第十六章整式的乘法乘法公式

請同學們翻到《主書》P84第十六章整式的乘法乘法公式(1)——平方差公式請同學們翻到《主書》P84

知識點1

平方差公式

計算：(1)(x＋4)(x－4)＝

；

(2)(m＋n)(m－n)

＝

?．x2－16m2－n2

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝

?，即兩個數(shù)的和與

這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的

?．

幾何意義

你能根據圖中所示的面積關系說明平方差公式嗎？完成

下列問題．如圖，①②的總面積用式子表達為

．而①③的總

面積可以用①③④的總面積減去④的面積得到，用式子表達①③的總面

積為

．又因為②與③的面積相等，都為

，故①

②的總面積與①③的總面積

，可得等式

?．a2－b2平方差(a＋b)(a－b)a2－b2(a－b)b相等(a＋b)(a－b)＝a2－b2

1.例1計算：

(1)(x＋2)(x－2)＝

＝

?；

(2)(2x＋3)(2x－3)＝

＝

?；

(3)(－y＋1)(－y－1)＝

＝

?．x2－22x2－4(2x)2－324x2－9(－y)2－12y2－1

2.計算：

(1)(1＋a)(1－a)＝

＝

?；

(2)(5m＋n)(5m－n)＝

＝

?；

(3)(－a－4b)(－a＋4b)＝

＝

?．12－a21－a2(5m)2－n225m2－n2(－a)2－(4b)2a2－16b2

知識點2

靈活運用平方差公式進行計算

3.

例2計算：

(1)(－y－2x)(2x－y)；解：原式＝(－y－2x)(－y＋2x)＝(－y)2－(2x)2＝y(tǒng)2－4x2.

(2)(3b＋a)(－3b＋a)．解：原式＝(a＋3b)(a－3b)＝a2－(3b)2＝a2－9b2.

4.(人教八上P114練習T2改編)計算：

(1)(y－3x)(－y－3x)；解：原式＝(－3x＋y)(－3x－y)＝(－3x)2－y2＝9x2－y2.

(2)(2x＋1)(2x－1)(4x2＋1)．解：原式＝[(2x)2－12](4x2＋1)＝(4x2－1)(4x2＋1)＝16x4－1.

知識點3

簡便計算

5.

例3用簡便方法計算：101×99.解：原式＝(100＋1)×(100－1)＝1002－12＝10000－1＝9999.

知識點4

混合運算

7.

例4計算：(x＋2)(x－3)－(x＋3)(x－3)．解：原式＝x2－3x＋2x－6－(x2－32)＝x2－x－6－x2＋9＝3－x.

8.

計算：(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)．解：原式＝(3x)2－42－(6x2－4x＋9x－6)＝9x2－16－6x2－5x＋6＝3x2－5x－10.

1．

計算：(1)(a＋7)(a－7)＝

?；

(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝

?．

2．

下列各式中能用平方差公式的是（B）A．

(x＋y)(y＋x) B．

(x＋y)(y－x)C．(x＋y)(－y－x) D．

(－x＋y)(y－x)a2－499a2－4b2B

3．計算：

(1)(2y＋4x)(4x－2y)；解：原式＝(4x＋2y)(4x－2y)＝(4x)2－(2y)2＝16x2－4y2.

(2)(a2＋2b)(a2－2b)；解：原式＝(a2)2－(2b)2＝a4－4b2.

4．計算：2002－201×199.解：原式＝2002－(200＋1)(200－1)＝2002－(2002－12)＝2002－2002＋12＝1.

解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9＝4m－9.

6．(探究性學習)【探究】(1)如圖1，邊長為a的大正方形中有一個

邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形(如圖2所

示)，通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公

式

；(用含a，b的等式表示)(a＋b)(a－b)＝a2－b2

【應用】(2)已知4m2＝12＋n2，2m＋n＝4，則2m－n的值

為

?；3

(3)計算：(x－2)(x＋2)(x2＋4)；解：原式＝(x2－22)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.

提示：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝(22－

1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝(232－1)(232＋1)＋1＝264－1＋1＝264.264

【拓展】(4)計算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝

?．第十六章整式的乘法乘法公式(2)——完全平方公式請同學們翻到《主書》P86

知識點1

完全平方公式

計算：

(1)(x＋4)2＝(x＋4)(x＋4)＝

；

(2)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝

?．x2＋8x＋16m2－4m＋4

完全平方公式：(1)(a＋b)2＝

；(2)(a－b)2

＝

，即兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平

方

，加上(或減去)它們的積的

倍．(口訣：首平方加尾平

方，首尾乘積2倍放中央)a2＋2ab＋b2a2－2ab＋b2和2

幾何意義

你能根據圖1、圖2中圖形的面積說明完全平方公式嗎？

完成下列問題．

(1)分別在圖1、圖2的橫線上寫出各部分的面積；

(2)根據總面積與各部分面積之間的關系，寫出兩個等式．由圖1寫

出的等式是(a＋b)2＝

，由圖2寫出的等式是(a－b)2

＝

＝

?．解：如圖1、圖2所示．a2＋2ab＋b2a2－2b(a－b)－b2a2－2ab＋b2

4m4mnn16m2＋8mn＋n2yy

a2＋6a＋925－10a＋a24x2－28x＋49

3.例2計算：

(1)(2x－1)2;(2)(1－2x)2.

(1)解：原式＝(2x)2－2·(2x)·1＋12＝4x2－4x＋1.

