2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)計算器探究試卷一、函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)分析（共30分）1.基礎(chǔ)函數(shù)圖像繪制（15分）題目1：使用計算器繪制函數(shù)(f(x)=2\sin(3x+\frac{\pi}{4})+1)在區(qū)間([-2\pi,2\pi])上的圖像，并回答以下問題：（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）指出函數(shù)的最大值及對應(yīng)的(x)值；（3）判斷函數(shù)圖像是否關(guān)于原點對稱，并說明理由。操作提示：進(jìn)入計算器“函數(shù)繪圖”模式，輸入函數(shù)表達(dá)式時注意括號優(yōu)先級，三角函數(shù)的系數(shù)需用乘法符號“*”連接；通過“窗口設(shè)置”調(diào)整(x)軸范圍為(-6.28)至(6.28)（即(-2\pi)至(2\pi)），(y)軸范圍建議設(shè)為(-1)至(3)；使用“追蹤”功能獲取函數(shù)頂點坐標(biāo)，通過“零點”工具輔助判斷對稱性。參考答案：（1）最小正周期(T=\frac{2\pi}{3})；（2）最大值為(3)，當(dāng)(3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）時，即(x=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3})；（3）不對稱，因為(f(-x)=2\sin(-3x+\frac{\pi}{4})+1\neq-f(x))。2.分段函數(shù)與絕對值函數(shù)（15分）題目2：繪制函數(shù)(g(x)=|x^2-4x+3|)的圖像，結(jié)合圖像解決以下問題：（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程(g(x)=m)有四個不同的實數(shù)解，求(m)的取值范圍；（3）計算函數(shù)在區(qū)間([0,4])上與(x)軸圍成的面積。操作提示：絕對值函數(shù)需分情況輸入，或直接使用計算器的絕對值符號“abs()”；通過“求導(dǎo)”功能獲取函數(shù)的極值點，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間；使用“積分”工具計算定積分，注意積分區(qū)間需分段處理（如在(x=1)和(x=3)處分段）。參考答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為([1,2])和([3,+\infty))；（2）(m\in(0,1))；（3）面積為(\int_{0}^{1}(x^2-4x+3)dx+\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx+\int_{3}^{4}(x^2-4x+3)dx=4)。二、方程與不等式求解（共25分）1.高次方程與超越方程（15分）題目3：用計算器求解方程(x^3-2x^2-5x+6=0)的所有實數(shù)根，并驗證根與系數(shù)的關(guān)系。操作提示：進(jìn)入“方程求解”模式，選擇“三次方程”類型，輸入系數(shù)(a=1)，(b=-2)，(c=-5)，(d=6)；若使用圖像法，可繪制函數(shù)(y=x^3-2x^2-5x+6)，通過“零點”工具獲取根的近似值；根與系數(shù)關(guān)系驗證：設(shè)三根為(x_1,x_2,x_3)，則需滿足(x_1+x_2+x_3=2)，(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-5)，(x_1x_2x_3=-6)。參考答案：方程的實數(shù)根為(x_1=-2)，(x_2=1)，(x_3=3)；驗證：(-2+1+3=2)，((-2)\times1+(-2)\times3+1\times3=-5)，((-2)\times1\times3=-6)，符合韋達(dá)定理。2.不等式組與線性規(guī)劃（10分）題目4：解不等式組(\begin{cases}x^2-3x-10<0\\frac{x+2}{x-1}\leq0\end{cases})，并用計算器的“不等式求解”功能驗證結(jié)果。操作提示：分別求解每個不等式，第一個為二次不等式，第二個為分式不等式；二次不等式可通過求根法轉(zhuǎn)化為((x-5)(x+2)<0)，解集為((-2,5))；分式不等式需注意分母不為零，轉(zhuǎn)化為((x+2)(x-1)\leq0)且(x\neq1)，解集為([-2,1))；取兩個解集的交集，使用計算器“交集”工具驗證結(jié)果。參考答案：不等式組的解集為((-2,1))。三、數(shù)列與統(tǒng)計分析（共25分）1.遞推數(shù)列的通項與求和（15分）題目5：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)（(n\in\mathbb{N}^*)），使用計算器的“數(shù)列”功能完成以下任務(wù)：（1）計算數(shù)列的前5項；（2）求數(shù)列的通項公式(a_n)；（3）計算前10項的和(S_{10})。操作提示：進(jìn)入“遞推數(shù)列”模式，輸入初始值(a_1=1)，遞推公式(a_{n+1}=2a_n+3^n)，設(shè)置項數(shù)為10；通過“通項公式求解”工具，選擇“一階線性遞推”類型，輸入?yún)?shù)(p=2)，(q(n)=3^n)；使用“求和”功能計算前10項和，注意公式法驗證：(a_n=2^n+3^n-2)，(S_n=2^{n+1}+\frac{3^{n+1}}{2}-2n-\frac{5}{2})。