第八講三垂直全等模型初中幾何綜合復(fù)習(xí)模型三垂直全等模型如圖，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論:Rt△BCD≌Rt△CAE。模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的一部分幾何圖形去求解。圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖。三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的。②①③④模型變式:一線三等角模型[條件]∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF[結(jié)論]△BDE=△CFD1、如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A、B重合)，連接DE，點A關(guān)于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（1）證明：∵點A關(guān)于直線DE的對稱點為F∴AD=DF=DCDF⊥EGDG=DG∴△DGF≌△DGC∴GF=GC（2）證明：∵∠1=∠2∠3=∠4∴∠EDH=∠2+∠3=45o∵EH⊥DE∴EH=DE在AD是截取AM=AE連接MEAD=AB∴MD=BE∠ADE+∠AED=90o∠BEH+∠AED=90o∴∠AED=∠AED△MDE≌△BEH∴BH=ME在等腰RT△AME中ME=√2AE∴BH=√2AE2、在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點(與點B、C不重合)，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M.(1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).(2)用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1）解：等腰直角△ABC∴∠BAC=45o∵∠PAC=α∴∠PAB=45o-α∵∠AHM=90o∴∠AMQ=90o-(45o-α)=45o+α（2）PQ=√2BM證明：∵∠ACB=90°CQ=CPAC=AC∴△ACQ≌△ACP∴∠QAC=PAC=α∴QAM=45o+α由（1）AMQ=45o+α∴AQ=MQ過M做MH⊥BC△BMH是等腰直角△∠BMH=45o∴∠QMH=180o-(45o+α)-45o=90o-α∵∠AQC=90o-α∠ACQ=∠QHM=90o∴△ACQ≌△QHM∴HM=CQ=CP△BMH是等腰直角△MB=√2HM∴MB=√2CP∴PQ=√2BM3、已知AB=BC，∠ABC=90°，直線l是過點B的一條動直線(不與直線AB，BC重合)，分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E.(1)如圖1，當(dāng)45°<∠ABD<90°時，①求證:CE+DE=AD;②連接AE，過點D作DH⊥AE于H，過點A作AF//BC交DH的延長線于點F.依題意補全圖形，用等式表示線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明;(2)在直線l運動的過程中，若DE的最大值為3，直接寫出AB的長.（1）①證明：∵AD⊥BECE⊥BE∠ABC=90o∴∠A+∠ABD=90o∠EBC+∠ABD=90o∴∠A=∠EBCAB=BC∴△ABD≌△BCE∴AD=BEBD=CE∵BE=BD+DE∴BE=CE+DE∴AD=CE+BD

CE+BD=AD（1）②證明：∵AF∥BC∴∠BAF=90o∴∠BAD+∠DAF=90o∵∠ADB=90o∴∠BAD+∠ABD=90o∴∠ABD=∠DAF∵∠ADE=90o∴∠DAE+∠AED=90o∵∠AHD=90o∴∠DAE+∠ADH=90o∴∠AED=∠ADH由①AD=BE∴△ABE≌△FAD∴AE=FD過F做FH⊥BE交BE于H∠DAE=∠FDH∴△ADE≌△DHF∴AD=DH=BEDE=HF∵DF2=DH2+HF2∴DF2=BE2+DE2

（2）證明：△ABD≌△BCE∴AD=BEBD=CE設(shè)AD=BE=xBD=CE=y在RT△ADB中

x2+y2=AB2∵(x-y)2≧0∴x2+y2≧2xy∴?(x2+y2)≧xy∴?(x2+y2)+?(x2+y2)≧?(x2+y2)+?(2xy)=?(x2+y2)∵x+y≦3∴AB2≦9/2

