2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)探究性問題集錦（三）一、函數(shù)與方程綜合探究問題1：二次函數(shù)零點分布的動態(tài)分析已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象經(jīng)過點$(1,2)$和$(3,6)$，且與x軸有兩個不同交點。（1）若兩交點橫坐標(biāo)$x_1,x_2$滿足$0<x_1<2<x_2<4$，求實數(shù)$a$的取值范圍；（2）當(dāng)$a=1$時，將函數(shù)圖象向左平移$m$個單位長度，向上平移$n$個單位長度后得到新函數(shù)$g(x)$，若$g(x)$的頂點在直線$y=2x-1$上，且新函數(shù)與x軸相切，求$m,n$的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)$h(x)=g(x)-kx+3$，若對任意$x\in[-1,2]$，都有$h(x)\geq0$成立，求實數(shù)$k$的取值范圍。問題2：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用某公司2025年初投入研發(fā)資金100萬元，預(yù)計每年研發(fā)資金的增長率為$r$（$0<r<1$）。（1）若按照指數(shù)增長模型，寫出第$n$年（2025年為第1年）的研發(fā)資金$y$（萬元）關(guān)于$n$的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該公司希望第5年的研發(fā)資金達(dá)到200萬元，求增長率$r$的值（精確到0.01）；（3）若實際研發(fā)資金滿足函數(shù)模型$y=100e^{0.1t}+20\log_2(t+1)$（$t$為年份，$t=0$對應(yīng)2025年初），比較第10年兩種模型下的研發(fā)資金差異，并分析對數(shù)函數(shù)項對增長趨勢的影響。二、幾何與向量探究問題3：空間幾何體的三視圖與體積計算如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），其中正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，俯視圖是邊長為2的正方形。（1）畫出該幾何體的直觀圖，并指出幾何體的名稱；（2）求該幾何體的表面積和體積；（3）若在該幾何體內(nèi)部挖去一個半徑為$r$的半球（半球的底面與幾何體的某一個面重合），當(dāng)$r$為何值時，剩余部分的體積最大？問題4：平面向量的綜合應(yīng)用已知平面直角坐標(biāo)系中，點$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(2\cos\theta,\sin\theta)$。（1）若$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}$，求$\tan\theta$的值；（2）設(shè)$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$（$t\in\mathbb{R}$），若$|\overrightarrow{CD}|$的最小值為$\sqrt{2}$，求$t$的值；（3）設(shè)$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為$\alpha$，求$\cos\alpha$的取值范圍。三、數(shù)列與不等式探究問題5：等差數(shù)列與等比數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用定義：若數(shù)列${a_n}$滿足$a_{n+1}=pa_n+q$（$p,q$為常數(shù)），則稱其為"線性遞推數(shù)列"。（1）已知數(shù)列${a_n}$是線性遞推數(shù)列，且$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=7$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）若數(shù)列${b_n}$為等比數(shù)列，且$b_1=1$，公比$q=2$，設(shè)$c_n=a_n+b_n$，其中${a_n}$是（1）中的數(shù)列，求數(shù)列${c_n}$的前$n$項和$S_n$；（3）在（2）的條件下，若不等式$S_n>k\cdot2^n$對任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立，求實數(shù)$k$的取值范圍。問題6：不等式的證明與應(yīng)用（1）已知$a,b>0$，且$a+b=1$，求證：$(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1})\geq\frac{25}{4}$；（2）設(shè)$x,y,z$為正實數(shù)，且$x+y+z=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$的最小值；（3）某工廠要建造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深為3米。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？四、概率與統(tǒng)計探究問題7：統(tǒng)計圖表的分析與概率計算某學(xué)校高一（1）班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績（滿分150分）頻率分布直方圖如下：（注：直方圖數(shù)據(jù)缺失，實際問題中會給出完整圖形）（1）求頻率分布直方圖中$a$的值，并補(bǔ)全直方圖；（2）估計該班數(shù)學(xué)成績的平均分、中位數(shù)和眾數(shù)；（3）從成績在[120,150]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績在[140,150]的概率。問題8：隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望在一個不透明的盒子中裝有5個紅球和3個白球，這些球除顏色外完全相同。（1）若每次從中隨機(jī)取出1個球，記錄顏色后放回，連續(xù)取3次，求取出紅球次數(shù)$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若一次性從中取出3個球，記取出紅球的個數(shù)為$Y$，求$Y$的數(shù)學(xué)期望；（3）若采用不放回抽樣，每次取1個球，直到取出2個紅球為止，求所需抽取次數(shù)$Z$的分布列。