2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)小組合作探究試題探究課題一：函數(shù)模型在校園規(guī)劃中的應(yīng)用背景：學(xué)校計(jì)劃在矩形操場(chǎng)一側(cè)修建文化長(zhǎng)廊，長(zhǎng)廊由兩個(gè)相同的矩形展示區(qū)組成，總面積需達(dá)到300平方米。設(shè)展示區(qū)垂直于操場(chǎng)邊界的邊長(zhǎng)為x米，平行于邊界的邊長(zhǎng)為y米，長(zhǎng)廊與操場(chǎng)邊界之間需預(yù)留1米寬的通道，兩側(cè)各預(yù)留0.5米寬的綠化帶。任務(wù)分工數(shù)據(jù)收集組：測(cè)量操場(chǎng)可用區(qū)域的最大長(zhǎng)度為50米，寬度為20米，確定x的取值范圍。建模分析組：建立總面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取得最小值時(shí)的x值。優(yōu)化設(shè)計(jì)組：若每米綠化帶建設(shè)成本為100元，通道鋪設(shè)成本為200元，展示區(qū)地面硬化成本為300元/平方米，建立總造價(jià)W的函數(shù)模型并求最低造價(jià)。關(guān)鍵問題當(dāng)x=5時(shí)，判斷方案是否可行？此時(shí)y的值是多少？證明函數(shù)S(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并求出最小值點(diǎn)。若因場(chǎng)地限制x只能取[8,12]，總造價(jià)會(huì)比最優(yōu)方案增加多少？拓展延伸：若將展示區(qū)設(shè)計(jì)為半圓形與矩形的組合結(jié)構(gòu)（半圓直徑等于矩形的一條邊），重新建模并比較兩種方案的材料利用率。探究課題二：三角函數(shù)與摩天輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律背景：某游樂園摩天輪半徑為20米，中心距離地面30米，旋轉(zhuǎn)一周需12分鐘。小明在摩天輪座艙內(nèi)，從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)。任務(wù)分工運(yùn)動(dòng)分析組：建立小明距離地面高度h（米）關(guān)于時(shí)間t（分鐘）的三角函數(shù)模型。數(shù)據(jù)計(jì)算組：計(jì)算t=2分鐘、t=5分鐘時(shí)的高度，并求出距離地面40米時(shí)的所有時(shí)刻。誤差評(píng)估組：實(shí)際測(cè)量發(fā)現(xiàn)摩天輪啟動(dòng)階段做勻加速運(yùn)動(dòng)，前2分鐘內(nèi)角速度從0增加到π/6rad/min，修正模型并計(jì)算啟動(dòng)階段的高度變化。關(guān)鍵問題寫出h(t)的函數(shù)表達(dá)式，并求出其單調(diào)遞增區(qū)間。若小明在距離地面不低于45米時(shí)能看到遠(yuǎn)處的山脈，求每次旋轉(zhuǎn)過程中觀景的持續(xù)時(shí)間。對(duì)比修正前后模型在t=1分鐘時(shí)的高度差異，分析誤差產(chǎn)生的原因。拓展延伸：若摩天輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)改為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且初始位置在最高點(diǎn)，重新推導(dǎo)函數(shù)模型并繪制圖像。探究課題三：立體幾何中的折疊問題背景：如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為BC中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊至△AB'E位置，使平面AB'E⊥平面AECD。任務(wù)分工作圖建模組：畫出折疊前后的立體圖形，標(biāo)注關(guān)鍵頂點(diǎn)的空間坐標(biāo)（以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系）。空間關(guān)系組：證明B'D⊥AE，并求出異面直線B'E與AD所成角的余弦值。體積計(jì)算組：計(jì)算三棱錐B'-ECD的體積，并求出點(diǎn)C到平面AB'D的距離。關(guān)鍵問題折疊后二面角B'-AD-E的正切值是多少？若F為B'D中點(diǎn)，證明EF//平面AB'C。當(dāng)折疊角∠BAE=θ時(shí)，θ為何值時(shí)四棱錐B'-AECD的體積最大？拓展延伸：若將矩形改為邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別為BC、CD中點(diǎn)，沿AE、AF折疊使B、D兩點(diǎn)重合，求重合點(diǎn)到平面AEF的距離。探究課題四：數(shù)列與校園文化活動(dòng)背景：學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)，計(jì)劃安排5天展覽，每天參觀人數(shù)預(yù)計(jì)滿足以下規(guī)律：第一天100人，從第二天起，若前一天參觀人數(shù)超過200人，則當(dāng)天人數(shù)減少10%；若前一天不超過200人，則當(dāng)天人數(shù)增加20%。