高等數(shù)學(xué)A上冊(cè)資料

第一、二章函數(shù)、極限與連續(xù)

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

第五章不定積分

第六章定積分

第七章無窮級(jí)數(shù)

第一、二章函數(shù)、極限與連續(xù)

第一講函數(shù)

教學(xué)目的和要求：深刻理解一元函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)的幾種特性、運(yùn)算,

能熟練作出基本初等函數(shù)的圖形。

知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)的定義、函數(shù)的特性、函數(shù)的運(yùn)算、基本初等函數(shù)、

分段函數(shù)。

重點(diǎn)：一元函數(shù)的定義（著重要強(qiáng)調(diào)自變量與因變量之間的單值對(duì)應(yīng)

關(guān)系），函數(shù)的幾種特性，基本初等函數(shù)。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)

教學(xué)方式：多媒體，講授

教學(xué)思路：本講實(shí)際上是復(fù)習(xí)中學(xué)有關(guān)一元函數(shù)的內(nèi)容，通過這

一次課，讓學(xué)生對(duì)一元函數(shù)y=f(x)有一個(gè)統(tǒng)一、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，尤其要深

刻理解其中x與y之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟悉函數(shù)的特性、運(yùn)算、圖形、

強(qiáng)調(diào)對(duì)分段函數(shù)的講解，為以后講函數(shù)的連續(xù)、求導(dǎo)做準(zhǔn)備。

教學(xué)過程：

一、函數(shù)的概念

定義1設(shè)A.B是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，稱映射f:A-B為一元函數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)，

記作

了:工I—y=/(x)”A

其中X稱為自變量，y稱為因變量，f(x)表示函數(shù)f在X處的函數(shù)值,

A為f的定義域，記作D(f)、f(A)={y|f(x)、x￡A}稱為f的值域，記

作R(f)o

注意：函數(shù)的兩個(gè)基本要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則，x與y之間必須是

單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。

函數(shù)常用的表示方法：列表法、圖示法、公式法。

例1求函數(shù)),="^+4的定義域。

解：必須滿足條件：

4—X2>0日口1^1-2zg

<印得1vx<2

X-l>0(A>1

，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,2)。

例2求函數(shù)廣?例+7X+2+arcsin用-的定義域。

1+x

解：X必須滿足條件

6X2+7X+2>0<1>

<2x

-1<-----<<2>

l+-v

由G>,解之得

21

XG(-<?,--)Uf--,-KO)

J

由<2>,當(dāng)，即時(shí)，<2>變?yōu)?，無解。

當(dāng),即時(shí)，<2>變?yōu)?，解之得?/p>

???函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

分段函數(shù)：在定義域的不同子集上用不同的表達(dá)式來表示對(duì)應(yīng)法則

的函數(shù)。

例3符號(hào)函數(shù)

1x>0

y=sgnx=<0x=0

-1x<0

例4取整函數(shù)y=[xUr￡R),⑶表示不超過X的最大整數(shù)。

如：[(3.2]=(4[3.55]=3

申=1單=()

,「f-xx<0

例/K15y=|x|=<

xx>0

例6y^x-\\+\x-2\

即

3-2xx<\

y=?11<x<2

2x-3x>2

例7設(shè)

x2-1A<0

/(%)=>sinx\<x<2求/(-l)J(O)

jr

ex-xX)/(-),/U),/(5)

解:略

通過分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的

范圍，為以后講解函數(shù)的連續(xù)性創(chuàng)造條件。

二、函數(shù)的圖形

定義2稱集合為函數(shù)f的圖形，記為G(f)。函數(shù)f的圖形是坐標(biāo)平

面上一些特定點(diǎn)()的集合。

注意：與x軸垂直的直線與函數(shù)曲線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)。

三、函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,數(shù)集，如果存在正數(shù)M,使對(duì)于任意都有

l/U)|<M

則稱函數(shù)在集X上有界，否則稱在X上無界。

2.函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,區(qū)間，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有，或，則分別

稱是區(qū)間I上的單調(diào)增加函數(shù)或單調(diào)減少函數(shù)。

單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

3.函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意，都有，則稱為奇函

數(shù)；如果對(duì)于任意都有，則稱為偶函數(shù)。

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)橐苍趫D形上。

同理可以說明偶函數(shù)的圖形關(guān)于)，軸對(duì)稱。

4.函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)不為零的數(shù)T,使得對(duì)于任意，有，

且

f(x+T)=f(x)

則稱為周期函數(shù)，T稱為周期。

若T是的周期，則也是的周期，周期中的最小正值稱為最小正周期,

通常周期均指最小正周期，如，。

例8證明下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)有界

1)/(x)=lgx/x[g,I]

2)/(x)=lgx/x[1,+co)

