蘇教七年級下冊期末解答題壓軸數學重點初中題目A卷及解析一、解答題1．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點G，點D在BC邊上運動（不與點G重合），過點D作DE∥AC交AB于點E．（1）如圖1，點D在線段CG上運動時，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數量關系？請說明理由；（2）點D在線段BG上運動時，∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究∠AFD與∠B之間的數量關系，并說明理由2．如圖，在中，是高，是角平分線，，．（）求、和的度數．（）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數改為：當，，則__________．當，時，則__________．當，時，則__________．當，時，則__________．（）若和的度數改為用字母和來表示，你能找到與和之間的關系嗎？請直接寫出你發(fā)現的結論．3．如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第____________秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．（直接寫出結果）4．（生活常識）射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2.（現象解釋）如圖2，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD.求證AB∥CD.（嘗試探究）如圖3，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON=55，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于點E，求∠BEC的大小.（深入思考）如圖4，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MONα，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BED=β,α與β之間滿足的等量關系是.（直接寫出結果）5．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）仔細觀察，在圖2中有個以線段AC為邊的“8字形”；（2）在圖2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度數；（3）在圖2中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間存在著怎樣的數量關系（用α、β表示∠P），并說明理由；（4）如圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為．6．[原題]（1）已知直線，點P為平行線AB，CD之間的一點，如圖①，若，BE平分，DE平分，則__________．[探究]（2）如圖②，，當點P在直線AB的上方時．若，和的平分線相交于點，與的平分線相交于點，與的平分線相交于點……以此類推，求的度數．[變式]（3）如圖③，，的平分線的反向延長線和的補角的平分線相交于點E，試猜想與的數量關系，并說明理由．7．如圖1，已知，是直線，外的一點，于點，交于點，滿足．（1）求的度數；（2）如圖2，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點按逆時針方向勻速旋轉，當到達時立刻返回至，然后繼續(xù)按上述方式旋轉；射線從出發(fā)，以相同的速度繞點按順時針方向旋轉至后停止運動，此時射線也停止運動．若射線、射線同時開始運動，設運動時間為秒．①當射線平分時，求的度數；②當直線與直線相交所成的銳角是時，則________．8．我們將內角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，的內角與的內角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據三角形內角和定理知“對頂三角形”有如下性質：．（1）（性質理解）如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；（2）（性質應用）如圖3，在中，點D、E分別是邊、上的點，，若比大20°，求的度數；（3）（拓展提高）如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點P，設，求的度數（用表示）．9．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數量關系．10．已知E、D分別在的邊、上，C為平面內一點，、分別是、的平分線．（1）如圖1，若點C在上，且，求證：；（2）如圖2，若點C在的內部，且，請猜想、、之間的數量關系，并證明；（3）若點C在的外部，且，請根據圖3、圖4直接寫出結果出、、之間的數量關系．【參考答案】一、解答題1．（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②；理由見解析；（2）；理由見解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質得出∠EDB=∠C=30°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性質即可得出結果；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質即可得出結果；②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性質得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性質即可得出結論；（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性質和三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，則∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為：115°；110°；②；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C，，，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質、平行線的性質等知識；熟練掌握三角形內角和定理和三角形的外角性質是解題的關鍵．2．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）當時，；當時，．【分析】（1）先利用三角形內角和定理求出的度數，再根據角平分線和高的性質分別得出和的度數，進而可求和的度數；解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）當時，；當時，．【分析】（1）先利用三角形內角和定理求出的度數，再根據角平分線和高的性質分別得出和的度數，進而可求和的度數；（2）先利用三角形內角和定理求出的度數，再根據角平分線和高的性質分別得出和的度數，則前三問利用即可得出答案，第4問利用即可得出答案；（3）按照（2）的方法，將相應的數換成字母即可得出答案．【詳解】（1）∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，，．（2）當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當，時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，．（3）當時，即時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；當時，即時，∵，，∴．∵平分，∴．∵是高，，，；綜上所述，當時，；當時，．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形的角平分線，高，掌握三角形內角和定理和直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．3．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據兩直線平行，同旁內角解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可求出∠CEN的度數.（3）畫出圖形，求出在MN⊥CD時的旋轉角，再除以30°即得結果.【詳解】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，∴∠BON＝∠N，∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°，∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°－45°=135°；（3）如圖，MN⊥CD時，旋轉角為360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．【點睛】本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內角和、平行線的判定和性質、垂直的定義和旋轉的性質，前兩小題難度不大，難點是第（3）小題，解題的關鍵是畫出適合題意的幾何圖形，弄清求旋轉角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉角∠DOM放在四邊形DOMF中，用四邊形內角和求解，第二種情況是用周角減去∠DOM的度數.4．