高等數(shù)學A上冊資料

第一、二章函數(shù)、極限與連續(xù)

第三章導數(shù)與微分

第四章微分中值定理與導數(shù)應用

第五章不定積分

第六章定積分

第七章無窮級數(shù)

第一、二章函數(shù)、極限與連續(xù)

第一講函數(shù)

教學目的和要求：深刻理解一元函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)的幾種特性、運算,

能熟練作出基本初等函數(shù)的圖形。

知識點：一元函數(shù)的定義、函數(shù)的特性、函數(shù)的運算、基本初等函數(shù)、

分段函數(shù)。

重點：一元函數(shù)的定義（著重要強調(diào)自變量與因變量之間的單值對應

關系），函數(shù)的幾種特性，基本初等函數(shù)。

難點：復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)

教學方式：多媒體，講授

教學思路：本講實際上是復習中學有關一元函數(shù)的內(nèi)容，通過這

一次課，讓學生對一元函數(shù)y=f(x)有一個統(tǒng)一、準確的認識，尤其要深

刻理解其中x與y之間的單值對應關系，熟悉函數(shù)的特性、運算、圖形、

強調(diào)對分段函數(shù)的講解，為以后講函數(shù)的連續(xù)、求導做準備。

教學過程：

一、函數(shù)的概念

定義1設A.B是兩個實數(shù)集，稱映射f:A-B為一元函數(shù)，簡稱函數(shù)，

記作

了:工I—y=/(x)”A

其中X稱為自變量，y稱為因變量，f(x)表示函數(shù)f在X處的函數(shù)值,

A為f的定義域，記作D(f)、f(A)={y|f(x)、x￡A}稱為f的值域，記

作R(f)o

注意：函數(shù)的兩個基本要素：定義域和對應法則，x與y之間必須是

單值對應關系。

函數(shù)常用的表示方法：列表法、圖示法、公式法。

例1求函數(shù)),="^+4的定義域。

解：必須滿足條件：

4—X2>0日口1^1-2zg

<印得1vx<2

X-l>0(A>1

，函數(shù)的定義域為：(1,2)。

例2求函數(shù)廣?例+7X+2+arcsin用-的定義域。

1+x

解：X必須滿足條件

6X2+7X+2>0<1>

<2x

-1<-----<<2>

l+-v

由G>,解之得

21

XG(-<?,--)Uf--,-KO)

J

由<2>,當，即時，<2>變?yōu)?，無解。

當,即時，<2>變?yōu)椋庵茫?/p>

???函數(shù)的定義域為：

分段函數(shù)：在定義域的不同子集上用不同的表達式來表示對應法則

的函數(shù)。

例3符號函數(shù)

1x>0

y=sgnx=<0x=0

-1x<0

例4取整函數(shù)y=[xUr￡R),⑶表示不超過X的最大整數(shù)。

如：[(3.2]=(4[3.55]=3

申=1單=()

,「f-xx<0

例/K15y=|x|=<

xx>0

例6y^x-\\+\x-2\

即

3-2xx<\

y=?11<x<2

2x-3x>2

例7設

x2-1A<0

/(%)=>sinx\<x<2求/(-l)J(O)

jr

ex-xX)/(-),/U),/(5)

解:略

通過分段函數(shù)的學習，進一步理解函數(shù)的概念，擴大學生認識函數(shù)的

范圍，為以后講解函數(shù)的連續(xù)性創(chuàng)造條件。

二、函數(shù)的圖形

定義2稱集合為函數(shù)f的圖形，記為G(f)。函數(shù)f的圖形是坐標平

面上一些特定點()的集合。

注意：與x軸垂直的直線與函數(shù)曲線最多只能有一個交點。

三、函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性

設函數(shù)的定義域為D,數(shù)集，如果存在正數(shù)M,使對于任意都有

l/U)|<M

則稱函數(shù)在集X上有界，否則稱在X上無界。

2.函數(shù)的單調(diào)性

設函數(shù)的定義域為D,區(qū)間，若對于任意的，當時，有，或，則分別

稱是區(qū)間I上的單調(diào)增加函數(shù)或單調(diào)減少函數(shù)。

單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

3.函數(shù)的奇偶性

設函數(shù)的定義域D關于原點對稱，如果對于任意，都有，則稱為奇函

數(shù)；如果對于任意都有，則稱為偶函數(shù)。

奇函數(shù)的圖形關于原點對稱，因為也在圖形上。

同理可以說明偶函數(shù)的圖形關于)，軸對稱。

4.函數(shù)的周期性

設函數(shù)的定義域為D,如果存在一個不為零的數(shù)T,使得對于任意，有，

且

f(x+T)=f(x)