證明1)只要證明在上是單調(diào)的，則有界。

設(shè)，則

/(*)_/5)=幽一嶼=上電口」g上

X,x,x)x2

而，有

于是/(X,)-f{x2)<)叱

中2

由于x2-XI>0,%1%2>O,lgx2<0

所以/(X.)-f(X2)<)睽<。

即/(x)=上-在弓，1J上是單調(diào)的或|/(x)區(qū)21g2因而有界。

2)因,則

設(shè)，貝上故。

所以或"(X)區(qū)1("?=1)X￡[l,4W)J(X)有界

例9討論函數(shù)f(x)=ln(x+Vl+x2)的奇偶性。

解：函數(shù)的定義域

因f(-x)=\n(-x+J1+x?)-ln(----})

x+yj\+x2

=-ln(x+\!\+x2)=-f{x)

所以，是上的奇函數(shù)。

2x+30<X<7T

例10試證/(.r)=0x=O是奇函數(shù)

2x-3-^<x<0

證明：設(shè)，則，由于

/(-X)=2(-x)+3=-(2x-3),/./(-X)=-f(x)

設(shè)，貝IJ,由于

f(~x)=2(-x)-3=~(2x+3)fi-x)=-f(x)

又，于是對(duì)于任何，都有，從而是奇函數(shù)。

例11函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是確定其最小正周期。

解:對(duì)任何x,存在整數(shù)n,使,

則f(x+T)-f(x)=x+T-[x+T]-x+[x]=T-[x+T]+[x](>

當(dāng)T為整數(shù)時(shí)，由于，

故，于是有

+―三0(TeZ)

是周期函數(shù)，最小正周期為Io

四、函數(shù)的運(yùn)算

1.函數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)f,g是定義域分別為的函數(shù)，定義f,g的和、差、積、商如

下：

(/±g)(x)=/(x)±g(x)xeD(f),O(g)

(左)。)=fM-8。)xeZX/)nD(g)

(』)(幻=見xwD⑺cD(g)且g(x)H0

ggM

特別地，稱為f與的數(shù)。

2.復(fù)合函數(shù)

定義3設(shè)有兩個(gè)函數(shù)和，如果函數(shù)將集合映入，函數(shù)將集合映入,

若，則得到了一個(gè)從到的一個(gè)新的函數(shù)，也稱為由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)

合函數(shù)，記作，稱為中間變量。

例12設(shè)，，求復(fù)合函數(shù)。

解：由于可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，反之可否構(gòu)成，不可

定義4設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)閒(D),則對(duì)于任一，必有唯一的

使，從而確定了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作

它的定義域是f(D),值域是D。

注意：是單值對(duì)應(yīng)的，但其反對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定是單值的，從而不一定

能構(gòu)成單值函數(shù)。

如：，函數(shù)與的定義域與值域是互換的，因而在面上圖形相同，習(xí)慣

上用表示的反函數(shù)，若點(diǎn)P(a,b)在的圖形上，則Q(b,a)就在其反函

數(shù)的圖形上，反之亦然。而P(a,b)與Q(b,a)是關(guān)于直線對(duì)稱的，從

而y=f(x)與其反函數(shù)的圖形是關(guān)于直線對(duì)稱的。

五、基本初等函數(shù)

常數(shù)、哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類

函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

1.見教材即可

注意：對(duì)這些函數(shù)的定義式、定義域、值域、圖形與相關(guān)的性質(zhì)要了

如指掌。

六、初等函數(shù)

定義5由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算與有限次復(fù)合步驟所

構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

注意：一般地、分段函數(shù)不是初等函數(shù)但：是初等函數(shù)

我們所討論的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，如：

,等

雙曲函數(shù)：見教材

反雙曲函數(shù)：見教材

小結(jié)：抽象地講，一元函數(shù)就是討論兩個(gè)變量X與y之間的一種動(dòng)態(tài)關(guān)

系，不過要求x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的，與其相關(guān)的有界性、單調(diào)

性、奇偶性、周期性都會(huì)在這一動(dòng)態(tài)過程中得到體現(xiàn)。推而廣之，世界

上的萬事萬物如果可以量化的話，不都可看成以時(shí)間為自變量的函數(shù)

嗎？因?yàn)樗鼈兌际请S時(shí)間的變化而變化的。

第二講極限（一）

教學(xué)目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì),

深刻理解x無限增大時(shí)函數(shù)極限的定義。

知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無限增大時(shí)函數(shù)極限

的定義。

重點(diǎn)：兩個(gè)定義與數(shù)列極限的性質(zhì)

難點(diǎn)：x無限增大時(shí)函數(shù)極限的定義

教學(xué)方式：多媒體，講授

教學(xué)思路：通過數(shù)列的實(shí)例的變化趨勢(shì)引入數(shù)列極限的定義，著重解

釋如何用精確的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)對(duì)“無限增大”，“無限接近”這些直觀