4、如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于點G.(1)求∠AGF的度數(shù);(2)在線段AG上截取MG=BG，連接DM，∠AGF的角平分線交DM于點N①依題意補全圖形;②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1）解：∵AB=BCBE=CF∠ABE=∠BCF=90o∴△ABE≌△BCF∴∠BAE=∠CBF∵∠CBF+∠ABG=90o∴∠BAE+∠ABG=90o∴∠AGB=90o∴∠AGF=90o（2）證明：過點A做AH⊥AE，交GN的延長線于H，連接DH。由（1）∠AGF=90o∠AGN=FGN∴∠AGN=45o∴∠AHN=45o∴AG=AH∵∠BAD=∠EAH=90o∴∠HAD=∠BAEAB=AD∴△ADH≌△ABG∴DH=BG=MG∠AHD=∠AGB=90o∴∠NHD=45o=∠NGM∠HND=∠GNM∴△HND≌△GNM∴MN=ND5、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC邊上的高，點E是邊AB上的一動點(不與點A,B重合),連接CE交AD于點F.將線段CF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CG，連接AG.(1)如圖1，當(dāng)CE是∠ACB的角平分線時，①求證:AE=AF:②直接寫出∠CAG=________o.(2)依題意補全圖2，用等式表示線段AF，AC，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1）①證明：∵CE是∠ACB的角平分線∴∠ACE=∠BCE∵∠CAB=90o∴∠ACE+∠AEC=90o∵∠ADC=90o∴∠BCE+∠CFD=90o∴∠AEC=∠CFD∵∠AFE=∠CFD∴∠AFE=∠AEC∴AE=AF（1）②證明：過C點做CM⊥AC交AD的延長線于M∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC邊上的高∴∠CAD=45o∴∠CMA=45o∴AC=MC∵∠GCF=∠ACM=90o∴ACG=∠MCFCG=CF∴△ACG≌△MCF∴∠CAG=∠CMF=45o（2）證明：∵△ACG≌△MCF∴AG=MF∵等腰直角三角形ACM∴AM=√2ACAM=AF+MF=AF+AG∴AF+AG=√2AC6、在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，點D為射線CB上一動點(不與B，C重合)，連接AD，點E為AB延長線上一點，且DE=AD，作點E關(guān)于射線CB的對稱點F，連接BF，DF.(1)如圖1，當(dāng)點D在線段CB上時，①依題意補全圖形，求證:∠DAB=∠DFB;②用等式表示線段BD，BF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明:(2)如圖2，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，請直接用等式表示線段BD，BF，BC之間的數(shù)量關(guān)系.（1）①證明：∵DE=AD∴∠DAB=∠DEB∵E、F關(guān)于CB對稱∴∠DEB=∠DFB∴∠DAB=∠DFB（1）②證明：連接EF，延長CB到G則EF⊥BG∠CAD=45o-∠DAB∠GBF=∠GBE=∠ABC=45o∴∠GDF=45o-∠DFB∵∠DAB=∠DFB∴∠CAD=∠GDF∠ACD=∠DGF=90oAD=DE=DF∴△ACD≌△DGF∴AC=DGCD=GF∵∠GBE=GBF=45o∴GF=GB=CD∴GB=√2/2BFBC=CD+BD=GB+BD∴BC=√2/2BF+BD（1）②證明：連接EF，延長CB到H則EF⊥BH∴∠ACD=∠DHF=90o∠DBF=∠DBE=∠ABC=45o∴∠HDF=45o+∠DFB∠CAD=45o+∠DAB∵∠DAB=∠DFB∴∠CAD=∠HDFAD=DF∴△CAD≌△HDF∴AC=DH=BC∵E、F對稱∴CH是EF垂直平分線BF=BE∠DBF=∠DBE=45o∴∠EBF=90o∴BF=√2BHBH=BD+DH=BD+BC∴BF=√2(BD+BC)一題多解7、已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P為AE的中點，連接DP.(1)如圖1，點A,B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系:(2)將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時，點C，D，P恰好在同一條直線上.①在圖2中，按要求補全圖形，并證明∠BAE=∠ACP:②連接BD，交AE于點F.判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）①證明：△ADE和△ABC都是等腰直角三角形∴∠EAD=45o∴∠BAE+∠DAC=45o∵C，D，P在同一條直線上∴∠ADP=45o∠ADP=∠ACP+∠DAC∴∠BAE=∠ACP（2）②BF=DF證明：過B點做BG⊥AE,∵C、D、P三點一線AD=AE∴CD⊥AE由（1)∠BAE=∠ACPAB=AC∴△ABD≌△ACP∴AP=BGAP=DP∴DP=BG∠PFD=∠GFB∠FPD=∠FGB=90o∴△PFD≌△GFB∴BF=DF一題多解8、在正方形ABCD中,將邊AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到線段AE,AE延長線與CD延長線相交于點F，過B作BG∥AF交CF于點G，連接BE,交AD于H。(1)如圖1,求證:∠BGC=2∠AEB:(2)當(dāng)45°<α<90°時，依題意補全圖2，用等式表示線段AH，EF，DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。（1）證明：∵BG∥AF∴∠AFD=∠BGC在RT△ADF中∠AFD=∠BGC=90o-α在等腰△ABE中AB=AE∠BAD=90o∴∠AEB=(90o-α)÷2∴∠BGC=2∠AEB（2）證明：在DC上截取DM=AH連接AMAB=ADAH=DM∠BAH=∠ADM=90o∴△ABH≌△DAM∴∠ABH=∠DAM∵∠DAM+∠BAM=90o∴∠ABH+∠BAM=90o∴AN⊥BE∵AB=AD=AE∴∠1=∠2∵AB∥CD∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AF=MFAB∥CDBG∥AF∴ABGF是平行四邊形∴GF=AB=AEEF=AF-AEGM=MF-GF∴EF=GM=DG+DM∵AH=DM∴EF=DG+AH9、如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC.點D是BC延長線上一點，連接AD.將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE.過點E作EF∥BD，交AB于點F.(1)①直接寫出∠AFE的度數(shù)是

;②求證:∠DAC=∠E;(2)用等式表示線段AF與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1）①證明：∵EF∥BD∴∠EFB=∠ABC=45o∴∠AFE=135o（1）②證明：∵等腰直角△ABC∴∠BAC=45o∵∠DAE=90o∴∠DAC+∠BAE=45o∵∠AFE=135o∴∠E+∠BAE=45o∴∠DAC=∠E（2）證明：在CA上截取CG=CD連接DG∵∠ACD=90o∴∠DGC=45o∴DG=√2DC∴∠DGA=135o∵∠AFE=135o∴∠DGA=∠AFE由（1）∠DAC=∠EAD=AE∴△ADG≌△EAF∴DG=AF∵DG=√2DC∴AF=√2DC一題多解10、△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為邊AB的中點，點E在線段CD上，連接AE,將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,連接CF.(1)如圖1，當(dāng)點E與點D重合時，求證:CF=AE;(2)當(dāng)點E在線段CD上(與點C，D不重合)時，依題意補全圖2;用等式表示線段CF，ED，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1）證