則稱為周期函數(shù)，T稱為周期。

若T是的周期，則也是的周期，周期中的最小正值稱為最小正周期,

通常周期均指最小正周期，如，。

例8證明下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)有界

1)/(x)=lgx/x[g,I]

2)/(x)=lgx/x[1,+co)

證明1)只要證明在上是單調(diào)的，則有界。

設，則

/(*)_/5)=幽一嶼=上電口」g上

X,x,x)x2

而，有

于是/(X,)-f{x2)<)叱

中2

由于x2-XI>0,%1%2>O,lgx2<0

所以/(X.)-f(X2)<)睽<。

即/(x)=上-在弓，1J上是單調(diào)的或|/(x)區(qū)21g2因而有界。

2)因,則

設，貝上故。

所以或"(X)區(qū)1("?=1)X￡[l,4W)J(X)有界

例9討論函數(shù)f(x)=ln(x+Vl+x2)的奇偶性。

解：函數(shù)的定義域

因f(-x)=\n(-x+J1+x?)-ln(----})

x+yj\+x2

=-ln(x+\!\+x2)=-f{x)

所以，是上的奇函數(shù)。

2x+30<X<7T

例10試證/(.r)=0x=O是奇函數(shù)

2x-3-^<x<0

證明：設，則，由于

/(-X)=2(-x)+3=-(2x-3),/./(-X)=-f(x)

設，貝IJ,由于

f(~x)=2(-x)-3=~(2x+3)fi-x)=-f(x)

又，于是對于任何，都有，從而是奇函數(shù)。

例11函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是確定其最小正周期。

解:對任何x,存在整數(shù)n,使,

則f(x+T)-f(x)=x+T-[x+T]-x+[x]=T-[x+T]+[x](>

當T為整數(shù)時，由于，

故，于是有

+―三0(TeZ)

是周期函數(shù)，最小正周期為Io

四、函數(shù)的運算

1.函數(shù)的四則運算

設f,g是定義域分別為的函數(shù)，定義f,g的和、差、積、商如

下：

(/±g)(x)=/(x)±g(x)xeD(f),O(g)

(左)。)=fM-8。)xeZX/)nD(g)

(』)(幻=見xwD⑺cD(g)且g(x)H0

ggM

特別地，稱為f與的數(shù)。

2.復合函數(shù)

定義3設有兩個函數(shù)和，如果函數(shù)將集合映入，函數(shù)將集合映入,

若，則得到了一個從到的一個新的函數(shù)，也稱為由函數(shù)和復合而成的復

合函數(shù)，記作，稱為中間變量。

例12設，，求復合函數(shù)。

解：由于可構(gòu)成復合函數(shù)，反之可否構(gòu)成，不可

定義4設函數(shù)的定義域為D,值域為f(D),則對于任一，必有唯一的

使，從而確定了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作

它的定義域是f(D),值域是D。

注意：是單值對應的，但其反對應關系不一定是單值的，從而不一定

能構(gòu)成單值函數(shù)。

如：，函數(shù)與的定義域與值域是互換的，因而在面上圖形相同，習慣

上用表示的反函數(shù)，若點P(a,b)在的圖形上，則Q(b,a)就在其反函

數(shù)的圖形上，反之亦然。而P(a,b)與Q(b,a)是關于直線對稱的，從

而y=f(x)與其反函數(shù)的圖形是關于直線對稱的。

五、基本初等函數(shù)

常數(shù)、哥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類

函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

1.見教材即可

注意：對這些函數(shù)的定義式、定義域、值域、圖形與相關的性質(zhì)要了

如指掌。

六、初等函數(shù)

定義5由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次復合步驟所

構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

注意：一般地、分段函數(shù)不是初等函數(shù)但：是初等函數(shù)

我們所討論的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，如：

,等

雙曲函數(shù)：見教材

反雙曲函數(shù)：見教材

小結(jié)：抽象地講，一元函數(shù)就是討論兩個變量X與y之間的一種動態(tài)關

系，不過要求x與y的對應關系是單值的，與其相關的有界性、單調(diào)