的描述，再由數(shù)列極限的定義推廣到x無限增大時(shí)函數(shù)的極限

教學(xué)過程：

一、數(shù)列極限的概念

以自然數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù)的順序排列起來，

就構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。

,簡(jiǎn)記為，為通項(xiàng)。

例如1)｛71｝：1,2,3,...,72,

3)｛號(hào)｝—?,%

〃+1234〃+1

4)

n23n

5)｛(-1嚴(yán)…,(-1尸,…

將這些數(shù)列的若干項(xiàng)表示在數(shù)軸上，當(dāng)時(shí)，觀察它們的變化規(guī)律，

會(huì)發(fā)現(xiàn)無限增大，無限接近于0,、無限接近于1,變化趨勢(shì)不確定。

1.

2.

3.

4.

如果當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近某個(gè)確定的常數(shù)a,則稱｛｝以a為極限，

或稱｛｝收斂于a,記為：

lim-=O,lim—=l/im〃+(-0'=1

8fjmafj〃一〃

以(3)為例，當(dāng)時(shí)，的各項(xiàng)無限接近于1,也就是說，隨著n的增大，數(shù)

列各項(xiàng)與1之差的絕對(duì)值(即點(diǎn)與1的距離)就可以越來越小，任意小，

要多小有多小，可以小于任意給定的正數(shù)。就是說，對(duì)于任意給定的壬數(shù),

不論它有多么小，只要n足夠大，都可以使，換句話說，只要存在正整數(shù)

N,對(duì)于n>N的所有項(xiàng)都滿足不等式就行了。

如：取，要使，即，得，取100,當(dāng)n>N時(shí)，就一定有。也就是

說該數(shù)列從第101項(xiàng)開始，后面所有的各項(xiàng)與1的距離都小于0.01。再取

定義1設(shè)有數(shù)列，若存在一個(gè)常數(shù)a,對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多

么?。偞嬖谡麛?shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，有成立，則稱數(shù)列存在極限,

并稱a為的極限記作或。

此時(shí)，也稱數(shù)列收斂于a,或?yàn)槭諗繑?shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。

上述定義用邏輯符號(hào)表述為：，使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有，則稱a為

數(shù)列的極限。

注意：定義中，正數(shù)是任意給定的可以充分小，它刻畫了接近于a的

程度，正整數(shù)N與有關(guān)，用n>N刻畫n足夠大，它是保證成立的條件，對(duì)

于一個(gè)給定的，N不是唯一的。

以a為極限的幾何意義：對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)a的任意給定的鄰域，總存在自然數(shù)N.使得

點(diǎn)列從第1項(xiàng)起所有的點(diǎn);，都落在之內(nèi)，而在此鄰域之外至多只有的有限項(xiàng)，因此可知，數(shù)

列的收斂性與它的前有限項(xiàng)無關(guān)。

例1用數(shù)列極限的定義證明：

證明：［分析］利用N定義證明關(guān)鍵是對(duì)，視n為未知數(shù)，通過不易解出

n,可設(shè)法將適當(dāng)放大為，然后由，解出，再取，因，要使，即要

或，所以，對(duì)，取，則當(dāng)n〉N時(shí)，有：

例2用數(shù)列極限的定義證明，

證明：因，而。

所以，要使，只要，即，于是，對(duì)，取

當(dāng)。刈時(shí),恒有成立。

?..3//—I3

??lim-------=—o

〃廿2〃+12

例3用“"語言證明:

證明：因

2〃2n(\ln2+a2+n)

而\!n2+a2>V??=n,2n(xln2+a24-n)>4n2

于是，要使，只要，即

所以，對(duì)，取，當(dāng)n>N時(shí)，恒有成立。

...\ln2+a21

??Inn-------------=—

In2

例4用““語言證明：

證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。

現(xiàn)設(shè)，因，要使，取對(duì)數(shù)得：

即〃>里(不妨設(shè)

igkl

所以，，取，當(dāng)n>N時(shí),，恒有。Jo

二、數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1(極限的唯一性)，收斂數(shù)列的極限是唯一的

證明：用反證法，如果，且a<b,取

由知，存在正整數(shù)N1,當(dāng)時(shí)

有|.r〃-akgs-a)

又由知，存在正整數(shù)N2,當(dāng)n>N2時(shí)

有\(zhòng)xn-b\<^(b-a)