參考答案：（1）前5項為(1,5,19,65,211)；（2）通項公式(a_n=3^n+2^n-2)；（3）(S_{10}=2^{11}+\frac{3^{11}}{2}-20-\frac{5}{2}=2048+8857.5-20-2.5=10883)。2.統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析與可視化（10分）題目6：某班級40名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）如下：85,92,78,90,88,76,85,95,80,83,79,91,86,89,75,82,93,87,81,84,94,77,88,90,85,86,83,92,89,80,78,87,91,84,82,85,90,86,88,81.使用計算器的“統(tǒng)計”功能：（1）繪制成績的頻率分布直方圖（組距為5，起始分75）；（2）計算平均分、中位數(shù)、方差；（3）估計成績在85分以上（含85分）的學(xué)生人數(shù)。操作提示：將數(shù)據(jù)輸入計算器“列表”模式，使用“統(tǒng)計繪圖”選擇“直方圖”，設(shè)置分組區(qū)間為([75,80))，([80,85))，…，([95,100])；通過“單變量統(tǒng)計”功能直接獲取均值(\bar{x})、中位數(shù)(Med)、方差(\sigma^2)；利用“區(qū)間計數(shù)”工具統(tǒng)計85分以上的頻數(shù)。參考答案：（1）直方圖分組及頻率：([75,80))：5人，頻率0.125；([80,85))：10人，頻率0.25；([85,90))：15人，頻率0.375；([90,95))：8人，頻率0.2；([95,100])：2人，頻率0.05；（2）平均分(\bar{x}=85.6)，中位數(shù)86，方差(\sigma^2\approx25.3)；（3）85分以上人數(shù)為(15+8+2=25)人。四、導(dǎo)數(shù)與積分的應(yīng)用（共20分）1.函數(shù)的極值與最值（10分）題目7：已知函數(shù)(h(x)=x^3-3x^2-9x+5)，使用計算器求函數(shù)在區(qū)間([-2,4])上的極值與最值。操作提示：繪制函數(shù)圖像，通過“導(dǎo)數(shù)”工具計算(h'(x)=3x^2-6x-9)，令(h'(x)=0)求駐點；使用“極值”功能獲取極大值和極小值，注意區(qū)分“相對極值”與“絕對最值”；比較區(qū)間端點值(h(-2))和(h(4))與極值的大小，確定最值。參考答案：駐點：(x=-1)（極大值點），(x=3)（極小值點）；極大值(h(-1)=10)，極小值(h(3)=-22)；區(qū)間端點值：(h(-2)=-1)，(h(4)=-15)；最大值為10（(x=-1)），最小值為-22（(x=3)）。2.定積分的幾何意義與物理應(yīng)用（10分）題目8：計算定積分(\int_{0}^{\pi}(x+\sinx)dx)，并解釋其幾何意義；若該積分表示某物體做直線運動的位移，已知物體的初速度(v_0=2)m/s，求物體在(t=\pi)時刻的速度。操作提示：使用計算器“定積分”功能，輸入被積函數(shù)(x+\sinx)，積分區(qū)間([0,\pi])；幾何意義需結(jié)合函數(shù)圖像說明，即曲線(y=x+\sinx)與(x)軸在([0,\pi])圍成的面積；物理應(yīng)用中，位移(s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dt)，故(v(t)=s'(t)=x+\sinx)，代入(t=\pi)并結(jié)合初速度計算。參考答案：定積分結(jié)果：(\int_{0}^{\pi}(x+\sinx)dx=\left[\frac{1}{2}x^2-\cosx\right]_0^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}+2\approx7.93)；幾何意義：表示函數(shù)(y=x+\sinx)在([0,\pi])上與(x)軸圍成的區(qū)域面積；速度計算：(v(\pi)=v_0+s'(\pi)=2+(\pi+\sin\pi)=2+\pi\approx5.14)m/s。五、探究性問題（共15分）題目9：利用計算器探究函數(shù)(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1})與(g(x)=x+1)的圖像關(guān)系，并回答：（1）兩函數(shù)圖像是否完全相同？若不同，指出差異點；（2）當(dāng)(x)趨近于1時，(f(x))的極限值是多少？如何用計算器驗證這一極限？（3）通過上述探究，總結(jié)使用計算器繪制函數(shù)圖像時需注意的問題。參考答案：（1）不完全相同，(f(x))在(x=1)處無定義（可去間斷點），而(g(x))定義域為(\mathbb{R})；（2）極限值為2，通過計算器“極限”功能輸入(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1})，或繪制(f(x))圖像并使用“縮放”工具觀察(x=1)附近的趨勢；（3）注意事項：檢查函數(shù)定義域，避免因計算器自動忽略間斷點導(dǎo)致圖像誤判；復(fù)雜函數(shù)需分步輸入，驗證表達(dá)式正確性；結(jié)合代數(shù)變形（如因式分解、通分）處理分式或根式函數(shù)，避免遺漏定義域限制。六、計算器使用技巧與注意事項（附加10分）精度設(shè)置：在計算無理數(shù)或極限時，通過“