性、奇偶性、周期性都會在這一動態(tài)過程中得到體現(xiàn)。推而廣之，世界

上的萬事萬物如果可以量化的話，不都可看成以時間為自變量的函數(shù)

嗎？因為它們都是隨時間的變化而變化的。

第二講極限（一）

教學目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì),

深刻理解x無限增大時函數(shù)極限的定義。

知識點：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無限增大時函數(shù)極限

的定義。

重點：兩個定義與數(shù)列極限的性質(zhì)

難點：x無限增大時函數(shù)極限的定義

教學方式：多媒體，講授

教學思路：通過數(shù)列的實例的變化趨勢引入數(shù)列極限的定義，著重解

釋如何用精確的數(shù)學語言來表達對“無限增大”，“無限接近”這些直觀

的描述，再由數(shù)列極限的定義推廣到x無限增大時函數(shù)的極限

教學過程：

一、數(shù)列極限的概念

以自然數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù)的順序排列起來，

就構(gòu)成一個數(shù)列。

,簡記為，為通項。

例如1)｛71｝：1,2,3,...,72,

3)｛號｝—?,%

〃+1234〃+1

4)

n23n

5)｛(-1嚴…,(-1尸,…

將這些數(shù)列的若干項表示在數(shù)軸上，當時，觀察它們的變化規(guī)律，

會發(fā)現(xiàn)無限增大，無限接近于0,、無限接近于1,變化趨勢不確定。

1.

2.

3.

4.

如果當n無限增大時，無限接近某個確定的常數(shù)a,則稱｛｝以a為極限，

或稱｛｝收斂于a,記為：

lim-=O,lim—=l/im〃+(-0'=1

8fjmafj〃一〃

以(3)為例，當時，的各項無限接近于1,也就是說，隨著n的增大，數(shù)

列各項與1之差的絕對值(即點與1的距離)就可以越來越小，任意小，

要多小有多小，可以小于任意給定的正數(shù)。就是說，對于任意給定的壬數(shù),

不論它有多么小，只要n足夠大，都可以使，換句話說，只要存在正整數(shù)

N,對于n>N的所有項都滿足不等式就行了。

如：取，要使，即，得，取100,當n>N時，就一定有。也就是

說該數(shù)列從第101項開始，后面所有的各項與1的距離都小于0.01。再取

定義1設有數(shù)列，若存在一個常數(shù)a,對于任意給定的正數(shù)(不論它多

么?。偞嬖谡麛?shù)N,使得當n>N時，有成立，則稱數(shù)列存在極限,

并稱a為的極限記作或。

此時，也稱數(shù)列收斂于a,或為收斂數(shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。

上述定義用邏輯符號表述為：，使得當n>N時，恒有，則稱a為

數(shù)列的極限。

注意：定義中，正數(shù)是任意給定的可以充分小，它刻畫了接近于a的

程度，正整數(shù)N與有關，用n>N刻畫n足夠大，它是保證成立的條件，對

于一個給定的，N不是唯一的。

以a為極限的幾何意義：對于數(shù)軸上的點a的任意給定的鄰域，總存在自然數(shù)N.使得

點列從第1項起所有的點;，都落在之內(nèi)，而在此鄰域之外至多只有的有限項，因此可知，數(shù)

列的收斂性與它的前有限項無關。

例1用數(shù)列極限的定義證明：

證明：［分析］利用N定義證明關鍵是對，視n為未知數(shù)，通過不易解出

n,可設法將適當放大為，然后由，解出，再取，因，要使，即要

或，所以，對，取，則當n〉N時，有：

例2用數(shù)列極限的定義證明，

證明：因，而。

所以，要使，只要，即，于是，對，取

當。刈時,恒有成立。

?..3//—I3

??lim-------=—o

〃廿2〃+12

例3用“"語言證明:

證明：因

2〃2n(\ln2+a2+n)

而\!n2+a2>V??=n,2n(xln2+a24-n)>4n2

于是，要使，只要，即

所以，對，取，當n>N時，恒有成立。

...\ln2+a21

??Inn-------------=—

In2

例4用““語言證明：

證明：當時，結(jié)論顯然成立。

現(xiàn)設，因，要使，取對數(shù)得：

即〃>里(不妨設

igkl

所以，，取，當n>N時,，恒有。Jo

二、數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1(極限的唯一性)，收斂數(shù)列的極限是唯一的