取，當(dāng)n>N時(shí)，上兩不等式都成立

于是有b-a=\b-xn+xn-a\

<ixn-a\+\xn-b\<—(b-a)+—(b-a)=b-a

矛盾，假設(shè)不成立，定理成立。

設(shè)數(shù)列｛｝,若，使得當(dāng)恒有，則稱｛｝有上界L。類似可定義｛｝有

下界。若｛｝既有上界，也有下界，則稱｛｝是有界的，否則稱｛｝無界。

定理2(收斂數(shù)列的有界性)，如果數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界。

證明：設(shè),則對(duì)于，存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，

有，從而

lx?1=1x

ZJ-a+a\<\xn-a\+\a^<i+\a\

取,當(dāng)時(shí)都有

???數(shù)列｛｝有界。

注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件，也就是說有

界數(shù)列不一定收斂，如數(shù)列，有界但不收斂，若數(shù)列｛｝無界，必發(fā)散,

如數(shù)列無界，因而發(fā)散。

子數(shù)列的概念：在數(shù)列｛｝中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列()中

的先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列｛｝的子數(shù)列(子列)。

如｛｝中取出/(%>k)o

定理3(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系)，如果數(shù)列｛｝收斂于a,則它的

任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

證明：設(shè)數(shù)列是數(shù)列｛｝的任一子數(shù)列，

由于,均對(duì)于，，當(dāng)n>N時(shí)

恒有成立。

取，則當(dāng)時(shí),

于是|乙-aKE成立

?

?limx仆,=ao

注意：如果子數(shù)列收斂，但原數(shù)列｛｝不一定收斂，如

思考題：獵狗的奔跑速度為10,兔子的奔跑速度為5,獵狗沿直線追趕

兔子，兔子提前一秒鐘開始跑，如圖，當(dāng)兔子跑到B點(diǎn)時(shí)，狗追到A點(diǎn),

當(dāng)兔子跑到C點(diǎn)時(shí)，獵狗追到B點(diǎn)，這樣追下去，似乎獵狗永遠(yuǎn)也追不到

兔子，為何？

三、自變量才無限增大時(shí)函數(shù)的極限

x無限增大包括三種情況：。

如果在的過程中，函數(shù)值無限地接近于確定的常數(shù)A,則A就叫

做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。

定義2設(shè)f:是一函數(shù)，其中，若存在常數(shù)，滿足關(guān)系：

,使得當(dāng)時(shí)，恒有。

則稱A是f(x)當(dāng)時(shí)的極限,記作

lim/(幻=A或/(戈)->A(x—>oo)

X->aO

這時(shí),我們說,當(dāng)時(shí),f(x)極限存在。

當(dāng)時(shí)，定義中的改為就可得的定義

當(dāng)時(shí)，定義中改為就可得的定義

定義的幾何意義：對(duì)，總能在X軸上找到一點(diǎn)X,使得函數(shù)的圖形在

直線右邊的部分與直線左邊的部分位于平面帶形內(nèi)

定理4lim/(x)=A<=>limf(x)=A=limf(x)

X—?3x-^x>

證明：必要性設(shè)，由定義可知:

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)或時(shí)

If(x)—A\<￡:.limf(x)=limf(x)=A

X->00

充分性，設(shè)

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，

取，當(dāng)時(shí)

恒有\(zhòng)fix]-A\<.￡成立

lim/(x)=Ao

X->OC

例5lim2塞=2

KF2A+12

證明：因

要使，只要，即

于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有成立

...3x+l3

??lim--------=—

+2x+l2

小結(jié)：數(shù)列的極限實(shí)際上是一元函數(shù)當(dāng)自變量無限增大時(shí)極限的一種特

殊情形，數(shù)列極限是自變量n“離散地”取正整數(shù)無限增大時(shí)，函數(shù)值的

變化趨勢(shì)。而一元函數(shù)當(dāng)自變量無限增大時(shí)的極限是自變量x“連續(xù)地”

取實(shí)數(shù)無限增大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，一個(gè)是“離散變量”，一個(gè)是

“連續(xù)變量”。

第三講極限(二)

教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)極限的定義，掌握用定義證明函數(shù)

極限的方法、熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)。

知識(shí)點(diǎn)：定義，函數(shù)極限的性質(zhì)

重點(diǎn)：定義

難點(diǎn)：定義，用定義證明函數(shù)的極限

教學(xué)方式：多媒體，講授

教學(xué)思路：利用函數(shù)極限的幾何意義，詳細(xì)、形象、深刻地講解定義，適

當(dāng)?shù)卦黾佑枚x證明函數(shù)極限的例題，讓學(xué)生熟練地掌握用定義證明極

限的方法。

教學(xué)過程：

一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

X趨于有三種情況:x從的右側(cè)趨于,即為;x從左側(cè)趨于xO,記為;

X從左、右趨于xO,記作。

如果在的過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),則A叫做

函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。

在的過程中，無限接近于A,就是能任意小，要多小有多小，可小于

任意給定的正數(shù)，即，而無限接近A是在的過程中實(shí)現(xiàn)的，所以對(duì)于任意

給定的正數(shù)，只要充分接近于的x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)滿足不等式即可。而充分

