專題03勾股定理的實(shí)際應(yīng)用重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+12大題型+3拓展訓(xùn)練+自我檢測(cè)）題型一梯子滑落高度問題題型二旗桿高度問題題型三小鳥飛行距離問題題型四大樹折斷前高度問題題型五水杯中筷子問題題型六航海距離問題題型七河寬問題題型八臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度問題題型九汽車是否超速問題題型十是否受臺(tái)風(fēng)影響問題題型十一選址問題題型十二最短路徑問題拓展訓(xùn)練一受影響問題綜合拓展訓(xùn)練二螞蟻爬行距離綜合拓展訓(xùn)練三勾股定理的最值訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理的應(yīng)用1.用勾股定理解決一般問題的步驟（1）由題意畫出符合要求的直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）將待求的量看成直角三角形的一條邊；（3）利用勾股定理求解.2.求直角三角形邊長(zhǎng)的方法若已知兩邊長(zhǎng)，可直接由勾股定理求第三邊長(zhǎng)，若已知一邊及另外兩邊的關(guān)系，可設(shè)未知數(shù)根據(jù)勾股定理求解.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，一把梯子靠在垂直于水平地面的墻上，梯子的長(zhǎng)為米，梯子的底部離墻的距離為米．若梯子的頂部向下滑米到D處，此時(shí)梯子的底部向外滑到E處，求梯子的底部向外滑出多少米？2．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期中）在一次課外社會(huì)實(shí)踐中，小馬同學(xué)想知道學(xué)校旗桿的高，但不能爬上旗桿也不能把繩子扯下來，可是他發(fā)現(xiàn)一端掛在旗桿頂端上的繩子垂到地面上還多1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m（即）后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，請(qǐng)你幫他求出旗桿的高．

知識(shí)點(diǎn)二、利用勾股定理解決最短路線問題1.求長(zhǎng)方體表面上兩點(diǎn)間最短路線的方法：需將長(zhǎng)方體相應(yīng)幾個(gè)面展開，從而將長(zhǎng)方體表面上兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理求解；2.求幾何體表面上最短路線長(zhǎng)的方法應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將曲面轉(zhuǎn)化為平面，將曲線轉(zhuǎn)化為直線，連接起點(diǎn)與終點(diǎn)所得到的線段作為三角形的一條邊，從而構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路線長(zhǎng).【即時(shí)訓(xùn)練】3．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，一圓柱高9厘米，底面周長(zhǎng)是24厘米，一只螞蟻沿表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則爬行的最短路程是．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長(zhǎng)度．知識(shí)點(diǎn)三、利用勾股定理解決航海類問題常見的航海問題有避險(xiǎn)、抵御臺(tái)風(fēng)等，解決這類問題要先確定方位角，然后由方位角正確作出幾何圖形，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為與勾股定理有關(guān)的幾何問題.【即時(shí)訓(xùn)練】5．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，一艘輪船以20海里/小時(shí)的速度從A地向南偏西方向航行4小時(shí)到達(dá)B地后，又從B地以20海里/小時(shí)的速度航行5小時(shí)到達(dá)C地，這時(shí)輪船正好在A地北偏西方向，求此時(shí)輪船離A地多遠(yuǎn)？

6．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，海關(guān)緝私人員駕艇在C處發(fā)現(xiàn)正北方向的A處有一艘可疑船只，并測(cè)得它正以的速度向正東方向航行，緝私艇隨即以的速度在B處將可疑船只攔截．緝私艇從C到B需要航行多少時(shí)間？【經(jīng)典例題一梯子滑落高度問題】【例1】（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）夢(mèng)想科技小組在實(shí)踐課上制作機(jī)器人的零件如圖①所示，該零件內(nèi)有兩個(gè)小滑塊A，B，由一根連桿連接，滑塊A，B分別可以在互相垂直的兩個(gè)滑道上滑動(dòng)．滑塊大小忽略不計(jì)，將零件圖抽象成幾何圖，如圖②所示，開始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．當(dāng)滑塊A向下滑13厘米至點(diǎn)處時(shí)，滑塊B滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，則的長(zhǎng)為多少厘米？1．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，一架梯子斜靠在某個(gè)過道豎直的左墻上，頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)B處，保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在豎直的右墻上，此時(shí)梯子的頂端在點(diǎn)C處，，測(cè)得頂端A距離地面的高度為2米，為米，且頂端C距離地面的高度比多米，求的長(zhǎng)．2．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）每年的11月9日是我國(guó)的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長(zhǎng)為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點(diǎn)D處，則云梯底端水平方向向右滑動(dòng)的距離為多少米．3．（24-25八年級(jí)下·山東濱州·期中）如圖，一架長(zhǎng)米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻米．