五、數(shù)學(xué)建模與綜合探究問題9：函數(shù)模型在優(yōu)化問題中的應(yīng)用某快遞公司在市區(qū)內(nèi)運送貨物，運輸費用由基礎(chǔ)費用和里程費用兩部分組成：基礎(chǔ)費用為每次10元，里程費用與運輸距離$x$（公里）的關(guān)系為分段函數(shù)：當(dāng)$0<x\leq5$時，每公里2元；當(dāng)$5<x\leq10$時，每公里1.8元；當(dāng)$x>10$時，每公里1.5元。（1）寫出運輸總費用$C(x)$（元）關(guān)于運輸距離$x$（公里）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某客戶需要運輸一批貨物到距離15公里的地點，現(xiàn)有兩種方案：①一次性運輸；②分兩次運輸，第一次運輸10公里，第二次運輸5公里。哪種方案更省錢？省多少元？（3）假設(shè)該公司每天有20單運輸業(yè)務(wù)，每單運輸距離相互獨立，且服從區(qū)間[3,18]上的均勻分布，估計該公司一天的平均運輸總費用。問題10：三角函數(shù)的實際應(yīng)用如圖，某港口$O$有一燈塔，燈塔頂端$P$距離海平面高度$PO=40$米。一艘輪船從港口出發(fā)，沿北偏東$60^\circ$方向航行，在$A$處測得燈塔頂端的仰角為$30^\circ$，航行1小時后到達(dá)$B$處，測得仰角為$45^\circ$。（1）求輪船在$A$處與燈塔的水平距離$OA$和在$B$處與燈塔的水平距離$OB$；（2）求輪船的航行速度（單位：海里/小時，1海里=1852米，精確到0.1）；（3）若輪船繼續(xù)沿原方向航行，問再經(jīng)過多少分鐘，輪船與燈塔的水平距離最近？最近距離是多少？六、創(chuàng)新拓展探究問題11：數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史探究閱讀下列材料，回答問題：《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中"勾股"章記載了勾股定理的應(yīng)用問題。書中有一題："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？"（注：1丈=10尺，葭即蘆葦）（1）用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言描述該問題，并畫出示意圖；（2）求解上述問題中的水深和葭長；（3）若將該問題推廣：現(xiàn)有一正方形池塘，邊長為$a$，蘆葦生長在池塘中央，高出水面$h$。將蘆葦向岸邊牽引，頂端恰好與岸邊水面齊平，試用$a,h$表示水深$d$和蘆葦長度$l$。問題12：動態(tài)幾何與函數(shù)綜合在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(0,2)$，$B(4,0)$，點$P$是線段$AB$上的一個動點（不與$A,B$重合）。（1）設(shè)點$P$的橫坐標(biāo)為$t$，寫出點$P$的坐標(biāo)（用含$t$的代數(shù)式表示）；（2）過點$P$作$PD\perpx$軸于$D$，$PE\perpy$軸于$E$，設(shè)矩形$PDOE$的面積為$S$，求$S$關(guān)于$t$的函數(shù)關(guān)系式，并求出$S$的最大值；（3）以點$P$為圓心，$PE$為半徑作圓，當(dāng)圓與坐標(biāo)軸相切時，求點$P$的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，設(shè)圓$P$與直線$AB$的另一個交點為$Q$（不同于點$P$），求線段$PQ$的長度。七、數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用問題13：分類討論思想的應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3,x\leq1\ax+b,x>1\end{cases}$，其中$a,b$為常數(shù)。（1）若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處連續(xù)，求$a,b$滿足的關(guān)系式；（2）在（1）的條件下，若函數(shù)$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增，求$a,b$的取值范圍；（3）當(dāng)$a=2,b=-1$時，解不等式$f(x)>3$；（4）設(shè)$g(x)=f(x)-k$，若函數(shù)$g(x)$有三個零點，求實數(shù)$k$的取值范圍。問題14：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（1）已知方程$x^2-2|x|+a=0$有四個不同的實數(shù)根，求實數(shù)$a$的取值范圍；（2）若關(guān)于$x$的不等式$\sqrt{x}>mx+1$的解集為$(4,n)$，求$m,n$的值；（3）設(shè)函數(shù)$f(x)=|x+1|+|x-2|$，若關(guān)于$x$的不等式$f(x)\geqa^2-2a$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求實數(shù)$a$的取值范圍。八、跨學(xué)科綜合探究問題15：數(shù)學(xué)與物理綜合應(yīng)用一個物體做豎直上拋運動，初速度為$v_0=20m/s$，忽略空氣阻力，重力加速度$g=10m/s^2$。（1）寫出物體上升高度$h(m)$關(guān)于時間$t(s)$的函數(shù)關(guān)系式；（2）求物體上升到最高點的時間和最大高度；（3）若物體在拋出點正上方15m處設(shè)置一個水平擋板，求物體從拋出到第一次撞擊擋板所用的時間；（4）若實際運動中存在空氣阻力，設(shè)阻力大小與速度成正比，比例系數(shù)為$k=0.1kg/s$，物體質(zhì)量$m=1kg$，建立速度$v(t)$滿足的微分方程，并分析阻力對上升時間和最大高度的影響。問題16：數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)綜合應(yīng)用某商品的需求函數(shù)為$Q_d=100-2P$，供給函數(shù)為$Q_s=5P-20$，其中$P$為價格（單位：元），$Q_d,Q_s$為需求量和供給量（單位：件）。（1）求該商品的均衡價格和均衡數(shù)量；（2）若政府對該商品征收每件$t$元的銷售稅，求新的均衡價格和均衡數(shù)量（用含$t$的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)$t=3$時，計算消費者剩余和生產(chǎn)者剩余的變化量，并分析稅收負(fù)擔(dān)的分配情況；（4）若該商品的成本函數(shù)為