接近的x可表示為，其中是某個(gè)正數(shù)。適合不等式的全體x,就是的去心

鄰域，則體現(xiàn)了x與的接近程度。

定義1設(shè)：是一函數(shù)，若存在一個(gè)常，滿足關(guān)系：

,，使得當(dāng)時(shí)，恒有

則稱A是當(dāng)時(shí)的極限，記作

lim/(x)=A或f(x)fA(x—>x)

?—%0

此時(shí)，也稱當(dāng)時(shí)，存在極限。

注意：在時(shí)的極限只與在的去心鄰域的值有關(guān)，與在處是否有定義

或在處的值的大小無關(guān)。因?yàn)闃O限是考慮時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，與在處的

狀態(tài)無關(guān)。

幾何意義：對(duì)于任意給定的，總能找到一個(gè)，使得函數(shù)f的圖形

G(f)={(x,y)\y=f(x)xGt/(x0)}

在寬為23的豎直帶形內(nèi)的部分全落在長(zhǎng)方形

(x-S,x()+K)x(4-￡,A+g)內(nèi).

例1證明limC=C(C為常數(shù))

證明：因，對(duì)于，可任取一正數(shù)(此處與無關(guān))，當(dāng)時(shí)，能使不等式

成立。

例2證明limx=%

證明：因要使

對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)\就有不等式成立

例3證明lim心±=4。

?■-*%x-2

證明：因，要使，即要

對(duì)于，即，當(dāng)時(shí)\就有不等式成立

%2-4.

rlim-----=4o

?f%x-2

分析：用定義驗(yàn)證的關(guān)鍵是對(duì)于任給，在不等式中視為未知數(shù)，從

中解出，取即可。如從不等式中不易解出可設(shè)法將適當(dāng)放大為，再從中解

出，再取即可。

例4證明：當(dāng)時(shí)，。

證明：因

要使只要或，且，而可用得證。

對(duì)于，即，當(dāng)時(shí)\不等式：成立，

例5證明lim4=，

x-^2x--44

證明：因，而，可限定，則，于是得到放大的不等式

114|x+2|12

要使，只要，即，于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有成立，。

例6證明1淅2=」

IT3+x2

證明：因，而，可限定，即，則，于是得到放大的不等式:

|/（A）-y4|=^±lL<5|x+1|

112x+3|211

要使，只要，即。

于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)

就有，。

例7證明Iim￡=!°

+l2

證明：因，而，可限定，

則，（因）

于是得到放大的不等式

x+l22|x+l|111011

要使，只要，B|J,于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有成立，。

類似可以定義，時(shí)函數(shù)的極限：

設(shè)函數(shù)：常數(shù))，若存在數(shù)，滿足關(guān)系：

，使得當(dāng)時(shí)恒有

則稱A為當(dāng)?shù)淖髽O限，記作

/(xo-O)=lim/(x)=A或fM->A(xf溫)

I%

同樣可定義當(dāng)?shù)挠覙O限，記作

f(x0+0)=lim/(x)=A或f(x)->A(xtX；)

定理1lim/(x)=A<=>lim/(x)=lim/(x)=A

XT7)XT垢片—G

注意：時(shí)，的極限為A的充要條件是的左、右極限存在并且相等，如

果左、右極限有一個(gè)不存在，或都存在但不相等，則不存在。

例8設(shè)，證明不存在。

證明：因?yàn)?/p>

/.lim/(x)lim/(x)故lim/(x)不存在。

思考題：

設(shè)，是否存在？與是否有關(guān)系？

在函數(shù)極限不存在的情況中，有一種比較特別：

設(shè)：是任一函數(shù)，若，，使得

當(dāng)時(shí)，恒有

則稱當(dāng)時(shí)\的極限為無窮大，記作

lim/(x)=8或/(x)—>oo(.r—>x0)

類似地，有和等。

二、函數(shù)極限的性質(zhì)：

定理2若存在，則極限唯一。

證明：依照數(shù)列極限唯一性的證明方法。

定理3（局部有界性）若存在，則與，使得都有。

證明：設(shè)，由極限定義，對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，有

從而，。

定理4（局部保界性）如果，且（或），貝的當(dāng)時(shí)，有（或）。

證明：設(shè)，取正數(shù)，由的定義，對(duì)于此，，當(dāng)時(shí)，不等式即

成立。

故/（X）＞A-￡＞00

類似可證明Av（）的情形。

定理5（局部保序性）若，當(dāng)時(shí)，，且，，則。

證明：反證法，設(shè)，取

則，當(dāng)時(shí)，有

|g（x）—8|＜；（8—A）有g(shù)（x）＞g（8+A）矛盾。

小結(jié)：極限的作用就是描述因變量y隨自變量X在一定的變化過程中的終

極狀態(tài)（或變化趨勢(shì)），它是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是研究若干

