第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷-基礎(chǔ)篇一．選擇題1．已知O，A，B，C為空間四點，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三點共線 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四點共面【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷．【解答過程】解：由于向量OA→，OB所以O(shè)，A，B，C四點共面，故選：D．2．已知a→=(2，?2，A．48585 B．?48585 C．【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式cos＜【解答過程】解：∵a→=(2，?2，故選：B．3．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，若A1B1→=a→A．a(chǎn)→+b→?c→ B．a(chǎn)→【解題思路】根據(jù)圖形可得D1C1【解答過程】解：由題意得，D1C1故選：B．4．若向量a→=(1，?2，A．27 B．5 C．26 D．【解題思路】利用空間向量的坐標運算求解即可．【解答過程】解：∵a→=(1，?2，3)，b→=(?2，3，∴|a→+2b→|=5．已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解題思路】先得到四面體ABCD為正四面體，再利用空間向量的數(shù)量積運算和線性運算求解即可．【解答過程】解：∵四面體ABCD，所有棱長均為2，∴四面體ABCD為正四面體，∵E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，∴AF→?CE→==12AC→?AE→?12AC→2+12AD→故選：D．6．已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，CMCB=13，PN＝ND，設(shè)AB→=a→，A．a(chǎn)→+13b→+12c→ 【解題思路】由圖形可得MN→=MC→+CD→【解答過程】解：根據(jù)題意，可得MN=1即MN→故選：D．7．在空間直角坐標系Oxyz中，平面α的法向量為n→=(1，1，A．若m→=(?12，B．若m→=(1，0，C．平面α與所有坐標軸相交 D．原點O一定不在平面α內(nèi)【解題思路】根據(jù)題意，由平面法向量的定義，依次分析選項，即可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，平面α的法向量為n→=(1，1，1)，m→=(?12，?12，1)，則有m→?n→對于B，平面α的法向量為n→=(1，1，1)，m→=(1，0，?1)，則有m→?n→=?12?對于C，平面α的法向量為n→=(1，對于D，原點O可以在平面α內(nèi)，D錯誤；故選：C．8．在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝PA．若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，此時二面角A﹣PD﹣Q的余弦值為（）A．33 B．306 C．66 【解題思路】先建立空間直角坐標系，因為題目中有矩形ABCD，以及和這個矩形面垂直的直線，所以x，y，z軸很容易找到，再在所建坐標系中求出點P、B、D的坐標即可，要求二面角Q﹣PD﹣A的余弦值，只需求兩個平面的法向量的夾角的余弦值即可，可先分別求兩個平面的法向量，再利用向量夾角公式求余弦值．【解答過程】解：∵PA⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∴分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，∵AP＝AB＝1，BC＝2，設(shè)BC＝a（a＞0），∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0），設(shè)Q（1，y，0），則PQ→=（1，y，﹣1），DQ→=（1，y﹣∵PQ⊥QD，∴PQ→?DQ→=0，∴1+y（y﹣a）+0＝0，即y2﹣ay+1當(dāng)BC邊上有且僅有一個Q點，方程（*）有等根，∴y＝1，此時a＝2，顯然平面PAD的一個法向量為m→=（1，0，設(shè)平面PQD的一個法向量為n→=（x，y，z），則n→?DQ即PQ→=（1，1，﹣1），DQ→=（1，﹣1，不妨取x＝1，則y＝1，z＝2，∴n→=（1，1，2），由圖可知，二面角Q﹣PD﹣A為銳角，設(shè)為cosα＝|m→?n→|m→||n→||=二．多選題9．已知a→，b→，A．若xa→+yb→+zc→=0→，則B．a(chǎn)→，b→，c→兩兩共面，但a→，bC．一定存在實數(shù)x，y，使得a→=xb→D．a(chǎn)→+b→，b→【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共面的定理，即可求解．【解答過程】解：對于A，若x，y，z不全為0，則a→，b→，c→對于B，a→，b→，c→兩兩共面，但a→，b→對于C，a→，b→，c→不共面，則不存在實數(shù)x，y，使得a→=xb對于D，若a→+b→，b→則a→+b→=k(b→?c→)+λ(c→故選：ABD．10．已知空間中三點A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），則正確的有（）A．AB→與AC→B．AB→的單位向量是（1，1，0）C．AB→與BC→夾角的余弦值是D．平面ABC的一個法向量是（1，﹣1，3）【解題思路】由AB→≠λAC→，可判斷選項A；AB→的單位向量為±AB→|AB→|，可判斷選項B；由cos＜AB→，BC→＞=AB→?【解答過程】解：由題意知，AB→=（1，1，0），AC→=（﹣1，2，1），BC→=（﹣因為AB→≠λAC→，所以AB→與AB→的單位向量為±AB→|AB→|=±22AB→，所以AB→的單位向量為（22，cos＜AB→，BC→＞=AB→?BC設(shè)平面ABC的一個法向量為n→=（x，y，z），則n→令x＝1，則y＝﹣1，z＝3，所以n→=（1，﹣1，3），即D正確．故選：11．如圖，菱形ABCD邊長為2，∠BAD＝60°，E為邊AB的中點，將△ADE沿DE折起，使A到A'，連接A'B，，且A'D⊥DC，平面與A'BE平面A'CD的交線為l，則下列結(jié)論中正確的是（）A．平面A'DE⊥平面A'BE B．CD∥l C．BC與平面A'DE所成角的余弦值為12D．二面角E﹣A'B﹣D的余弦值為7【解題思路】A．利用面面垂直的判定定理判斷；B．利用線面平面的判定定理和性質(zhì)定理判斷；C．