(1)此時(shí)梯子頂端A離地面多少米？(2)若梯子頂端A下滑米到C，那么梯子底端B將向左滑動(dòng)多少米到D？【經(jīng)典例題二旗桿高度問題】【例2】（24-25八年級(jí)下·湖北黃岡·階段練習(xí)）小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)如果小明想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？1．（24-25八年級(jí)下·天津·期中）今年的耀華數(shù)學(xué)節(jié)，老師布置了一項(xiàng)任務(wù)，要求數(shù)學(xué)小組成員們測(cè)量學(xué)校旗桿的高．成員發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了米．現(xiàn)把繩子拉直，讓下端剛好接觸地面，此時(shí)繩子下端距旗桿底部米，求耀華中學(xué)旗桿的高．2．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，得到如下信息：①測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)3米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子另一端的手到地面的距離為3米，到旗桿的距離為10米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿的高度．3．（24-25八年級(jí)下·廣東惠州·階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)．活動(dòng)主題測(cè)量校園內(nèi)旗桿的高度測(cè)量工具皮尺等模型抽象測(cè)繪過程第一次操作：如圖①，將系在旗桿頂端的繩子自然下垂到地面，繩子多出的一段在地面拉直后記作QE，用皮尺量出QE的長(zhǎng)度．第二次操作：如圖②，將繩子拉直，繩子末端落在地面上的點(diǎn)F處用皮尺量出QF的長(zhǎng)度．?dāng)?shù)據(jù)信息圖①中QE的長(zhǎng)度為3m；圖②中QF的長(zhǎng)度為9m．請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，求學(xué)校旗桿的高度．【經(jīng)典例題三小鳥飛行距離問題】【例3】（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)在延時(shí)課上進(jìn)行了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)踐探究，并繪制了如下記錄表格：課題在放風(fēng)箏時(shí)測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度模型抽象測(cè)繪數(shù)據(jù)①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度，計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米③牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為米說明點(diǎn)A，B，E，D在同一平面內(nèi)請(qǐng)根據(jù)表格信息，解答下列問題．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若想要風(fēng)箏沿方向再上升12米，則在長(zhǎng)度不變的前提下，小明同學(xué)應(yīng)該再放出多少米線？1．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）如圖，有兩棵樹，一棵高米（米），另一棵高米（米），兩樹相距米（米）．

(1)求一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？(2)如圖，臺(tái)風(fēng)過后，高米的樹在點(diǎn)處折斷，大樹頂部落在點(diǎn)處，則樹折斷處距離地面多少米？2．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·期中）在“歡樂周末?非遺市集”活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，諸多非遺項(xiàng)目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個(gè)年畫風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問題，他設(shè)計(jì)了如下的方案：先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離為；根據(jù)手中余線長(zhǎng)度，計(jì)算出的長(zhǎng)度為；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升，請(qǐng)問能否成功？請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)說明．3．（24-25八年級(jí)上·陜西寶雞·期中）學(xué)習(xí)了“勾股定理”后，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)把“測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下的活動(dòng)報(bào)告，請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告完成下面試題．報(bào)告測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度．成員組長(zhǎng)：組員：，，工具皮尺等示意圖方案先測(cè)量水平距離，然后根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度得出風(fēng)箏線長(zhǎng)，最后測(cè)量放風(fēng)箏的同學(xué)的身高．?dāng)?shù)據(jù)米，米，米，．(1)求此時(shí)風(fēng)箏的垂直高度；(2)若站在點(diǎn)A不動(dòng)，想把風(fēng)箏沿方向從點(diǎn)F的位置上升18米至點(diǎn)C的位置（即米，點(diǎn)C、點(diǎn)F、點(diǎn)D在一條直線上，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)），則還需放出風(fēng)箏線多少米？