1

在數(shù)字1,2,3,4,5,6中任取不同的兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),求這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率。

3.古典概型舉例第43頁3.古典概型舉例

第44頁45

[不放回抽樣]第45頁46（2）一個(gè)一個(gè)地取

[不放回抽樣]第46頁47(1)和(2)的計(jì)算結(jié)果相同，但(1)和(2)的解法不同，這告訴我們，同一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可用不同的樣本空間來描述，因此對同一事件的概率也常常有不同的求法，但在計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)及事件所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，必須在同一樣本空間中考慮，否則將出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.注記第47頁48

[放回抽樣]第48頁49上述取球問題是很多實(shí)際問題的概率模型，例如在一批產(chǎn)品的檢驗(yàn)問題中，“黑球”、“白球”可以代表“正品”、“次品”；某種疾病的檢驗(yàn)中，“黑球”、“白球”可以代表“患病”、“不患病”或類似問題中的“甲物”、“乙物”等等.注記第49頁

第50頁

第51頁52

注記第52頁

第53頁

第54頁

第55頁1.2.2幾何概率ΩA.M

1.定義第56頁ΩA.M

幾何概率的計(jì)算幾何概率的定義第57頁

（可列可加性）2．幾何概率的性質(zhì)第58頁

y

11

0

第59頁例2（約會(huì)問題）甲，乙兩人約定中午1點(diǎn)到2點(diǎn)間在某地會(huì)面，約定先到者等候10分鐘即離去，設(shè)想甲，乙兩人各自隨意地在1-2點(diǎn)之間選一個(gè)時(shí)刻到達(dá)約會(huì)點(diǎn)，問“甲，乙兩人能約會(huì)”這一事件的概率為多少？

第60頁

60601010

0A第61頁

第62頁于是

A

第63頁64

解：

第64頁65

解：

第65頁66

一道題有三個(gè)不同解，但卻都是正確的，其主要原因就是古典概型的體系問題。題目中說任做一弦，弦的做法思路不同，計(jì)算概率的度量區(qū)域就不同。題目中的“任作”并不能說清是哪一種度量下的等可能。

貝朗特悖論讓我們清晰的看到古典（幾何）概型邏輯上的弱點(diǎn)，它推動(dòng)了之后的概率公理化進(jìn)程。注記第66頁1.2.3概率的統(tǒng)計(jì)定義

1.頻率的概念與性質(zhì)頻率的定義直觀上，一事件發(fā)生的可能性的大小，與此事件在多次重復(fù)試驗(yàn)中其出現(xiàn)的頻繁程度有密切的關(guān)系.第67頁

頻率的性質(zhì)第68頁

2.頻率的穩(wěn)定性第69頁

2.頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)者德?摩根蒲豐K?皮爾遜K?皮爾遜

nnHfn(H)204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005第70頁

概率的統(tǒng)計(jì)定義第71頁723.概率的統(tǒng)計(jì)定義

第72頁

（1）不能對任一事件都去通過大量實(shí)驗(yàn)來確定概率；（2）不規(guī)范，無法進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.此定義的意義此定義的局限性第73頁1.2.4概率的公理化定義

1.概率的公理化定義第74頁75概率的公理化定義柯爾莫哥洛夫安德雷·柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，主要在概率論、算法信息論和拓?fù)鋵W(xué)貢獻(xiàn)，最為人所道的是對概率論公理化所作出的貢獻(xiàn)。1933年，柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展，逐步形成了概率論的一整套公理化體系，為現(xiàn)代概率論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也使概率論成為了一門有嚴(yán)密理論基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)科。第75頁76概率的公理化定義

第76頁2.概率的性質(zhì)

第77頁2.概率的性質(zhì)

(6)(概率的連續(xù)性)若則若則

第78頁

第79頁

解:

第80頁

第81頁

第82頁例3在1～1000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

第83頁

第84頁np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：注記注意到,“任意64個(gè)人，至少兩人生日相同”的概率達(dá)到99.7

,

而由抽屜原理,任意366人至少兩個(gè)人生日相同是一必然事件.64與366相差甚遠(yuǎn),卻得到了幾乎一樣的結(jié)論，充分體現(xiàn)了用隨機(jī)方法處理問題的優(yōu)越性.第85頁86例5從5雙鞋子中任取4只，問這4只中至少有兩只配成一雙的概率是多少？

第86頁

第87頁

解：至少有一張考簽未被抽到的概率為

第88頁

第89頁

解：

第90頁小結(jié)古典概率幾何概率概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的公理化定義

第91頁三張卡片的騙局

有人請你玩以下游戲：在一個(gè)帽子里有三張卡片，一張兩面都是黑的，一張兩面都是白的，還有一張兩面一黑一白，他從里面摸出一張(如果你怕他做手腳，也可以由你來摸)，攤到桌面上，當(dāng)然，朝上這一面可能是黑的，也可能是白的，現(xiàn)在他和你打賭背面的顏色與上面一致，你打不打這個(gè)賭？兩張卡片的情況