【現象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現象解釋]根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【現象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現象解釋]根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可證得AB∥CD；[嘗試探究]根據三角形內角和定理求得∠2+∠3=125°，根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根據三角形內角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性質∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可證得β=2α．【詳解】[現象解釋]如圖2，∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【嘗試探究】如圖3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，∴∠BEC=180°-110°=70°；【深入思考】如圖4，β=2α，理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，∵∠BOC=∠3-∠2=α，∴β=2α．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握三角形的性質是解題的關鍵．5．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由見解析；（4）360°.【分析】（1）以M為交點的“8字形”有1個，以O為交點的“8字形”有2個；（2）根據角平分線的定義得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由見解析；（4）360°.【分析】（1）以M為交點的“8字形”有1個，以O為交點的“8字形”有2個；（2）根據角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據三角形內角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入計算即可；（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=（2∠C+∠B）．（4）根據三角形內角與外角的關系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根據四邊形內角和為360°可得答案．【詳解】解：（1）在圖2中有3個以線段AC為邊的“8字形”，故答案為3；（2）∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），∵∠C=100°，∠B=96°∴∠P=（100°+96°）=98°；（3）∠P=（β+2α）；理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，∴∠P=（∠B+2∠C），∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=（β+2α）；（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案為360°．6．（1）；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）過作，依據平行線的性質，即可得到，依據角平分線即可得出的度數；（2）依據平行線的性質以及三角形外角性質，求得，，，以此類推的度數為；（3）過作解析：（1）；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）過作，依據平行線的性質，即可得到，依據角平分線即可得出的度數；（2）依據平行線的性質以及三角形外角性質，求得，，，以此類推的度數為；（3）過作，進而得出，再根據平行線的性質以及三角形外角性質，即可得到【詳解】解：（1）如圖1，過作，而，，，，，又，，平分，平分，，，，故答案為：；（2）如圖2，和的平分線交于點，，，，，，與的角平分線交于點，，，，，，同理可得，，以此類推，的度數為．（3）．理由如下：如圖3，過作，而，，，，，又的角平分線的反向延長線和的補角的角平分線交于點，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線性質以及三角形外角性質的應用，在解答此題時要注意作出輔助線，構造出平行線求解．7．（1）；（2）①；②．【分析】（1）根據，，可以得到，即，再根據三角形外角定理求解即可．（2）①射線平分時，可知此時，根據題意可以確定運動時間t=3s或t=9s，從而計算的度數即可；②用含t的解析：（1）；（2）①；②．【分析】（1）根據，，可以得到，即，再根據三角形外角定理求解即可．（2）①射線平分時，可知此時，根據題意可以確定運動時間t=3s或t=9s，從而計算的度數即可；②用含t的代數式表示出所成的角度，然后進行動態(tài)分析求解即可．【詳解】解（1）∵，∴∴又∵∴（2）①∵射線平分∴∵射線從出發(fā)，以相同的速度繞點按順時針方向旋轉至后停止運動，此時射線也停止運動，∴運動的總時間∵射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點按逆時針方向勻速旋轉，當到達時立刻返回至，然后繼續(xù)按上述方式旋轉∴第一次，，第二次時，，第三次時，以此類推故當第一次，∴故第二次時，∴故第三次時，∴∵∴②如圖所示直線與直線相交所成的銳角是∴∵，，∴∴又∵∴第一種情況，當時∴當時解得當解得第二種情況，當∴此時t無解，第三種情況當同理可以計算出，綜上所述：【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠正確的分析動態(tài)過程．8．（1）見詳解；（2）100°；（3）∠P=45°-【分析】（1）由“對頂三角形”的性質得，從而得，進而即可得到結論；（2）設=x，=y，則=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=解析：（1）見詳解；（2）100°；（3）∠P=45°-【分析】（1）由“對頂三角形”的性質得，從而得，進而即可得到結論；（2）設=x，=y，則=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根據三角形內角和定理，列出方程，即可求解；（3）設∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，結合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵在“對頂三角形”與中，∴，∵，∴，∵，∴，又∵∴；（2）∵比大20°，+=+，∴設=x，=y，則=x+20°，=y-20°，∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-=x+y-x-20°=y-20°，∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；（3）∵，是的角平分線，∴設∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，∵和的平分線和相交于點P，∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)=x+y=45°-，即：∠P=45°-．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握“對頂三角形”的性質，是解題的關鍵．9．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，應用四邊形的內角和定理與平角的定義即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可；【詳解】解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延長BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下圖所示：延長BA、DC使之相交于點E，延長MC與BA的延長線相交于點F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的內外角之間的關系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如圖所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．綜上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【點睛】本題考查了平行線的性質．解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質（兩直線平行內錯角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數量關系聯系起來，從而求得∠M的度數．10．（1）證明見解析；（2）∠CDB+∠AEC＝2∠DCE；（3）圖3中∠CDB＝∠AEC+2∠DCE，圖4中∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．【分析】（1）依據DE、DF分別是∠CDO、∠CDB的平解析：（1）證明見解析；（2）∠CDB+∠AEC＝2∠DCE；（3）圖3中∠CDB＝∠AEC+2∠DCE，圖4中∠AEC＝∠CD