第14講因式分解的意義提取公因式法（八大題型）學(xué)習(xí)目標1、能判斷是否屬于因式分解；2、知道公因式的概念，會求公因式；3、掌握提取公因式法因式分解。一、因式分解的意義我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的乘法，可以將幾個整式的乘積化為一個整式.如：m(a+b+c)=ma+mb+mc;(a+b)(a-b)=a2—b2;(a—b)2=a2-2ab+b2.反過來，有時候我們需要將一個整式化為幾個整式的積.思考：你能把下列整式化為幾個整式的積嗎?(1)ma+mb+mc=_________________(2)a2—b2=_________________(3)a2—2ab+b2=_________________幾個整式相乘，其中每個整式都稱為積的因式.把含多個項的整式化為幾個次數(shù)更低的整式的積，叫作把這個整式因式分解.如：x2+x=x(x+1);x?—1=(x2+1)(x2—1)=(x2+1)(x+1)(x—1).其中，x、x+1是x2+x的因式，x2+1、x+1、x—1是x?—1的因式.因式分解一般要分解到每個因式都不能再分解為止，如在x?—1因式分解的過程中，因式x2+1不能繼續(xù)因式分解，x2—1還能繼續(xù)因式分解為(x+1)(x—1).二、公因式整式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.【方法規(guī)律】（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個整式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.三、提取公因式法把整式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提取公因式法．【方法規(guī)律】（1）提取公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵是準確找出整式各項的公因式.（3）當整式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時整式的各項都要變號.（4）用提取公因式法分解因式時，若整式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【即學(xué)即練1】下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)；(2)；(3)；(4)【即學(xué)即練2】下列因式分解結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【即學(xué)即練3】因式分解：．【即學(xué)即練4】下列代數(shù)式中，不能用提公因式因式分解的是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練5】把分解因式，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練6】已知，，求的值．【即學(xué)即練7】已知，用因式分解法求的值．題型1：判斷是否屬于因式分解【典例1】．下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．B．C．D．【典例2】．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解【典例3】．下列變形屬于因式分解的有（

）①；②；③；④；⑤．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【典例4】．下列各式從左邊到右邊的變形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）．【典例5】．判斷下列各式從等號左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；(5)x2＋x＝x2(1+)；(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．題型2：公因式【典例6】．單項式，，的公因式是（

）A． B． C． D．【典例7】．下列各組中，沒有公因式的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【典例8】．將整式分解因式時，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．題型3：已知公因式求另一個因式【典例9】．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一個因式是（a－b），則另一個因式是（

）A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5【典例10】．若整式分解因式，其中一個因式是，則另一個因式是（

）A． B． C． D．【典例11】．把整式因式分解時，提取的公因式是xy5，則n的值可能為（

A．6 B．4 C．3 D．2題型4：已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)【典例12】．若，則m的值是（）A．2 B． C．5 D．【典例13】．若，則、的值分別為（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【典例14】．已知整式分解因式后的結(jié)果為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，題型5：用提取公因式法分解因式【典例15】．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【典例16】．因式分解：(1)；(2)；(3)．【典例17】．用提取公因式法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例18】．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)．題型6：提取公因式法的應(yīng)用【典例19】．若整式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則的值為．【典例20】．一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則的值為．【典例21】．如圖，“L形圖形的面積為7，如果，那么．【典例22】．如圖，邊長為的長方形，它的周長為10，面積為6，則的值為．題型7：根據(jù)提取公因式法分解因式求值【典例23】．已知，，則的值是．【典例24】．先因式分解，再求值；已知，，求的值．【典例25】．先因式分解，再計算求值：，其中；【典例26】．已知，求的值．【典例27】．已知a、b、x、y滿足，，求：(1)；(2)．題型8：提取公因式法分解因式拓展【典例28】．觀察下列因式分解的過程：①②③……根據(jù)上述因式分解的方法，嘗試將下列各式進行因式分解：（1）；（2）．【典例29】．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應(yīng)用了_________次；(2)將下列整式分解因式：；(3)若分解，則需應(yīng)用上述方法________次，結(jié)果是_________．一、單選題1．下列從左到右的變形，是因式分解的是（

）A．B．C．D．2．下面式子從左邊到右邊的變形為因式分解的是（）A． B．C． D．3．如果二次三項式可分解為，那么的值為（

）A． B． C．1 D．24．用提取公因式法分解因式，下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．5．如果整式mx+A可分解為m（x﹣y），則A為（）A．m B．﹣my C．﹣y D．my6．下列因式分解：①；②；③．其中結(jié)果正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2時應(yīng)提取的公因式是()．A．a(chǎn)bc B．2a C．2c D．2ac8．整式提取公因式后，剩下的因式應(yīng)是（

）.A． B．C． D．9．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪個數(shù)整除()A．3 B．5 C．7 D．910．與相同的式子是（

）.A． B． C． D．二、填空題11．在中，從左到右的變形是，從右到左的變形是．12．若整式分解因式的結(jié)果為，則的值為．13．整式各項的公因式是．14．已知整式有一個因式是，則k的值為．15．分解因式：＝16．若x＋y＝6，xy＝4，則x2y＋xy2＝．17．已知2x+4﹣2?2x＝112，則x的值為．18．若a,b,c滿足，則三、解答題19．下列因式分解是否正確？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．20．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)．21．把下列各式分解因式：(1)；(2)．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．23．先化簡，再求值：30x2（y+4）-15x（y+4），其中x=2，y=-2．24．先化簡，再求值：，其中，．25．現(xiàn)有甲、乙、丙三種長方形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示（）．某同學(xué)分別用這些卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為，．(1)請用含的式子分別表示，；(2)比較與的大小，并說明理由．26．仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及k的值．27．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是______，共應(yīng)用了_____次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，則需應(yīng)用上述方法______次，結(jié)果是______．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）結(jié)果是_______．28．方法探究：已知二次整式，我們把代入整式