證明：用反證法，如果，且a<b,取

由知，存在正整數(shù)N1,當時

有|.r〃-akgs-a)

又由知，存在正整數(shù)N2,當n>N2時

有\(zhòng)xn-b\<^(b-a)

取，當n>N時，上兩不等式都成立

于是有b-a=\b-xn+xn-a\

<ixn-a\+\xn-b\<—(b-a)+—(b-a)=b-a

矛盾，假設不成立，定理成立。

設數(shù)列｛｝,若，使得當恒有，則稱｛｝有上界L。類似可定義｛｝有

下界。若｛｝既有上界，也有下界，則稱｛｝是有界的，否則稱｛｝無界。

定理2(收斂數(shù)列的有界性)，如果數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界。

證明：設,則對于，存在正整數(shù)N,當n>N時，

有，從而

lx?1=1x

ZJ-a+a\<\xn-a\+\a^<i+\a\

取,當時都有

???數(shù)列｛｝有界。

注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件，也就是說有

界數(shù)列不一定收斂，如數(shù)列，有界但不收斂，若數(shù)列｛｝無界，必發(fā)散,

如數(shù)列無界，因而發(fā)散。

子數(shù)列的概念：在數(shù)列｛｝中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列()中

的先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列｛｝的子數(shù)列(子列)。

如｛｝中取出/(%>k)o

定理3(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關系)，如果數(shù)列｛｝收斂于a,則它的

任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

證明：設數(shù)列是數(shù)列｛｝的任一子數(shù)列，

由于,均對于，，當n>N時

恒有成立。

取，則當時,

于是|乙-aKE成立

?

?limx仆,=ao

注意：如果子數(shù)列收斂，但原數(shù)列｛｝不一定收斂，如

思考題：獵狗的奔跑速度為10,兔子的奔跑速度為5,獵狗沿直線追趕

兔子，兔子提前一秒鐘開始跑，如圖，當兔子跑到B點時，狗追到A點,

當兔子跑到C點時，獵狗追到B點，這樣追下去，似乎獵狗永遠也追不到

兔子，為何？

三、自變量才無限增大時函數(shù)的極限

x無限增大包括三種情況：。

如果在的過程中，函數(shù)值無限地接近于確定的常數(shù)A,則A就叫

做函數(shù)當時的極限。

定義2設f:是一函數(shù)，其中，若存在常數(shù)，滿足關系：

,使得當時，恒有。

則稱A是f(x)當時的極限,記作

lim/(幻=A或/(戈)->A(x—>oo)

X->aO

這時,我們說,當時,f(x)極限存在。

當時，定義中的改為就可得的定義

當時，定義中改為就可得的定義

定義的幾何意義：對，總能在X軸上找到一點X,使得函數(shù)的圖形在

直線右邊的部分與直線左邊的部分位于平面帶形內(nèi)

定理4lim/(x)=A<=>limf(x)=A=limf(x)

X—?3x-^x>

證明：必要性設，由定義可知:

對于，當時，，即當或時

If(x)—A\<￡:.limf(x)=limf(x)=A

X->00

充分性，設

對于，當時，

對于，當時，

取，當時

恒有\(zhòng)fix]-A\<.￡成立

lim/(x)=Ao

X->OC

例5lim2塞=2

KF2A+12

證明：因

要使，只要，即

于是對于，取，當時，就有成立

...3x+l3

??lim--------=—

+2x+l2

小結(jié)：數(shù)列的極限實際上是一元函數(shù)當自變量無限增大時極限的一種特

殊情形，數(shù)列極限是自變量n“離散地”取正整數(shù)無限增大時，函數(shù)值的

變化趨勢。而一元函數(shù)當自變量無限增大時的極限是自變量x“連續(xù)地”

取實數(shù)無限增大時，函數(shù)值的變化趨勢，一個是“離散變量”，一個是

“連續(xù)變量”。

第三講極限(二)

教學目的和要求：深刻理解函數(shù)極限的定義，掌握用定義證明函數(shù)

極限的方法、熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)。

知識點：定義，函數(shù)極限的性質(zhì)

重點：定義

難點：定義，用定義證明函數(shù)的極限

教學方式：多媒體，講授

教學思路：利用函數(shù)極限的幾何意義，詳細、形象、深刻地講解定義，適

當?shù)卦黾佑枚x證明函數(shù)極限的例題，讓學生熟練地掌握用定義證明極

限的方法。

教學過程：

一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

X趨于有三種情況:x從的右側(cè)趨于,即為;x從左側(cè)趨于xO,記為;