有人請你玩以下游戲：有二張卡片，一張兩面都是白的，一張兩面一黑一白，他從里面摸出一張(如果你怕他做手腳，也可以由你來摸)，攤到桌面上，當(dāng)然，朝上這一面是白的，現(xiàn)在他和你打賭背面的顏色與上面一致，你打不打這個(gè)賭？1.3條件概率1.3.1條件概率與乘法公式1.3.2全概率公式與貝葉斯公式1.3.1條件概率與乘法公式

1.條件概率

第95頁

由例1可以看出，事件在“條件A已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個(gè)條件的概率是不同的．注記第96頁從幾何概型來看，ΩABB發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率為AB第97頁98

條件概率的定義

第98頁99

證3：由此可見，條件概率也是一種概率.第99頁100

條件概率的定義

第100頁

概率的一切性質(zhì)都適用于條件概率，例如：第101頁

第102頁

第103頁例2一次擲10顆骰子，已知至少出現(xiàn)了一個(gè)1點(diǎn)，求至少出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)的概率。由古典概型計(jì)算公式

解:設(shè)A=“擲10顆骰子，至少出現(xiàn)一個(gè)1點(diǎn)”B=“擲10顆骰子，至少出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)”C=“擲10顆骰子，恰出現(xiàn)一個(gè)1點(diǎn)”

第104頁

2.乘法公式

乘法定理稱★（或☆）為兩個(gè)事件的乘法公式.第105頁106

推廣第106頁例1.盒中5個(gè)白球，2個(gè)黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。

第108頁例3.某人忘記了銀行卡密碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地輸入數(shù)字，密碼三次輸入不正確將被凍結(jié)，求在銀行凍結(jié)之前輸入正確密碼的概率.

第109頁例4（Polya罐子模型）

設(shè)袋中裝有r個(gè)紅球，t個(gè)白球，每次任取一球，觀察其顏色后放回，并再放入a個(gè)同色球和b個(gè)異色球.若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。r個(gè)紅球,t個(gè)白球

第110頁r個(gè)紅球,t個(gè)白球

注記第111頁

甲B1乙B2丙B31.3.2全概率公式和貝葉斯公式1.全概率公式第112頁

全概率公式第113頁

樣本空間的劃分

第114頁

全概率公式第115頁全概率公式的文氏圖解釋：A

將事件A分解為若干個(gè)互不相容的較簡單事件之和.

第116頁例2.某10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，三個(gè)人參加抽簽（不放回），抽簽順序?yàn)榧?、乙、丙，求三人各抽得難簽的概率.

第117頁例2.某10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，三個(gè)人參加抽簽（不放回），抽簽順序?yàn)榧?、乙、丙，求三人各抽得難簽的概率.

由此表明，這種抽簽是公平的.第118頁全概率公式的使用

第119頁

原因

結(jié)果

全概率公式

第120頁2.貝葉斯公式

貝葉斯公式第121頁

貝葉斯(Bayes)公式

該公式稱為貝葉斯公式.第122頁123

托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes，1702-1761），18世紀(jì)英國神學(xué)家、數(shù)學(xué)家、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家和哲學(xué)家，概率論理論創(chuàng)始人，貝葉斯統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)立者。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn)。1763年發(fā)表了這方面的論著，對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作《機(jī)會(huì)的學(xué)說概論》發(fā)表于1758年.貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿用至今。托馬斯·貝葉斯貝葉斯簡介第123頁

解:

由貝葉斯公式:這說明老師們依據(jù)試卷成績來衡量學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)狀況還是有科學(xué)依據(jù)的.

第124頁例3對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？

第125頁

第126頁

這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率解:第127頁B1

B2

…

Bn原因A結(jié)果

全概率公式貝葉斯公式全概率公式貝葉斯公式第128頁

貝葉斯公式的解釋第129頁小結(jié)

第130頁三門問題：臺(tái)上有三扇門，其中一扇門后面有汽車，其余后面是山羊。主持人讓你任意選擇一扇門，然后他打開其余兩扇門中的一扇，你看到是山羊。這時(shí)，他給你機(jī)會(huì)讓你可以重選，也就是你可以換選另一個(gè)剩下的門。那么，你換不換？

思考：第131頁1.4事件的獨(dú)立性1.4.1兩個(gè)事件的獨(dú)立性1.4.2兩個(gè)以上事件的獨(dú)立性1.4.3伯努利概型1.4.1兩個(gè)事件的獨(dú)立性

133

這表明，事件A是否發(fā)生對事件B是否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件A與B呈現(xiàn)出某種獨(dú)立性．

A,B相互獨(dú)立第133頁134

事件獨(dú)立性的定義第134頁135

事件獨(dú)立性的性質(zhì)

第135頁136

第136頁137

1.4.2兩個(gè)以上事件的獨(dú)立性第137頁138

注記

第138頁139

第139頁140

注記

第140頁141

第141頁142

第142頁例5電路系統(tǒng)的可靠性。如圖，兩個(gè)系統(tǒng)各有2n個(gè)元件，其中系統(tǒng)Ⅰ先串聯(lián)后