【經(jīng)典例題四大樹折斷前高度問題】【例4】（24-25八年級(jí)下·遼寧大連·期末）如圖，一根木桿在離地面的B處折斷，木桿頂端C落在離木桿底端處，(1)如圖1，求木桿折斷之前的高度；(2)如圖2，若此木桿在D處折斷，木桿頂端C落在離木桿底端處，求的長(zhǎng)．1．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(2)在折斷點(diǎn)的下方的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，如果本次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)處吹斷，那么行人在距離旗桿底部5米處是否有被砸到的風(fēng)險(xiǎn)？2．（24-25八年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)的下方的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)處吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？3．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽·期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．

(1)求旗桿折斷處點(diǎn)距離地面的高度；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷處的下方1.4m的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)處吹斷，旗桿的頂部落在水平地面上的處，形成一個(gè)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題五水杯中筷子問題】【例5】（23-24八年級(jí)下·天津河西·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題.有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦（點(diǎn)P是的中點(diǎn)），它高出水面1尺（尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面（），求水的深度PN.1．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期末）某校八年級(jí)學(xué)生準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們?cè)诒ＷC安全的情況下把一根竹竿AB垂直插到離湖邊3dm的水底（即），只見竹竿高出水面OC的距離，把竹竿的頂端拉向湖邊（底端不變），竿頂A和湖沿的水面C處平齊（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的長(zhǎng)．2．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在平靜的湖面上有一支紅蓮BA，高出水面的部分AC為0.5米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動(dòng)的水平距離CD為2米，則湖水深CB為多少？3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5cm，高為12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為多少？【經(jīng)典例題六航海距離問題】【例6】（24-25八年級(jí)下·吉林延邊·階段練習(xí)）如圖，一艘輪船從A港向南偏西方向航行到達(dá)B島，再?gòu)腂島沿方向航行到達(dá)C島，A港到行線的距離是．(1)若輪船的速度為，求輪船從C島沿返回A港所需要的時(shí)間；(2)C島在A島的什么方向？1．（23-24八年級(jí)下·四川瀘州·期中）如圖一艘輪船以50海里/小時(shí)速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東方向上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔在北偏東方向上．(1)求的度數(shù)；(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？2．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某日我海防巡邏艇在A處探測(cè)到在它正東方向距它30海里的B處有一艘可疑船只，該船只正以每小時(shí)36海里的速度沿北偏西方向行駛，巡邏艇立即沿北偏東的方向前往攔截，半小時(shí)后恰好在C處攔截到該船只．(1)求巡邏艇的速度為每小時(shí)多少海里？(2)求此時(shí)該船只所在處C與的距離為多少海里？3．（24-25八年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過A村和B村（將A，B村看成直線l上的點(diǎn)）的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破．已知C處與A村的距離為米，C處與B村的距離為米，且．(1)求A，B兩村之間的距離．(2)求點(diǎn)C到直線l的距離．(3)為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否有危險(xiǎn)而需要封鎖？如果需要，請(qǐng)計(jì)算需要封鎖的路段長(zhǎng)度；如果不需要，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題七河寬問題】【例7】（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，小微同學(xué)想測(cè)量一條河的寬度，出于安全考慮，河岸邊不宜到達(dá)，她在地面上取一個(gè)參考點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處有一棵大樹，用測(cè)距儀測(cè)得米，米，米，已知米，請(qǐng)你計(jì)算這條河的寬度．（結(jié)果保留根號(hào)）1．（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，某工程隊(duì)為修通鐵路需鑿?fù)ㄋ淼?，測(cè)得，，，，若每天開鑿隧道，需要幾天才能把隧道鑿?fù)ǎ?．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴(kuò)灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱．現(xiàn)為擴(kuò)建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠某處A向C地、D地、B地分流（點(diǎn)C，D，B位于同一條直線上），修三條筆直的支渠，，，且；再?gòu)腄地修了一條筆直的水渠與支渠在點(diǎn)H處連接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．(1)求支渠的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)若修水渠每千米的費(fèi)用是萬元，那么修完水渠需要多少萬元？3．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）著名的“趙爽弦圖”如圖1所示，若其中四個(gè)全等的直角三角形中，較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，斜邊為c，則大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊為a，b，斜邊為c，則．(1)圖2為美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖2推導(dǎo)勾股定理．(2)如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A，H，B在同一條直線上），并新修一條路，且．測(cè)得千米，千米，求新路比原路短多少千米．(3)在第（2）問中，若千米，千米，千米，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題八臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度問題】【例8】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為、、，和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程為（

）A． B． C． D．1．（24-25八年級(jí)下·廣東中山·期中）如圖所示：某商場(chǎng)有一段樓梯，高BC＝6m，斜邊AC是10米，如果在樓梯上鋪上地毯，那么需要地毯的長(zhǎng)度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m2．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，為了安全起見，要為一段高5米，斜邊長(zhǎng)米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少需要米長(zhǎng).3．（24-25八年級(jí)下·重慶九龍坡·期中）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元．

【經(jīng)典例題九汽車是否超速問題】【例9】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定，小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70km/h.如圖所示，一輛小汽車在一條城市街道沿直道向處行駛.某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方30m處的點(diǎn)，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀之間的距離為50m，這輛小汽車.（填“超速”或“不超速”）1．（24-25八年級(jí)下·廣東珠?！て谥校榧訌?qiáng)疫情防控，云南某中學(xué)在校門口區(qū)域進(jìn)行入校體溫檢測(cè)．如圖，入校學(xué)生要求沿著直線單向單排通過校門口，測(cè)溫儀C與直線的距離為，已知測(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為，則學(xué)生沿直線行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀（點(diǎn)A）的正前方處（點(diǎn)C），過了后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．問這輛小汽車超速了嗎？3．（24-25八年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，一輛小汽車在一條限速40的街路上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面車速檢測(cè)儀A的正前方60處的C點(diǎn)，測(cè)得小汽車所在的B點(diǎn)與車速檢測(cè)儀A之間的距離為100．(1)求B，C間的距離．(2)這輛小汽車超速了嗎？請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題十是否受臺(tái)風(fēng)影響問題】【例10】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期中）由于過度采伐森林和破壞植物，使我國(guó)許多地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲．近日市氣象局測(cè)得沙塵中心在市正西方向千米的處，以千米/時(shí)的速度向東偏南的方向移動(dòng)，距離沙塵中心千米的范圍是受沙塵暴嚴(yán)重影響的區(qū)域．(1)問市會(huì)不會(huì)受到沙塵暴的嚴(yán)重影響？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由；(2)若受影響請(qǐng)計(jì)算市受影響的時(shí)間．1．（24-25八年級(jí)下·湖北黃石·階段練習(xí)）2024年9月第11號(hào)臺(tái)風(fēng)“摩羯”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響）．如圖，線段是臺(tái)風(fēng)中心從市移動(dòng)到市的大致路線，是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且．若之間相距之間相距．(1)判斷農(nóng)場(chǎng)是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說明理由；(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，則臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？2．