X從左、右趨于xO,記作。

如果在的過程中，對應的函數(shù)值無限接近于確定的數(shù)值A,則A叫做

函數(shù)當時的極限。

在的過程中，無限接近于A,就是能任意小，要多小有多小，可小于

任意給定的正數(shù)，即，而無限接近A是在的過程中實現(xiàn)的，所以對于任意

給定的正數(shù)，只要充分接近于的x所對應的函數(shù)滿足不等式即可。而充分

接近的x可表示為，其中是某個正數(shù)。適合不等式的全體x,就是的去心

鄰域，則體現(xiàn)了x與的接近程度。

定義1設：是一函數(shù)，若存在一個常，滿足關系：

,，使得當時，恒有

則稱A是當時的極限，記作

lim/(x)=A或f(x)fA(x—>x)

?—%0

此時，也稱當時，存在極限。

注意：在時的極限只與在的去心鄰域的值有關，與在處是否有定義

或在處的值的大小無關。因為極限是考慮時，函數(shù)的變化趨勢，與在處的

狀態(tài)無關。

幾何意義：對于任意給定的，總能找到一個，使得函數(shù)f的圖形

G(f)={(x,y)\y=f(x)xGt/(x0)}

在寬為23的豎直帶形內(nèi)的部分全落在長方形

(x-S,x()+K)x(4-￡,A+g)內(nèi).

例1證明limC=C(C為常數(shù))

證明：因，對于，可任取一正數(shù)(此處與無關)，當時，能使不等式

成立。

例2證明limx=%

證明：因要使

對于，取，當時\就有不等式成立

例3證明lim心±=4。

?■-*%x-2

證明：因，要使，即要

對于，即，當時\就有不等式成立

%2-4.

rlim-----=4o

?f%x-2

分析：用定義驗證的關鍵是對于任給，在不等式中視為未知數(shù)，從

中解出，取即可。如從不等式中不易解出可設法將適當放大為，再從中解

出，再取即可。

例4證明：當時，。

證明：因

要使只要或，且，而可用得證。

對于，即，當時\不等式：成立，

例5證明lim4=，

x-^2x--44

證明：因，而，可限定，則，于是得到放大的不等式

114|x+2|12

要使，只要，即，于是對于，取，當時，就有成立，。

例6證明1淅2=」

IT3+x2

證明：因，而，可限定，即，則，于是得到放大的不等式:

|/（A）-y4|=^±lL<5|x+1|

112x+3|211

要使，只要，即。

于是對于，取，當時

就有，。

例7證明Iim￡=!°

+l2

證明：因，而，可限定，

則，（因）

于是得到放大的不等式

x+l22|x+l|111011

要使，只要，B|J,于是對于，取，當時，就有成立，。

類似可以定義，時函數(shù)的極限：

設函數(shù)：常數(shù))，若存在數(shù)，滿足關系：

，使得當時恒有

則稱A為當?shù)淖髽O限，記作

/(xo-O)=lim/(x)=A或fM->A(xf溫)

I%

同樣可定義當?shù)挠覙O限，記作

f(x0+0)=lim/(x)=A或f(x)->A(xtX；)

定理1lim/(x)=A<=>lim/(x)=lim/(x)=A

XT7)XT垢片—G

注意：時，的極限為A的充要條件是的左、右極限存在并且相等，如

果左、右極限有一個不存在，或都存在但不相等，則不存在。

例8設，證明不存在。

證明：因為

/.lim/(x)lim/(x)故lim/(x)不存在。

思考題：

設，是否存在？與是否有關系？

在函數(shù)極限不存在的情況中，有一種比較特別：

設：是任一函數(shù)，若，，使得

當時，恒有

則稱當時\的極限為無窮大，記作

lim/(x)=8或/(x)—>oo(.r—>x0)

