2/37專題02利用勾股定理解決折疊問題的六種模型目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：長方形中折痕過對角線模型 1題型二：長方形中折痕過一頂點(diǎn)模型 4題型三：長方形中折痕過任意兩點(diǎn)模型 11題型四：直角三角形中過一個(gè)頂點(diǎn)所在直線（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型 18題型五：直角三角形中過斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型 23題型六：直角三角形中過任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型 26題型一：長方形中折痕過對角線模型例題：如圖所示，把一張長方形紙片沿對角線折疊，若，求的長．【方法總結(jié)】沿著長方形的對角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形?！咀兪接?xùn)練】1．如圖，在長方形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．62．如圖，在長方形紙片中，，.把長方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．3．如圖，長方形中，，，．點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線翻折得．

(1)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，(2)如圖2，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，與交點(diǎn)，求長．題型二：長方形中折痕過一頂點(diǎn)模型例題：如圖，長方形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對角線重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為，且．(1)求的長；(2)求的長．【方法總結(jié)】沿著長方形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形?！咀兪接?xùn)練】1．如圖，將長方形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且D點(diǎn)落在對角線上處，若，則的長為（）A． B．3 C．1 D．2．如圖所示，有一張長方形紙片，，．現(xiàn)折疊該紙片使得邊與對角線重合，折痕為，點(diǎn)落在處，求．3．如圖，在長方形中，，，，沿邊所在直線翻折，與重合，點(diǎn)F在上，則的長是．4．如圖，長方形中，，，為上一點(diǎn)，將沿翻折至，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的長．5．八年級開展了手工制作競賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品．陳莉同學(xué)在制作手工作品的第①②步驟是：①先裁下了一張長，寬的長方形紙片；②將紙片沿著直線折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．請你根據(jù)①②步驟解答下列問題：求，的長．6．在四邊形中，．(1)若P為邊上一點(diǎn)，如圖①將沿直線翻折至的位置，當(dāng)點(diǎn)B落在邊上點(diǎn)E處時(shí)，求的長；(2)如圖②，點(diǎn)Q為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)D恰好落在直線上的點(diǎn)處，求的長．題型三：長方形中折痕過任意兩點(diǎn)模型例題：如圖，長方形紙片中，，，將此長方形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為，則的長度為(

)A．6 B．10 C．24 D．48【方法總結(jié)】沿著長方形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形?！咀兪接?xùn)練】1．如圖，在長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長為（

）A． B． C．1 D．2．如圖，在長方形中，，，將此長方形沿折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則的長度為．

3．如圖，將邊長為8的正方形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)點(diǎn)為三等分點(diǎn)時(shí)，的長為．4．如圖，長方形中，邊，．將此長方形沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

(1)證明；(2)求的面積．5．如圖，把一張長方形紙片折疊起來，使其對角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，若，求：(1)求的長；(2)求陰影部分的面積．題型四：直角三角形中過一個(gè)頂點(diǎn)所在直線（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型例題：如圖，有一塊的紙片，，，，將沿折疊，使點(diǎn)落在上的處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【方法總結(jié)】（1）沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；（2）沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；（3）沿過點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使得點(diǎn)B恰好落在直角邊的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)．

(1)求的長度；(2)求的面積．3．如圖、為一塊直角三角形紙片，．【問題初探】：直角三角形紙片的對折問題，可以通過全等變換把所求線段轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊，進(jìn)而通過勾股定理來解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．（1）如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線折疊，使直角邊落在斜邊上，的對應(yīng)點(diǎn)為，若，求的長．【學(xué)以致用】（2）如圖2，若將直角沿折疊，點(diǎn)與中點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在，上，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．題型五：直角三角形中過斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型例題：如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．則的長是（

）

A． B． C． D．【方法總結(jié)】（1）沿直線MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；（2）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.（3）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，，．將按如圖所示的方式折疊，使B，C兩點(diǎn)重合，折痕為．求的長．2．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為．(1)求的周長．(2)求的長．3．如圖是一張直角三角形紙片，，，．(1)在圖1中，將直角邊沿折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，求的長；(2)在圖2中，將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的長．題型六：直角三角形中過任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型例題：在中，，將沿直線折疊，使B落在的三等分點(diǎn)處，求的長．【方法總結(jié)】（1）沿直線MN翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD.（2）沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合；【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，D、E分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)．把沿著直線折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．若點(diǎn)落在直角邊的中點(diǎn)上，則的長是（

）A． B．4 C．5 D．2．如圖，在中，，，，將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的長為（

）A．3 B．4 C． D．3．如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接、．將沿翻折，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，則的長是（

）