（24-25八年級(jí)下·河南漯河·階段練習(xí)）某市夏季經(jīng)常受臺(tái)風(fēng)天氣影響，臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由點(diǎn)行駛向點(diǎn)，已知點(diǎn)為一海港，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離分別為和，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？3．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）2024年9月第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”登陸，使我國(guó)長(zhǎng)三角很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響，這是今年以來對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即距離臺(tái)風(fēng)中心小于或等于區(qū)域內(nèi)都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響）．如圖，線段是臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”中心從上海市（記為點(diǎn)B）向西北方向移動(dòng)到常州市（記為點(diǎn)D）的大致路線，無錫市惠山區(qū)（記為點(diǎn)C）大致在線段上，南通市記為點(diǎn)A，且．若A，C之間相距，A，B之間相距．(1)判斷南通市（記為點(diǎn)A）是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”的影響，并說明理由．(2)若臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”中心的移動(dòng)速度為，則臺(tái)風(fēng)影響南通市（記為點(diǎn)A）持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？【經(jīng)典例題十一選址問題】【例11】（23-24八年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長(zhǎng)．1．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）兩根電線桿、，，，它們的底部相距，現(xiàn)在要在兩根電線桿底端之間線段上選一點(diǎn)，由分別向兩根電線桿頂端拉鋼索、，若使鋼索與相等，那么點(diǎn)應(yīng)該選在距點(diǎn)多少米處？

2．（24-25八年級(jí)下·廣西欽州·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)要在所在的直線上建一圖書室，點(diǎn)和點(diǎn)為社區(qū)附近的兩所學(xué)校，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，，．

(1)尺規(guī)作圖：要求圖書室到兩所學(xué)校的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，求的距離．3．（2023八年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，筆直公路上、兩點(diǎn)相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應(yīng)建在離處多遠(yuǎn)處．【經(jīng)典例題十二最短路徑問題】【例12】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高．一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，那么沿哪條路徑爬行的路程最短？

1．（24-25八年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）某單位大門口有個(gè)圓形柱子，已知柱子的直徑為，高為，為慶祝國(guó)慶節(jié)，單位想在柱子上掛一根彩帶．（以下計(jì)算規(guī)定）當(dāng)彩帶從點(diǎn)開始繞柱子1圈后，掛在點(diǎn)的正上方的點(diǎn)處，求彩帶最短需要多少米？2．（24-25八年級(jí)下·安徽安慶·期中）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的A處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在與點(diǎn)A處相對(duì)的玻璃杯外壁，且距離容器頂部的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)度是多少？3．（24-25八年級(jí)上·廣東茂名·期中）動(dòng)手操作：（1）如圖1，把矩形卷成以AB為高的圓柱形，則點(diǎn)A與點(diǎn)______重合，點(diǎn)B與點(diǎn)______重合；探究與發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，若圓柱的底面周長(zhǎng)是，高是，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處作裝飾，則這條絲線的最小長(zhǎng)度是多少？（3）如圖3，在（2）的條件下，若用絲線從該圓柱的底部A纏繞4圈直到頂部B處，則至少需要多少絲線？【拓展訓(xùn)練一受影響問題綜合】1．（24-25八年級(jí)下·廣西南寧·期中）五一即將來臨，某家電商場(chǎng)準(zhǔn)備開展促銷活動(dòng)，現(xiàn)采用移動(dòng)車在公路上進(jìn)行廣播宣傳．已知一輛移動(dòng)廣播車在筆直的公路上，沿東西方向由向行駛．小麗的家在公路的一側(cè)點(diǎn)處，且點(diǎn)與直線上的兩點(diǎn)的距離分別為，又，假如移動(dòng)廣播車周邊250米以內(nèi)能聽到廣播宣傳．(1)求的度數(shù)．(2)請(qǐng)你通過計(jì)算說明小麗在家能聽到廣播嗎？(3)若移動(dòng)廣播車在筆直的公路上以10米/秒的速度行駛，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)時(shí)，小麗在家剛好聽到廣播，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)時(shí)，小網(wǎng)在家剛好不再聽到廣播，即米，問小麗在家聽到廣播宣傳的時(shí)長(zhǎng)是多長(zhǎng)？2．（24-25九年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）某市規(guī)劃修建鐵路，并將火車始發(fā)站定于B處．