類似地，有和等。

二、函數(shù)極限的性質(zhì)：

定理2若存在，則極限唯一。

證明：依照數(shù)列極限唯一性的證明方法。

定理3（局部有界性）若存在，則與，使得都有。

證明：設，由極限定義，對于，

當時，有

從而，。

定理4（局部保界性）如果，且（或），貝的當時，有（或）。

證明：設，取正數(shù)，由的定義，對于此，，當時，不等式即

成立。

故/（X）＞A-￡＞00

類似可證明Av（）的情形。

定理5（局部保序性）若，當時，，且，，則。

證明：反證法，設，取

則，當時，有

|g（x）—8|＜；（8—A）有g（x）＞g（8+A）矛盾。

小結(jié)：極限的作用就是描述因變量y隨自變量X在一定的變化過程中的終

極狀態(tài)（或變化趨勢），它是分析數(shù)學中最基本的概念之一，是研究若干

數(shù)學問題最基本的方法之一，極限概念的理解對后面學習函數(shù)的連續(xù)性、

導數(shù)、微分、積分都是至關重要的。

第四講極限的運算法則

教學目的和要求：熟練掌握極限的運算法則，以與極限存在的兩個

準則，進一步熟練用定義證明極限存在的方法。

知識點：函數(shù)與數(shù)列極限的運算法則，極限存在的兩個準則。

重點：函數(shù)極限的運算法則，極限存在的兩個準則。

難點：極限的運算。

教學方式：多媒體、講授

教學思路：通過對極限四則運算法則的證明進一步熟悉用“定義”證

明極限存在，通過一些典型例題的計算盡可能多地掌握函數(shù)極限的計算

方法以與兩個準則的運用。

教學過程：

定理1（四則運算法則）設，，則

1)lim|/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

2)=lim/(x)limg(x)=AB

N—?&K—＞為Nfq

lim/(x)

A

3)("0)

fgMlimg(x)

XT%

此定理對于XT00等情形也成立o

證明：2）因

\f(xyg(x)-AB\

=\f(x)-g(x)-Ag(x)+Ag")-AB\

?|g(K)|-|/w-A\+\A\-|^(XI-B\

由，對于正數(shù)，存在，當時，

有3T嗡

又，對于正數(shù)M,與，存在，當時

有\(zhòng)g(x)\<M1或幻一用<血。

取，當時，上述三個不等式同時成立

于是州［/⑸式幻］=A8o

3)因?qū)τ谡龜?shù)，存在，當時，有

即，在內(nèi)有界。

設，對于正數(shù)，當時，有

,從而

再由(2)可知，

定理2(復合運算法則)設函數(shù)，當時的極限存在且等于，又，則

復合函數(shù)，當時的極限也存在，且。

證明：因為，所以

,，使得當時，恒有

又由于，故對于上式的，

使得當時，恒有

設在的的心領域內(nèi)，，取，則當時

恒有，即，從而有

Hm=A=limg(〃)。

I%NT氏

定理表明：求可通過變量代換求，化為求的極限問題。

例1求lim(3x-2)。

XT1

解：原式

例2求lim二二2

12x-2x-+x+2

解：原式

一般地對于多項式，則。

有理函數(shù)：

有l(wèi)im產(chǎn)(x)-磐一戶(X。)

f,e(v0)

如果，則不能用法則。

例3求lin/尸+2

-x+3x-4

解：當時，分子、分母的極限為零，不能用運算法則，對這類極限通

常是將函數(shù)式作適當變形，消去分子、分母中趨于零的因式后，再用運算

法則。

原式=limd)d)=|im￡zZ=_1

Il(x-1)(x+4)Ix+45

例4求limJ—

7x--3x+2

解：(略)

以上兩例中的極限式稱為號型的未定式。

例5求出產(chǎn)「。+1

工-83/+248

解：當時，分子、分母的極限都是，不可用運算法則，以除分子、分

母就可以了。

2——十=+—

2

原式二Iim——xJ.Q"

片->8oZo3

3+—+F

xx

例6求limx/x(/v+T->/x^T)

解：（略）

例7求對白一芝

解：原式。

此例中的極限式稱為型未定式，可化為型未定式。

例8求limefa

x->2

解：由極限的復合運算法則，設

lim/7=lim（x2-2x+3）=3lime12v+3=lini^=ey

x->2x->2x->2〃->3

關于數(shù)列，也有類似的極限運算法則。

定理3設，，則

1)lim(x?±y?)=A+B

2)=

n-w

3)limi=-(BwO)

-fB

例9求lim嚴一干。

"T"\+2-x]n

解：。

極限的運算法則提供了求極限的方法，但前提是極限存在,而且需

要利用一些已知極限的結(jié)果。

極限存在的兩個準則：

準則I（夾逼原理）如果數(shù)列、與滿足下列條件:

1）*x.Wz”（〃=1,2,3）

2）,

則數(shù)列的極限存在，且。

證明：因為，，由數(shù)列極限的定義有

,,當時，有

當時，有，取，則當時，有

,同時成立。又，

當時，有，即0

于是limx“=ao

上述準則對函數(shù)也成立。

準則I'（夾逼原理）如果

1）當時,有成立

2）,

則：存在，且等于A。

準則n（單調(diào)有界準則）單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必

定收斂。

單調(diào)增加數(shù)列：

單調(diào)減少數(shù)列：

單調(diào)增加、單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。

我們知道：收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。

準則H表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則數(shù)列的極限存在,

也就是說數(shù)列一定收斂。

例10計算下列極限

1)lim(l+2,,+3nr2)lim-rH------!r+-,+-------

fl—>x?"T8n~(〃+l)~(〃+〃)-

解：1）因

而唱詞+<

1(i(2n-

有3?屋韭"+圖+卜33

又，

由夾逼原理lim(l+2”+3"戶=3。

〃一乃

〃+1111111

-----=------7--------+-*--------~---------7+-----------

2)因4〃-(2n)-(2〃)-(2〃)-n-(77+1)(〃+〃)-

而

lim——H-------+…H--------=0?

I?ir(〃+1)-

例11證明數(shù)列收斂，并求其極限。

證明：先證明其單調(diào)性（數(shù)學歸納法）

當時，有，

設當時，有，

則,

即當時，有。

所以，對一切自然數(shù)，，故數(shù)列是單調(diào)增加的，再證其有界（數(shù)學歸

納法）

當時，，設，則。

所以，對一切自然數(shù)n,都有，故數(shù)列有上界2。

根據(jù)單調(diào)有界準則，存在。

設，由，

當時，兩邊求極限得

解之得：，顯然，不能為負。。

思考題：

1)求lim^i2)lim—

x->0—I

2、+l

小結(jié)：直接用運算法則和準則求極限一般較容易，難點在于對函數(shù)式的

變形，為了達到好的學習效果，務必要有針對性地做適量的練習，通過

練習歸納、總結(jié)行之有效的方法，熟練法則、準則的運用。

第五講兩個重要極限

教學目的和要求：深刻理解兩個重要極限的意義，能熟練運用兩個

重要極限的結(jié)果，求解與之相關的極限問題。

知識點：兩個重要極限。

重點：兩個重要極限。

難點：的證明。

教學方式：多媒體、講授。

教學思路：通過兩個重要極限的證明，加深對它們的理解。在與之相

關的例題與練習之中，進一步熟練運算法則、準則的運用，解題力爭做到

簡潔、明了。

教學過程:

sinxi

liin------=1

x-?0

證明：設，作單位圓，由圖可知:

A4OB的面積〈扇形面積<A/l0D的面積

所以：。即：，除就有

或。以代都不變，上述不等式在()內(nèi)的一切也是成立的。

從而有：

由夾逼原理得：

因而由上面的證明還可知，即。

由此結(jié)果，可得：圓周上任一弦與其對應弧的長度之比當弧長超于0

時的極限為1

事實上，弧弦。

To2sin—sin—

??1rini=lim-------7--=Irnn------2--=1io

4B->0ABXT。Xx->0X

2

例1求lim=?竺o

?EX

解:原式二

例2求lim上萼

io尸

解：原式二

今"/1」(sin//丫1

--------lim-------=—

/Z)2

例3求limxarcsin—

isx

解：原式。

例4求limxsin—

x—ax

解：原式

COSX

例5求㈣--

2

解：原式

例6求則%x“二cos5cos級..cos-(0<a<-)

解：因

aaa.a

cos—cosr....co:守sm

-222sina

—

2csi.na

2"2〃

不隨n變化，且o

aa

..sina_rsinasintz?lim2〃_sina

:T二

limxn=lim--------=lim------

n-KK”T8.CC〃T8a.a?-x?=.cta

2sin——sinasin

2”T2〃

例7求癡上空。

X—HI--X-

712

解：原式。

例8求limse-i

解：原式。

例9求11m強竺押色。

x->0工~

解：原式。

2

sin

=lim/T-lim—

.so2俄.v-?o2

2

或先將化積，再變形。

此類極限問題關鍵是要將極限式化為的形式，再用的結(jié)果。

二、lim(l+—)'=e

先考慮x取正整數(shù)趨于的情形，設，可以證明是單調(diào)增加，并且有上

界。由二項公式，有

1.1〃(〃一1)1〃(〃一1)(〃一2)1

X,=(Z11+-)=!+/?--+---------—+

nn2!n~3!

n(n-1)(/?-2).......(n-n+1)1

4---------------------------------------------

n\

..11.1..1..211.2n—1.