以E為原點，分別以EB，ED，EA′為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：求得BC的方向向量，平面A'DE的法向量，可求BC與平面A'DE所成角的余弦值為12，D．求得平面EA′B，A′BD【解答過程】解：因為A′D⊥DC，ED⊥DC，A'D∩DE＝D，所以CD⊥平面A′DE，因為CD∥BE，所以BE⊥平面A′DE，因為BE?平面A′BE，所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正確；因為CD∥BE，CD?平面A′BE，BE?平面A′BE，所以CD∥平面A′BE，又平面A′BE與平面A′CD的交線為l，所以CD∥l，故B正確；C．由A知，BE⊥平面A′DE，則BE⊥A′E，又菱形ABCD邊長為2，∠BAD＝60°，E為邊AB的中點，所以DE⊥A′E，又BE∩DE＝E，所以A′E⊥平面BED，以E為原點，分別以EB，ED，EA′為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：則B（1，0，0），A′（0，0，1），C（2，3，0），D（0，3，0），所以BC→=（1，3，0），由A知BE⊥平面A′DE，所以EB→=（1，0，0）為平面A′DE的一個法向量，設(shè)BC與平面A'∴sinθ＝|cos＜EB→，BC→＞|＝|EB→?BC→|EB→|?|BC易證DE⊥面A′BE，故ED→=（0，3，0）為平面A′BE的一個法向量，又A'B→=（1，0，﹣1），BD→=（﹣1，3，0），設(shè)平面A'DB的一個法向量為：n→=（x，y，z），則n→?A'B→=x?z=0n→?BD→=?x+3y=0，取n→=（三．填空題12．已知直線l外一點A（﹣1，0，2），直線l過原點O，且平行于向量m→=（0，4，2），則點A到直線l的距離為105【解題思路】直線l過點O，直線l的方向向量為m→，則點A到直線的距離為d=【解答過程】解：∵直線l外一點A（﹣1，0，2），直線l過原點O，且平行于向量m→=（0，4，∴OA→=（﹣1，0，2），∴點A到直線l的距離為：d故答案為：105513．已知向量a→，b→滿足a→=(1，1，2)，|b→|=2【解題思路】先求出a→【解答過程】解：∵a→=(1，1，∴a→2+2a→∴a→+b→在故答案為：(314．對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P、A、B共線的是①③（填序號）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【解題思路】由空間共線向量定理即可求解．【解答過程】解：對于①，∵OP→=OA→+t∴OP→?OA→=tAB→（t≠0∴點P、A、B共線，故①正確；對于②，∵5OP→=OA→+AB∴P、O、B共線，點P、A、B不一定共線，故②錯誤；對于③，∵OP→=OA→+AB→（t≠0∴AP→=?tAB→（t≠0），∴AP→，AB→共線，∴對于④，∵OP→=?OA∴OP→=?2OA∴BP→=?2OA→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行時，點P、A、故答案為：①③．四．解答題15.對于任意空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．（1）試證：EF→與BC→，（2）AD→=a→，AB→=b→，AC→=c【解題思路】（1）連接AC，取AC的中點P，連接PE，PF．根據(jù)直線與平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，從而可得向量EF→與BC→，（2）直接利用向量的加減法運算得答案．【解答過程】（1）證明：如圖，連接AC，取AC的中點P，連接PE，PF．∵P，F(xiàn)分別為AC，CD的中點，∴AD∥PF．又∵PF?平面PEF，AD?平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可證，BC∥平面PEF．∴向量EF→與BC→，（2）解：BF→16.如圖，棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON（1）用向量OA→，OB→，OC→（2）求|OP【解題思路】（1）利用向量運算法則直接求解．（2）利用向量運算法則，求出OP→=14OA→+14OB→【解答過程】解：（1）AN→∴AN→（2）OP=1∴OP→∴|OP→|2=116（OA→+OB→+OC∴|OP17.已知a→=(2，（1）求(a（2）當(dāng)(ka→?【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的坐標線性運算與數(shù)量積公式，即可求解．（2）根據(jù)垂直的數(shù)量積表示，結(jié)合向量的坐標公式，即可求解．【解答過程】解：（1）因為a→=(2，故a→+b故(a（2）a→2=22因為(ka所以(ka→?故14k+6（k2﹣1）﹣9k＝0，即（2k+3）（3k﹣2）＝0，故k=?3218.在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為A1D1和CC1的中點（1）求證：EF∥平面A1C1B；（2）求異面直線EF與AB所成角的余弦值．【解題思路】（1）建立坐標系，取BC1中點G，證明EF→與A1G→共線，可得EF∥A1G，即可證明EF∥平面A1（2）求出兩異面直線的方向向量，用數(shù)量積公式求夾角余弦即可．【解答過程】（1）證明：如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．取BC1中點G，則G（1，2，1），A1G→=（﹣1，又EF→=（﹣1，2，﹣1），∴∴EF→與A1G→共線，∴EF∥∵A1G?平面A1C1B，EF?平面A1C1B，∴EF∥平面A1C1B；（2）解：∵AB→=（0，2，0），EF→=（﹣1，∴cos＜EF→∴異面直線EF與AB所成角的余弦值為6319.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E為線段PD的中點，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）證明：直線PB∥平面ACE；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【解題思路】（1）連接BD交AC于點H，連接HE，可證HE∥PB，從而可證PB∥平面ACE，（2）作Ax⊥AP，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面PCD的一個法向量，利用向量法求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【解答過程】（1）證明：連接BD交AC于點H，連接HE，∵AB∥DC，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行