數(shù)學(xué)問題最基本的方法之一，極限概念的理解對(duì)后面學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性、

導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是至關(guān)重要的。

第四講極限的運(yùn)算法則

教學(xué)目的和要求：熟練掌握極限的運(yùn)算法則，以與極限存在的兩個(gè)

準(zhǔn)則，進(jìn)一步熟練用定義證明極限存在的方法。

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)與數(shù)列極限的運(yùn)算法則，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。

重點(diǎn)：函數(shù)極限的運(yùn)算法則，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。

難點(diǎn)：極限的運(yùn)算。

教學(xué)方式：多媒體、講授

教學(xué)思路：通過對(duì)極限四則運(yùn)算法則的證明進(jìn)一步熟悉用“定義”證

明極限存在，通過一些典型例題的計(jì)算盡可能多地掌握函數(shù)極限的計(jì)算

方法以與兩個(gè)準(zhǔn)則的運(yùn)用。

教學(xué)過程：

定理1（四則運(yùn)算法則）設(shè)，，則

1)lim|/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

2)=lim/(x)limg(x)=AB

N—?&K—＞為Nfq

lim/(x)

A

3)("0)

fgMlimg(x)

XT%

此定理對(duì)于XT00等情形也成立o

證明：2）因

\f(xyg(x)-AB\

=\f(x)-g(x)-Ag(x)+Ag")-AB\

?|g(K)|-|/w-A\+\A\-|^(XI-B\

由，對(duì)于正數(shù)，存在，當(dāng)時(shí)，

有3T嗡

又，對(duì)于正數(shù)M,與，存在，當(dāng)時(shí)

有\(zhòng)g(x)\<M1或幻一用<血。

取，當(dāng)時(shí)，上述三個(gè)不等式同時(shí)成立

于是州［/⑸式幻］=A8o

3)因?qū)τ谡龜?shù)，存在，當(dāng)時(shí)，有

即，在內(nèi)有界。

設(shè)，對(duì)于正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有

,從而

再由(2)可知，

定理2(復(fù)合運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限存在且等于，又，則

復(fù)合函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限也存在，且。

證明：因?yàn)?，所?/p>

,，使得當(dāng)時(shí)，恒有

又由于，故對(duì)于上式的，

使得當(dāng)時(shí)，恒有

設(shè)在的的心領(lǐng)域內(nèi)，，取，則當(dāng)時(shí)

恒有，即，從而有

Hm=A=limg(〃)。

I%NT氏

定理表明：求可通過變量代換求，化為求的極限問題。

例1求lim(3x-2)。

XT1

解：原式

例2求lim二二2

12x-2x-+x+2

解：原式

一般地對(duì)于多項(xiàng)式，則。

有理函數(shù)：

有l(wèi)im產(chǎn)(x)-磐一戶(X。)

f,e(v0)

如果，則不能用法則。

例3求lin/尸+2

-x+3x-4

解：當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限為零，不能用運(yùn)算法則，對(duì)這類極限通

常是將函數(shù)式作適當(dāng)變形，消去分子、分母中趨于零的因式后，再用運(yùn)算

法則。

原式=limd)d)=|im￡zZ=_1

Il(x-1)(x+4)Ix+45

例4求limJ—

7x--3x+2

解：(略)

以上兩例中的極限式稱為號(hào)型的未定式。

例5求出產(chǎn)「。+1

工-83/+248

解：當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限都是，不可用運(yùn)算法則，以除分子、分

母就可以了。

2——十=+—

2

原式二Iim——xJ.Q"

片->8oZo3

3+—+F

xx

例6求limx/x(/v+T->/x^T)

解：（略）

例7求對(duì)白一芝

解：原式。

此例中的極限式稱為型未定式，可化為型未定式。

例8求limefa

x->2

解：由極限的復(fù)合運(yùn)算法則，設(shè)

lim/7=lim（x2-2x+3）=3lime12v+3=lini^=ey

x->2x->2x->2〃->3

關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法則。

定理3設(shè)，，則

1)lim(x?±y?)=A+B

2)=

n-w

3)limi=-(BwO)

-fB

例9求lim嚴(yán)一干。

"T"\+2-x]n

解：。

極限的運(yùn)算法則提供了求極限的方法，但前提是極限存在,而且需

要利用一些已知極限的結(jié)果。

極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：

準(zhǔn)則I（夾逼原理）如果數(shù)列、與滿足下列條件:

1）*x.Wz”（〃=1,2,3）

2）,

則數(shù)列的極限存在，且。

證明：因?yàn)椋?，由?shù)列極限的定義有

,,當(dāng)時(shí)，有

當(dāng)時(shí)，有，取，則當(dāng)時(shí)，有

,同時(shí)成立。又，

當(dāng)時(shí)，有，即0

于是limx“=ao

上述準(zhǔn)則對(duì)函數(shù)也成立。

準(zhǔn)則I'（夾逼原理）如果

1）當(dāng)時(shí),有成立

2）,

則：存在，且等于A。

準(zhǔn)則n（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必

定收斂。

單調(diào)增加數(shù)列：

單調(diào)減少數(shù)列：

單調(diào)增加、單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。

我們知道：收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。

準(zhǔn)則H表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則數(shù)列的極限存在,

也就是說數(shù)列一定收斂。

例10計(jì)算下列極限

1)lim(l+2,,+3nr2)lim-rH------!r+-,+-------

fl—>x?"T8n~(〃+l)~(〃+〃)-

解：1）因

而唱詞+<

1(i(2n-

有3?屋韭"+圖+卜33

又，

由夾逼原理lim(l+2”+3"戶=3。

〃一乃

〃+1111111

-----=------7--------+-*--------~---------7+-----------

2)因4〃-(2n)-(2〃)-(2〃)-n-(77+1)(〃+〃)-

而

lim——H-------+…H--------=0?

I?ir(〃+1)-

例11證明數(shù)列收斂，并求其極限。

證明：先證明其單調(diào)性（數(shù)學(xué)歸納法）

當(dāng)時(shí)，有，

設(shè)當(dāng)時(shí)，有，

則,

即當(dāng)時(shí)，有。

所以，對(duì)一切自然數(shù)，，故數(shù)列是單調(diào)增加的，再證其有界（數(shù)學(xué)歸

納法）

當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則。

所以，對(duì)一切自然數(shù)n,都有，故數(shù)列有上界2。

根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在。

設(shè)，由，

當(dāng)時(shí)，兩邊求極限得

解之得：，顯然，不能為負(fù)。。

思考題：

1)求lim^i2)lim—

x->0—I

2、+l

小結(jié)：直接用運(yùn)算法則和準(zhǔn)則求極限一般較容易，難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)式的

變形，為了達(dá)到好的學(xué)習(xí)效果，務(wù)必要有針對(duì)性地做適量的練習(xí)，通過

練習(xí)歸納、總結(jié)行之有效的方法，熟練法則、準(zhǔn)則的運(yùn)用。

第五講兩個(gè)重要極限

教學(xué)目的和要求：深刻理解兩個(gè)重要極限的意義，能熟練運(yùn)用兩個(gè)

重要極限的結(jié)果，求解與之相關(guān)的極限問題。

知識(shí)點(diǎn)：兩個(gè)重要極限。

重點(diǎn)：兩個(gè)重要極限。

難點(diǎn)：的證明。

教學(xué)方式：多媒體、講授。

教學(xué)思路：通過兩個(gè)重要極限的證明，加深對(duì)它們的理解。在與之相

關(guān)的例題與練習(xí)之中，進(jìn)一步熟練運(yùn)算法則、準(zhǔn)則的運(yùn)用，解題力爭(zhēng)做到

簡(jiǎn)潔、明了。

教學(xué)過程:

sinxi

liin------=1

x-?0

證明：設(shè)，作單位圓，由圖可知:

A4OB的面積〈扇形面積<A/l0D的面積

所以：。即：，除就有

或。以代都不變，上述不等式在()內(nèi)的一切也是成立的。

從而有：

由夾逼原理得：

因而由上面的證明還可知，即。

由此結(jié)果，可得：圓周上任一弦與其對(duì)應(yīng)弧的長(zhǎng)度之比當(dāng)弧長(zhǎng)超于0

時(shí)的極限為1

事實(shí)上，弧弦。

To2sin—sin—

??1rini=lim-------7--=Irnn------2--=1io

4B->0ABXT。Xx->0X

2

例1求lim=?竺o

?EX

解:原式二

例2求lim上萼

io尸

解：原式二

今"/1」(sin//丫1

--------lim-------=—

/Z)2

例3求limxarcsin—

isx

解：原式。

例4求limxsin—

x—ax

解：原式

COSX

例5求㈣--

2

解：原式

例6求則%x“二cos5cos級(jí)..cos-(0<a<-)

解：因

aaa.a

cos—cosr....co:守sm

-222sina

—

2csi.na

2"2〃

不隨n變化，且o

aa

..sina_rsinasintz?lim2〃_sina

:T二

limxn=lim--------=lim------

n-KK”T8.CC〃T8a.a?-x?=.cta

2sin——sinasin

2”T2〃

例7求癡上空。

X—HI--X-

712

解：原式。

例8求limse-i

解：原式。

例9求11m強(qiáng)竺押色。

x->0工~

解：原式。

2

sin

=lim/T-lim—

.so2俄.v-?o2

2

或先將化積，再變形。

此類極限問題關(guān)鍵是要將極限式化為的形式，再用的結(jié)果。

二、lim(l+—)'=e

先考慮x取正整數(shù)趨于的情形，設(shè)，可以證明是單調(diào)增加，并且有上

界。由二項(xiàng)公式，有

1.1〃(〃一1)1〃(〃一1)(〃一2)1

X,=(Z11+-)=!+/?--+---------—+

nn2!n~3!

n(n-1)(/?-2).......(n-n+1)1

4---------------------------------------------

n\

..11.1..1..211.2n—1.