=1+1+—(1——)+—(1——)(1——)+.......+—(1——)(1——).......(1---------)

2!n3!nnn\nnn

比較與的展開式，每一項均為正數(shù)，除前兩項外，的每一項都小于的對應項，且還

多一項，于是，即數(shù)列是單調(diào)增加的。

又

<1+14.1+1+1

x+—

"2!3!nl

.1——

<i+i+-+4-+…—=14--2-=3工<3

2222,1~l,12〃一

2

這說明數(shù)列有上界，根據(jù)單調(diào)有界準則，存在,設極限為，從而得:

lim(l+與

“fg〃

為無理數(shù)，的每一項是有理數(shù)，而極限是無理數(shù)。

再考慮X為實數(shù)的情形：

先證lim(l+-/=(?

設，則，從而有

(1+—)M<(1+-/<(14-l)M+,

〃+1xn

當時，，并且

(1+々嚴

lim(1+——)"=lim———=e

H+1121

〃+1

lim(l+-)rt+,=lim(l+-)rt(I+-)=^

十q〃“ft'qfl〃

由夾逼原理可得：。

再證，令，當時，，從而有

lim(l+-)x=lim(l--)-/=lim(―

X->00%r-KOf/->4<OI—\

=lim(l+—)/-,(l+—)=el=e

Z-1r-fj

所以：。

利用極限的復合運算:

1^-=/1

lim(l+x)x=^lim(l+-)f=e

NT。JT8f

例10求lim(1-L)*c

X-X

解：令，則當時，，于是

原式=lim(1+-)r=lim——\—二一。

ft?>8(]+勺e

t

例11求lim(生叱尸。

x->82%—3

解：，

令，則,當時，

?3r.-|2.3

z2

原式=1im(l+3““2=lim(l+-).(l+-)2=e0

7TOOf/-XOff

1

例12求lim(l-2d)了。

XTO

解：原式二

0G_i

例13求lim--f=—

解：令

當時，，

例14求lim(tanx產(chǎn)2、

ZT

解：原式

-2tanx

lim[l+(tanx-1)]三nx-1tan.v+1

XT-

4

(因lim-2tanx=_])

x->-tanx+1

此類極限問題關鍵是將極限式化成或的形式，再用的結(jié)果。

小結(jié)：兩個重要極限在實踐中有很重要的應用，它們的證明應用了

夾逼原理和單調(diào)有界準則，證明的方法非常簡練，值得借鑒，對兩個重

要極限的認識不能僅僅停留在它們的結(jié)果上。

第六講函數(shù)的連續(xù)性

教學目的和要求：深刻理解函數(shù)連續(xù)性的概念，熟悉間斷點的分類、

連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)。

知識點：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點的定義與分類，連續(xù)函數(shù)的運算

與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

重點：函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點與其分類。

難點：間斷點與其分類。

教學方式：多媒體、講授。

教學思路：結(jié)合極限的定義，深刻、透徹地講解函數(shù)連續(xù)的定義，利

用分段函數(shù)解釋函數(shù)的間斷點與其分類，通過函數(shù)的圖形直觀地解釋連

續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

一、連續(xù)函數(shù)的概念

定義1設有函數(shù)，若

lim/(x)=/(x)

XT"0

則稱函數(shù)F在兩處連續(xù)。

用語言表達：，使得當時，恒有

則稱函數(shù)F在荀處連續(xù)。

注意：在此定義中要求函數(shù)f在xO處有定義，與極限定義不同。該

函數(shù)在xO的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量從xO變到x時，對應的函數(shù)值從

f(xO)變到f(x),稱為自變量的增量，為函數(shù)的增量。

定義1'設函數(shù)，若

limAy=0

XT.%

則稱函數(shù)/在/處連續(xù)。

此定義表明當自變量在某點的增量充分接近于零，對應的函數(shù)