第08講相似三角形的性質(zhì)（九大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握相似三角形的性質(zhì)；2、學(xué)會解決相似三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用；3、利用相似三角形的性質(zhì)與其他幾何知識解決問題。一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.【方法規(guī)律】要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.如圖24—43,已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，△ABC與△△A1B1C1的相似比為k,AD、A1D1分別是△ABC、△A1B1C1的角平分線.那么的值是否也等于k?為什么?由已知條件可知△ABD、A1B1D1,有兩個角對應(yīng)相等，于是可推出結(jié)論是肯定的.推導(dǎo)過程如下：∵△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，∴∠B=∠B,∠BAC=∠B1A1C1(相似三角形的對應(yīng)角相等).∵AD、A1D1分別是△ABC、△A1B1C1的角平分線，即∴∠BAD=∠B1A1D1.在△ABD與A1B1D1中，∴△ABD∽△A1B1D1(兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似).得(相似三角形的對應(yīng)邊成比例),即用類似的方法可以得到，相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比也等于相似比.3.相似三角形性質(zhì)定理2:相似三角形周長的比等于相似比.∽，則由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.∽，則分別作出與的高和，則【方法規(guī)律】相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.二、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.【方法規(guī)律】測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長.【方法規(guī)律】1．比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離;2．太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;3．視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．【即學(xué)即練1】如果兩個相似三角形的周長比為，那么它們的對應(yīng)中線的比為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練2】如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是，那么它們的對應(yīng)面積之比是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】已知在梯形中，，交于，若，則的值為【即學(xué)即練4】如圖，在中，D、E分別是上的點，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．【即學(xué)即練5】清朝《數(shù)理精蘊》里有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立．又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點）直行8里有一塔（點），自西門（點）直行2里至點，切城角（點）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是里．題型1：直接利用相似三角形的性質(zhì)求解【典例1】．如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是，那么它們的周長之比等于.【典例2】．如果兩個相似三角形的周長的比等于，那么它們的面積的比等于．【典例3】．如果兩個相似三角形的對應(yīng)高的比為，那么這兩個三角形的面積比為．【典例4】．若兩個相似三角形的面積比為，則這兩個三角形的周長比為．【典例5】．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形一組對邊上的中線之比為【典例6】．已知：，若，，則與的相似比為，它們的面積比為．【典例7】．如果兩個相似三角形的最大邊上的中線長分別是和，它們周長的差是，那么這兩個三角形的周長分別為．【典例8】．已知的三邊長分別為2、3、4，與相似，且周長為54，那么的最短邊的長是．題型2：已知兩三角形相似，結(jié)合其他幾何知識求解【典例9】．已知在中，，如果與相似，且兩條邊的長分別為4和，那么第三條邊的長為．【典例10】．如圖，已知點分別是邊上的點，且，相似比為交于點，則．【典例11】．如圖，方格中的，則相似比為（

）．A． B． C． D．【典例12】．已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為．【典例13】．如圖，已知．(1)若平分，，求的度數(shù)；(2)若，求AC的長．【典例14】．在中，，點是邊上的一點，線段將分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形是相似三角形，且相似系數(shù)等于2，那么線段的長是．題型3：相似三角形的判定與性質(zhì)—求含平行線的相似三角形問題【典例15】．如圖，在中，分別在邊上，．若，，則的值為．【典例16】．如圖，相交于點O，是的中位線．若，則的長為．【典例17】．如圖，在中，E是上一點，，的延長線與的延長線相交于點F，若，則的長為．【典例18】．如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B．8 C．10 D．16題型4：相似三角形的判定與性質(zhì)—面積（比）問題綜合【典例19】．如圖，在中，D，E分別為，的中點，則（

）A． B． C． D．【典例20】．如圖，在平行四邊形中，如果點M為的中點，若已知，那么等于（）A．6 B．9 C．12 D．3【典例21】．如圖，中，點、分別在、上，，，則與的面積的比為．【典例22】．如圖所示，已知在梯形中，，，則．【典例23】．如圖，在中，，是的三等分點，.（1）若，則；（2）.【典例24】．如圖，點G是的重心，BG的延長線交AC于點D，過點G作，交于點E，則．【典例25】．如圖，在中，是邊上的中線，為的重心，過點作交于點，那么的面積是．題型5：相似三角形的實際應(yīng)用【典例26】．如圖，河對岸有一燈桿，在燈光下，小明在點D處測得自己的影長，沿方向前進(jìn)到達(dá)點F處測得自己的影長．已知小明的身高為，則燈桿的高度是．【典例27】．圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，和相交于點O，點A、B之間的距離為米，，根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、D之間的距離為米．【典例28】．如圖是一個零件的剖面圖，已知零件的外徑為，為求出它的厚度，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（和的長相等）去測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得的長是，那么零件的厚度是．

題型6：網(wǎng)格問題【典例29】．如圖，在的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，請按要求在方格紙上畫格點三角形（各頂點都在格點上）．