=1+1+—(1——)+—(1——)(1——)+.......+—(1——)(1——).......(1---------)

2!n3!nnn\nnn

比較與的展開式，每一項(xiàng)均為正數(shù)，除前兩項(xiàng)外，的每一項(xiàng)都小于的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且還

多一項(xiàng)，于是，即數(shù)列是單調(diào)增加的。

又

<1+14.1+1+1

x+—

"2!3!nl

.1——

<i+i+-+4-+…—=14--2-=3工<3

2222,1~l,12〃一

2

這說明數(shù)列有上界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在,設(shè)極限為，從而得:

lim(l+與

“fg〃

為無理數(shù)，的每一項(xiàng)是有理數(shù)，而極限是無理數(shù)。

再考慮X為實(shí)數(shù)的情形：

先證lim(l+-/=(?

設(shè)，則，從而有

(1+—)M<(1+-/<(14-l)M+,

〃+1xn

當(dāng)時(shí)，，并且

(1+々嚴(yán)

lim(1+——)"=lim———=e

H+1121

〃+1

lim(l+-)rt+,=lim(l+-)rt(I+-)=^

十q〃“ft'qfl〃

由夾逼原理可得：。

再證，令，當(dāng)時(shí)，，從而有

lim(l+-)x=lim(l--)-/=lim(―

X->00%r-KOf/->4<OI—\

=lim(l+—)/-,(l+—)=el=e

Z-1r-fj

所以：。

利用極限的復(fù)合運(yùn)算:

1^-=/1

lim(l+x)x=^lim(l+-)f=e

NT。JT8f

例10求lim(1-L)*c

X-X

解：令，則當(dāng)時(shí)，，于是

原式=lim(1+-)r=lim——\—二一。

ft?>8(]+勺e

t

例11求lim(生叱尸。

x->82%—3

解：，

令，則,當(dāng)時(shí)，

?3r.-|2.3

z2

原式=1im(l+3““2=lim(l+-).(l+-)2=e0

7TOOf/-XOff

1

例12求lim(l-2d)了。

XTO

解：原式二

0G_i

例13求lim--f=—

解：令

當(dāng)時(shí)，，

例14求lim(tanx產(chǎn)2、

ZT

解：原式

-2tanx

lim[l+(tanx-1)]三nx-1tan.v+1

XT-

4

(因lim-2tanx=_])

x->-tanx+1

此類極限問題關(guān)鍵是將極限式化成或的形式，再用的結(jié)果。

小結(jié)：兩個(gè)重要極限在實(shí)踐中有很重要的應(yīng)用，它們的證明應(yīng)用了

夾逼原理和單調(diào)有界準(zhǔn)則，證明的方法非常簡(jiǎn)練，值得借鑒，對(duì)兩個(gè)重

要極限的認(rèn)識(shí)不能僅僅停留在它們的結(jié)果上。

第六講函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)連續(xù)性的概念，熟悉間斷點(diǎn)的分類、

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)。

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的定義與分類，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點(diǎn)與其分類。

難點(diǎn)：間斷點(diǎn)與其分類。

教學(xué)方式：多媒體、講授。

教學(xué)思路：結(jié)合極限的定義，深刻、透徹地講解函數(shù)連續(xù)的定義，利

用分段函數(shù)解釋函數(shù)的間斷點(diǎn)與其分類，通過函數(shù)的圖形直觀地解釋連

續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

一、連續(xù)函數(shù)的概念

定義1設(shè)有函數(shù)，若

lim/(x)=/(x)

XT"0

則稱函數(shù)F在兩處連續(xù)。

用語言表達(dá)：，使得當(dāng)時(shí)，恒有

則稱函數(shù)F在荀處連續(xù)。

注意：在此定義中要求函數(shù)f在xO處有定義，與極限定義不同。該

函數(shù)在xO的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從xO變到x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從

f(xO)變到f(x),稱為自變量的增量，為函數(shù)的增量。

定義1'設(shè)函數(shù)，若

limAy=0

XT.%

則稱函數(shù)/在/處連續(xù)。

此定義表明當(dāng)自變量在某點(diǎn)的增量充分接近于零，對(duì)應(yīng)的函數(shù)