已知始發(fā)站B位于小區(qū)A的東北方向，位于商場(chǎng)C的北偏西方向，且距離為米，小區(qū)A位于商場(chǎng)C的南偏西方向．火車在行駛的過程中，以火車頭為圓心，半徑為米的范圍內(nèi)都會(huì)受到噪音干擾．火車從始發(fā)站B出發(fā)，以米秒的速度沿鐵路低速行駛．(1)請(qǐng)問A小區(qū)是否會(huì)受到噪音干擾？若受到干擾，干擾的時(shí)間有多長(zhǎng)？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：(2)火車從始發(fā)站出發(fā)時(shí)，小明開車從小區(qū)沿正南方向以10米／秒的速度出發(fā)，小明出發(fā)多久后會(huì)受到噪音影響？3、（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）機(jī)動(dòng)車和非機(jī)動(dòng)車“各行其道”，可以確保各類交通工具在各自的道路上順暢行駛，避免相互干擾，從而降低交通風(fēng)險(xiǎn)，減少擁堵和延誤，提高道路通行效率，緩解城市交通壓力．為了提高市民“各行其道”的意識(shí)，我區(qū)宣傳車對(duì)廣大出行群眾進(jìn)行“各行其道”宣傳．如圖，一筆直公路，村莊A到公路的距離為，若在宣傳車P方圓以內(nèi)能聽到廣播宣傳，那么宣傳車P在公路上沿方向行駛時(shí)：(1)村莊能否聽到宣傳？請(qǐng)說明理由．(2)如果能聽到，已知宣傳車的速度是，那么村莊總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？4．（24-25八年級(jí)上·遼寧阜新·階段練習(xí)）2023年7月五號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響，據(jù)報(bào)道，這是今年以來對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響），如圖，線段是臺(tái)風(fēng)中心從C市向西北方向移動(dòng)到B市的大致路線，A是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且．若A，C之間相距，A，B之間相距．(1)判斷農(nóng)場(chǎng)A是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說明理由．(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，求出臺(tái)風(fēng)同時(shí)影響農(nóng)場(chǎng)A和B市的時(shí)間有多長(zhǎng)？【拓展訓(xùn)練二螞蟻爬行距離綜合】5．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）農(nóng)民麥子大豐收，小彬用打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為，高為的圓柱糧倉(cāng)模型（如圖所示）．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼彩色裝飾帶，使裝飾帶從柱底沿圓柱表面均勻地纏繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)到點(diǎn)為的中點(diǎn)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級(jí)下·湖北十堰·期末）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點(diǎn)A處，則該螞蟻要吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．7．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期末）如圖所示，地面上鋪了一塊長(zhǎng)方形地毯，因使用時(shí)間而變形，中間形成一個(gè)半圓柱的凸起，半圓柱的底面半徑為，已知，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，且必須翻過半圓柱凸起，則它至少要走m的路程．8．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階A爬到點(diǎn)的最短路程是多少？【探究】（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20，寬為15的長(zhǎng)方形，連結(jié)，經(jīng)過計(jì)算可得螞蟻沿著臺(tái)階點(diǎn)A爬到點(diǎn)的最短路程的長(zhǎng)為________．【應(yīng)用】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是，高是，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離．【拓展】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯高，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻外壁處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不計(jì)）【拓展訓(xùn)練三勾股定理的最值訓(xùn)練】9．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀理解：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)常在解決最值問題時(shí)起到化腐朽為神奇的作用．例題：求代數(shù)式的最小值．解決問題時(shí)，我們可以如圖構(gòu)造圖形，中，，，，則，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作的垂線，在下方的垂線上截取，連接，，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，最小值即為線段的長(zhǎng)，最后過點(diǎn)E作的垂線，垂足為點(diǎn)F，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)為15，進(jìn)而解決問題．類比如上方法，求的最小值為．10．（24-25八年級(jí)上·浙江·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是．11．（24-25八年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)，寬，高分別是、、．