(1)在圖1中畫出，使它由繞著點B旋轉(zhuǎn)得到；(2)在圖2中找到格點M，N，使得與相似，且相似比為．【典例30】．如圖在的方格中，每一個小正方形的頂點叫做格點，以其中三個格點為頂點的三角形稱為格點三角形，△ABC就是一個格點三角形，現(xiàn)從的三個頂點中選取兩個格點，再從余下的格點中選取一個格點聯(lián)結(jié)成格點三角形，其中與相似的有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例31】．如圖，在由小正方形組成的方格紙中，和的頂點均在格點上，要使，則點所在的格點為（

）A．點 B．點 C．點 D．點題型7：根據(jù)相似求點的坐標(biāo)【典例32】．在直角坐標(biāo)系中有兩點，點C為的中點，點D在x軸上，當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，使得．【典例33】．已知點A(2，0)，點B(b，0)(b＞2)，點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的點P坐標(biāo)為．題型8：動點問題（分類討論；求參數(shù)范圍）【典例34】．如圖，在中，，，點P從點B出發(fā)以1個單位的速度向點A運動，同時點Q從點C出發(fā)以2個單位的速度向點B運動．當(dāng)以B，P，Q為頂點的三角形與相似時，運動時間為（

）

A． B． C．或 D．以上均不對【典例35】．如圖，在直角梯形中，，，點P為邊上一動點，若與是相似三角形，則滿足條件的．【典例36】．如圖，矩形中，，，點在邊上，，過點作交于點，若線段上存在個不同的點，使得與相似，則的取值范圍為．題型9：根據(jù)三角形相似求對應(yīng)線段成比例【典例37】．如圖，中，，在上分別截取的延長線相交于點F，證明：．【典例38】．如圖，為平行四邊形的邊延長線上的一點，連接．交于，交于．求證：．【典例39】．如圖①，在Rt中，，，點D為邊上的一點，連接，過點C作于點F，交于點E，連接．(1)若，求證：；(2)如圖②，若，，求的值．一、單選題1．如果兩個相似三角形的對應(yīng)高之比是，那么它們的周長比是（

）A． B．C． D．2．已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內(nèi)角分別為，則另一個三角形的最小內(nèi)角為（

）A． B． C． D．不能確定3．已知與相似，且，那么下列結(jié)論中，一定成立的是（

）A． B． C．相似比為 D．相似比為4．如圖，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB與△OCD的面積分別是S1與S2，周長分別是C1與C2，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．5．如圖，點F時平行四邊形的邊上一點，直線交的延長線與點E，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．6．如圖在△ABC中，AD是BC邊上的高線，BD＝1，DC＝3，過點A作AE∥BC，連接BE交AD，AC于點F，點G，若BE平分AC，則＝（

）A． B． C． D．7．如圖，已知正方形的頂點D、E在的邊上，點G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個正方形的邊長是（

）A．4 B．8 C． D．8．如圖，在△中，，垂足為，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．D．9．如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，對角線AC、BD相交于點O，CE平分OB，且與AB交于點E．若F為CE中點，則△BEF的周長是（

）A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6二、填空題11．已知∽，它們的面積比為，則對應(yīng)角的角平分線的比等于．12．如果ΔABC的三邊長分別是3、4、5，與其相似的的最長邊為15，那么的周長是.13．如圖，點E是平行四邊形的邊延長線上一點，與相交于點F，若，則．14．一個三角形框架模型的邊長分別為3分米、4分米和5分米，木工要以一根長6分米的木條為一邊，做與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是平方分米．15．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于點O，已知，則．16．如圖，在矩形中，，．點、分別在邊、上，點、在對角線上．如果四邊形是菱形，那么線段的長為．17．如圖，平行四邊形的頂點在雙曲線上，，，與軸交于點，若與四邊形的面積比為，則的值為．

18．如圖，正方形的邊長為，點是的中點，與交于點，是上一點，連接分別交，于點，，且，連接，則．三、解答題19．如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為12，求△DEF的邊EF上的高和面積．20．如圖，在和中，G，H分別是邊和的中點，已知．（1）中線與的比是多少？（2）與的面積比是多少？21．如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標(biāo)點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S在一條直線上，且直線PS與河垂直，在過點S且與直線PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，PT與過點Q且與PS垂直的直線b的交點為R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的長．22．如圖，在中，點D，E分別在邊和上，且．（1）若，則等于多少？（2）若，則，各等于多少？23．如圖，是上一點，，若是上的點，，求的值．24．如圖，在菱形中，點在邊上，連接并延長，交對角線于點、的延長線與點．(1)求證：是、的比例中項；(2)若，求的值．25．如圖，過頂點C作直線與與及中線交于F、E，過D作交于M．(1)若，求的值；(2)求證：．26．如圖，在中，D是上的點，E是上一點，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．27．已知．(1)如圖，點為邊上任意一點，點在邊上，且與相似．請在圖中畫出所有符合題意的（