任務(wù)分工數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)組：計(jì)算未來5天的參觀人數(shù)，判斷第幾天人數(shù)最多。趨勢(shì)分析組：若第n天人數(shù)記為a?，寫出遞推關(guān)系式，并證明當(dāng)n≥3時(shí)數(shù)列{a?}單調(diào)遞減。方案調(diào)整組：若每天展覽成本C?=500+5a?（元），門票收入為10元/人，計(jì)算5天總利潤(rùn)，并設(shè)計(jì)增加利潤(rùn)的調(diào)整方案。關(guān)鍵問題求數(shù)列{a?}的前5項(xiàng)和，并預(yù)測(cè)第10天的參觀人數(shù)（精確到整數(shù)）。若從第三天起改為“超過200人減少5%，不超過200人增加15%”，比較調(diào)整前后的總?cè)藬?shù)變化。建立總利潤(rùn)L關(guān)于天數(shù)m（1≤m≤10）的函數(shù)模型，求m為何值時(shí)利潤(rùn)最大。拓展延伸：假設(shè)每天人數(shù)增長(zhǎng)服從等比數(shù)列模型，公比q=1.1，比較兩種模型在第10天的人數(shù)差異，并分析哪種模型更符合實(shí)際情況。探究課題五：概率與抽獎(jiǎng)游戲設(shè)計(jì)背景：校慶活動(dòng)設(shè)置抽獎(jiǎng)箱，內(nèi)有100張卡片，其中一等獎(jiǎng)5張，二等獎(jiǎng)15張，三等獎(jiǎng)30張，其余為紀(jì)念獎(jiǎng)。每次抽獎(jiǎng)后卡片不放回。任務(wù)分工規(guī)則設(shè)計(jì)組：制定抽獎(jiǎng)規(guī)則（如“抽3張至少得1張二等獎(jiǎng)”或“連續(xù)抽2張都是紀(jì)念獎(jiǎng)”），計(jì)算相應(yīng)概率。公平性分析組：若設(shè)置“抽中一等獎(jiǎng)得10分，二等獎(jiǎng)5分，三等獎(jiǎng)2分”，計(jì)算單次抽獎(jiǎng)的期望得分，并判斷是否公平。優(yōu)化方案組：設(shè)計(jì)一種新抽獎(jiǎng)方案（如分層抽樣、有放回抽樣），使期望得分保持不變但方差減小。關(guān)鍵問題求連續(xù)抽取3張卡片中，一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各1張的概率。若某同學(xué)有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求至少獲得一次一等獎(jiǎng)的概率。證明：有放回抽樣的方差大于不放回抽樣的方差（以二等獎(jiǎng)為例）。拓展延伸：結(jié)合正態(tài)分布，估計(jì)1000人次抽獎(jiǎng)中得分在[5,10]區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，并分析極端值出現(xiàn)的概率。探究課題六：平面向量在航模比賽中的應(yīng)用背景：航模比賽中，無(wú)人機(jī)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，沿向量a=(2,3)飛行10秒后，再沿向量b=(-1,4)飛行8秒，最后沿向量c=(m,n)飛行12秒到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)(10,20)。無(wú)人機(jī)飛行速度為5米/秒。任務(wù)分工軌跡繪制組：建立直角坐標(biāo)系，繪制無(wú)人機(jī)飛行軌跡，標(biāo)注各段位移向量。參數(shù)計(jì)算組：求向量a與b的夾角余弦值，以及向量c的坐標(biāo)。誤差分析組：實(shí)際飛行中，風(fēng)速導(dǎo)致每段位移產(chǎn)生10%的偏差（方向不變），修正目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)并計(jì)算總偏差距離。關(guān)鍵問題驗(yàn)證無(wú)人機(jī)飛行的總路程是否符合比賽規(guī)定的200米限制。若在第二段飛行中改變方向，使總位移不變，求新方向向量的單位向量。建立無(wú)人機(jī)位置坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，求出t=15秒時(shí)的位置。拓展延伸：若風(fēng)速為向量(1,-2)米/秒，重新計(jì)算各段實(shí)際飛行向量及最終位置。合作要求與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)過程性評(píng)價(jià)（40%）：分工合理性、數(shù)據(jù)記錄完整性、討論發(fā)言質(zhì)量。成果展示（30%）：模型建立的科學(xué)性、計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性、方案優(yōu)化的創(chuàng)新性。反思報(bào)告（30%）：分析探究過程中遇到的問題及解決方法，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。注意事項(xiàng)：每組需提交3份材料——探究過程記錄（含分工表、討論