在的中點(diǎn)處有一滴蜜糖，一只小蟲沿外表面從處爬到處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是；此長(zhǎng)方體盒子內(nèi)能容下一根最大長(zhǎng)度是的木棒．（以上兩空結(jié)果都可以保留根號(hào)）12．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在筆直的河邊的一側(cè)是一片空曠的草地，牧馬人從草地上的A處出發(fā)到河邊飲馬，然后前往草地上的B處．若測(cè)得A處到河邊的距離（即圖中的長(zhǎng)度，，垂足為D）為12米，B處到河邊的距離（即圖中的長(zhǎng)度，，垂足為E）為28米，且兩處相距30米．(1)在圖中畫出從A到再到B的最短路徑，并計(jì)算最短路徑的長(zhǎng)度（保留作圖痕跡）；(2)C是河邊上D，E兩地之間的一個(gè)地點(diǎn)，且與D處相距16米，如果從A先到C處飲水，再回到B處，行走路程比（1）中的最短路徑長(zhǎng)多少？A基礎(chǔ)訓(xùn)練1．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期末）強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一根旗桿在離地面5m處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿12m處，旗桿折斷之前的高度是（

）m．A．12 B．13 C．17 D．182．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某校的長(zhǎng)方形水泥操場(chǎng)的示意圖如圖所示．如果一名學(xué)生要從A角走到C角，那么至少要走（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何．意思是：現(xiàn)有一根竹子，原高一丈（10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度．設(shè)竹子折斷處離地面的高度尺．根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．4．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）今年，第十五號(hào)臺(tái)風(fēng)登陸江蘇．如圖，A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于A市正南方向的B處，正以的速度沿方向移動(dòng)．已知A市到的距離，如果在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市經(jīng)過（

）個(gè)小時(shí)開始受到臺(tái)風(fēng)影響．A． B． C．6 D．5．（24-25八年級(jí)下·廣西桂林·階段練習(xí)）小彬用打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為，高為的圓柱狀糧倉(cāng)模型，如圖所示，現(xiàn)要在此模型的側(cè)面從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B處貼一條彩色裝飾帶，則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為．6．（24-25八年級(jí)下·黑龍江雞西·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求出秋千的長(zhǎng)是尺．7．（24-25八年級(jí)下·湖北黃石·期末）如圖，這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是尺（1丈尺）．8．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）文化廣場(chǎng)有一塊矩形的草坪如圖所示，有少數(shù)的人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，卻踩傷了花草！青青綠草地，悠悠關(guān)我心，足下留“青”！走“路比走路”少了米．9．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）周末，小明和小亮去公園放風(fēng)箏，如圖，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了測(cè)量，得到如下數(shù)據(jù)：①牽線放風(fēng)箏的小明的身高為m；②風(fēng)箏與小明的水平距離的長(zhǎng)為m；③根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為m．(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)要使風(fēng)箏沿方向下降m，則小明應(yīng)該往回收風(fēng)箏線多少m？在中，m，m，小明應(yīng)該往回收風(fēng)箏線m．10．（24-25八年級(jí)下·江西宜春·期末）物理課上，老師帶著科技小組進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)．同學(xué)們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪A，一端拴在滑塊B上，另一端拴在物體C上，滑塊B放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊B的左右滑動(dòng)來調(diào)節(jié)物體C的升降，實(shí)驗(yàn)初始狀態(tài)如圖1所示，物體C靜止在直軌道上，物體C到滑塊B的水平距離是，物體C到定滑輪A的垂直距離是．（實(shí)驗(yàn)過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計(jì)）(1)求繩子的總長(zhǎng)度；(2)如圖2，若滑塊B向左滑動(dòng)了，求此時(shí)物體C升高了多少？B提高訓(xùn)練11．（24-25八年級(jí)下·河南安陽·期末）如圖，一根長(zhǎng)的兒童牙刷置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，兒童牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則h的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（24-25八年級(jí)下·湖北荊州·期中）市面上有許多自帶勺子的水杯，為了方便用戶使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如圖是某款自帶勺子的水杯的簡(jiǎn)化圖，杯身是