(2)解：原式＝12－2·(2x)·1＋(2x)2＝1－4x＋4x2.

思考：比較(1)和(2)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

(1)解：原式＝(4a)2＋2·(4a)·b＋b2＝16a2＋8ab＋b2.

＝16a2＋8ab＋b2.

思考：比較(1)和(2)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

完全平方公式的變形：(1)(a－b)2＝(b－a)2；(2)(－a－b)2＝

(a＋b)2.

知識點2

簡便計算

5.

例3運用完全平方公式計算：3012.解：原式＝(300＋1)2＝3002＋2×300×1＋12＝90000＋600＋1＝90601.

6.

運用完全平方公式計算：1992.解：原式＝(200－1)2＝2002－2×200×1＋12＝40000－400＋1＝39601.

知識點3

完全平方公式的常見變形

7.

例4已知a－b＝10，ab＝20，求a2＋b2的值．解：∵a－b＝10，ab＝20，

∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝102＋2×20＝140.

8.

已知(2a＋b)2＝19，ab＝2，求(2a－b)2的值．解：∵(2a＋b)2＝19，ab＝2，

∴(2a－b)2＝(2a＋b)2－8ab＝19－8×2＝19－16＝3.

完全平方公式的常見變形：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－

b)2＋2ab；

(2)4ab＝(a＋b)2－(a－b)2；(3)2(a2＋b2)＝(a＋b)2＋(a－b)2.

x2＋10x＋259x2－24xy＋16y2a2b2－12ab＋36

(1)解：原式＝(－m)2－2·(－m)·2n＋(2n)2＝m2＋4mn＋4n2.

3．(2024常州改編)化簡：(x＋1)2－x(x＋1)．解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.

4．

運用完全平方公式計算：60.52.解：原式＝(60＋0.5)2＝602＋2×60×0.5＋0.52＝3600＋60＋0.25＝3660.25.

5．

(人教八上P117習題T6改編)如圖，一塊直徑為a＋b的圓形卡紙，

若從中挖去直徑分別為a，b的兩個圓，則剩下的卡紙的面積為

（B）A．

B．

C．

D．

B

6．已知x2＋2x－2＝0，則代數(shù)式x(x＋2)＋(x＋1)2的值為

?．

7．

(人教八上P121復習題T8改編)已知x＋y＝5，(x－y)2＝1.

(1)求xy的值；解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝25①，

(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝1②，

∴①－②，得4xy＝24.∴xy＝6.

(2)求(1－x)(1－y)的值．解：由(1)知，xy＝6.

∴(1－x)(1－y)＝1－y－x＋xy＝1－(x＋y)＋xy＝1－5＋6＝2.5第十六章整式的乘法乘法公式(3)——添括號法則

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝

?；

(2)完全平方公式：(a＋b)2＝

，(a－b)2＝

?

?；

(3)去括號：a＋(b＋c)＝

，a－(b＋c)＝

?．a2－b2a2＋2ab＋b2a2－

2ab＋b2a＋b＋ca－b－c

知識點1

添括號

1．

添括號：(1)a＋b＋c＝a＋(

)；(2)a－b－c＝a－(

?)．即添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都

?

符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都

?符號．b＋cb＋c

不變

改變

2.例1填空：(1)a－b＋c＝a－(

)；

(2)a－b－c＋d＝a－(

)．

3.

填空：(1)x＋y－1＝x＋(

)；

(2)x－y＋z－1＝x－(

)．b－cb＋c－dy－1y－z＋1

知識點2

添括號法則在乘法公式中的應用

4.

例2計算：

(1)(雙括號型)(1－2x＋y)(1＋2x－y)；解：原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2＝1－4x2＋4xy－y2.

(2)(乘方型)(a－b＋c)2.解：原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc.

5.計算：

(1)(x－3y＋2c)(x＋3y＋2c)；解：原式＝[(x＋2c)－3y][(x＋2c)＋3y]＝(x＋2c)2－(3y)2＝x2＋4cx＋4c2－9y2.

(2)(a－b－c)2.解：原式＝[(a－b)－c]2＝(a－b)2－2(a－b)c＋c2＝a2－2ab＋b2－2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc.

知識點3

乘法公式的靈活運用

6.

例3運用乘法公式計算：[(x＋y)(x－y)]2.解：原式＝(x2－y2)2＝x4－2x2y2＋y4.

注意：先用平方差公式計算，再用完全平方公式計算，比較簡便．

7.(一題多解)計算：(2a＋b)2－(a－b)2.法1：解：原式＝(2a)2＋4ab＋b2－(a2－2ab＋b2)＝4a2＋4ab＋b2－a2＋2ab－b2＝3a2＋6ab.法2：解：原式＝[(2a＋b)＋(a－b)][(2a＋b)－(a－b)]＝(2a＋b＋a－b)(2a＋b－a＋b)＝3a(a＋2b)＝3a2＋6ab.

1．

下列添括號正確的是（D）A．

a＋b＋c＝a－(b＋c)B．a－b－c＝a＋(b－c)C．a－b＋c＝a－(b＋c)D．a＋b－c＝a＋(b－c)D

2．在括號內填上適當?shù)捻棧?/p>

(1)x－y－1＝x－(

)；

(2)1－2a＋a2＝1＋(

)；

(3)a－4－2b－c＝a－2b－(

)．y＋1－2a＋a24＋c

3．計算：

(1)(x－2y－3)(x＋2y＋3)；解：原式＝[x－(2y＋3)][x＋(2y＋3)]＝x2－