專題04勾股定理?？紟缀文Ｐ蛯Ｓ?xùn)（含將軍飲馬問題）（9大題型）題型一圓柱中的最短路徑模型題型二長方體中的最短路徑模型題型三將軍飲馬型最短路徑問題題型四勾股定理中的翻折模型（三角形）題型五勾股定理中的翻折模型（長方形）題型六勾股定理中的線段的平方和模型題型七勾股定理中的最值問題題型八勾股定理中的旋轉(zhuǎn)模型題型九勾股定理中的模型綜合【經(jīng)典例題一圓柱中的最短路徑模型】知識點(diǎn)1、圓柱中的最短路徑模型條件：如圖，圓柱的底面圓的周長是c厘米，高是h厘米，現(xiàn)在要從圓柱上點(diǎn)A沿表面把一條彩帶繞到點(diǎn)B。結(jié)論：彩帶最短需要厘米．證明：如圖所示：沿過A點(diǎn)和過B點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得這條絲線的最短長度是的長度，由勾股定理得，，則這條絲線的最短長度是厘米，注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。1．（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長是，圓柱高為，一只蜜蜂如果要從圓柱內(nèi)部點(diǎn)A飛到與之相對的點(diǎn)B，那么它飛行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查勾股定理與最短路徑．根據(jù)題意，長即為蜜蜂從圓柱內(nèi)部點(diǎn)飛到與之相對的點(diǎn)的最短路程，根據(jù)底面圓的周長可得底面圓的直徑，在中，運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，蜜蜂沿如圖所示方向飛行路程最短，∴長即為蜜蜂從圓柱內(nèi)部點(diǎn)飛到與之相對的點(diǎn)的最短路程，∵圓柱的底面周長是，圓柱高為，∴底面圓的直徑為，，根據(jù)勾股定理得，∴蜜蜂飛行的最短路程為，故選：B．2．（24-25八年級下·山東濟(jì)寧·期末）農(nóng)民麥子大豐收，小彬用打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長為，高為的圓柱糧倉模型（如圖所示）．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼彩色裝飾帶，使裝飾帶從柱底沿圓柱表面均勻地纏繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)到點(diǎn)為的中點(diǎn)），則裝飾帶的長度最短為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的展開圖求最短距離問題，正確畫出展開圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，畫出圓柱的展開圖，由勾股定理即可求出．【詳解】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，最短路線為的長，則，∴．故選：D．3．（24-25八年級下·河北張家口·期末）如圖是一個(gè)底面周長為，高為的圓柱模型，是底面直徑．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長度最短為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．將圓柱的側(cè)面展開，根據(jù)題意可知，，利用勾股定理解得的長度，然后計(jì)算裝飾帶長度的最短值即可．【詳解】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長方形，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，，根據(jù)題意，可知，，∴，∴裝飾帶長度的最短值．故選：D．4．（23-24八年級下·河南漯河·階段練習(xí)）一只螞蟻沿著如圖所示的路線從圓柱高的端點(diǎn)A到達(dá)．若圓柱底面周長為12，高為9，則螞蟻爬行的最短距離為．【答案】15【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題，將幾何體展開、利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．先將圓柱體展開，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵圓柱底面圓的周長為12，高為9，∴將側(cè)面展開為一長為12，寬為9的矩形，如圖，則：，∴，即：螞蟻爬行的最短距離為15．故答案為：15．5．（24-25八年級下·山西朔州·階段練習(xí)）如圖，圓柱底面周長為，圓柱高，在圓柱側(cè)面有一只螞蟻，沿圓柱側(cè)面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，再從點(diǎn)爬回到點(diǎn)，恰好爬行一圈，則這只螞蟻爬行的最短路程為cm．【答案】【分析】本題考查平面展開最短路線問題，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，沿剪開，展開圓柱的側(cè)面，則這只螞蟻爬行的最小長度為，由勾股定理求出的長，即可求解，理解題意，能將立體圖形展開成平面圖形，利用勾股定理解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：沿剪開，展開圓柱的側(cè)面，如圖：這只螞蟻爬行的最小長度為，由題意知，，，由勾股定理，得，，∴這只螞蟻爬行的最小長度為，故答案為：．6．（24-25八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，圓柱體的底面周長為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點(diǎn)，，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是．【答案】【分析】此題主要考查了平面展開-最短路徑問題，以及勾股定理的應(yīng)用，首先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)底面周長為，求出的值；再在中，根據(jù)勾股定理求出的長，即為所求，解題的關(guān)鍵是畫出圓柱的側(cè)面展開圖．【詳解】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示：∵圓柱的底面周長為，，，，在中，，，即螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短距離是，故答案為：．7．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹干周長為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【答案】(1)見解析(2)【分析】（）以為切口把樹干側(cè)面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（）由勾股定理即可求解；本題考查了平面展開——最短路徑問題，勾股定理，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，以為切口把樹干側(cè)面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（2）解：根據(jù)題意，得，，∴答：它爬行一周的路程是．8．（24-25八年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱底面的周長為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A，C嵌有一圈長度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是______．(2)如圖①，求該長度最短的金屬絲的長．(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是多少？(4)如圖③，圓柱形玻璃杯的高，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】(1)A(2)20(3)(4)10【分析】本題考查了平面展開最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．（1）由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題；（2）要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是以周長及的高為直角三角形的斜邊長的4倍；（4）如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）解：因圓柱的側(cè)面展開面為長方形，展開應(yīng)該是兩線段，且有公共點(diǎn)．故選：A；（2）解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．圓柱底面的周長，圓柱的高，該長度最短的金屬絲的長為；（3）解：若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長度是以周長及的高為直角三角形的斜邊長的4倍：．（4）解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．【經(jīng)典例題二長方體中的最短路徑模型】知識點(diǎn)2、長方體中的最短路徑模型條件：如圖，一只螞蟻從長是a，寬是b，高是h的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，（其中：h＞a＞b）。結(jié)論：螞蟻爬行的最短路程是證明：如圖，當(dāng)長方體的側(cè)面按圖甲展開時(shí)，；則；如圖，當(dāng)長方體的側(cè)面按圖乙展開時(shí)，；則；如圖，當(dāng)長方體的側(cè)面按圖丙展開時(shí)，；則；∵h(yuǎn)＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞∴螞蟻所行的最短路線長為，注意：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三類情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同。9．（24-25八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，有一個(gè)長方體．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，將長方體的側(cè)面展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連結(jié)，則，．在中，．故選C．10．（24-25八年級下·廣東韶關(guān)·期末）如圖，在桌面上放置一個(gè)棱長為的正方體，點(diǎn)B為一條棱上的點(diǎn)，且，螞蟻在正方體表面爬行，從頂點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平面展開最短路徑問題，勾股定理，關(guān)鍵是知道兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻爬行的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出最短路徑長．【詳解】解：根據(jù)題意如圖，∵正方體棱長為，∴，在中中，∴它運(yùn)動(dòng)的最短路程．故選：B．11．（24-25八年級上·福建漳州·期中）如圖，一只蜘蛛在一塊長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長方體上和蜘蛛相對的頂點(diǎn)B處，已知長方體長，寬，高．蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是（

）．A．10 B． C． D．不能確定【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，分別把長方體沿長，寬，高展開，畫出對應(yīng)的示意圖，利用勾股定理求出三種情況下的長，比較即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)沿著高把長方體展開時(shí)，在中，，∴；如圖所示，當(dāng)沿著長把長方體展開時(shí)，在中，，∴；如圖所示，當(dāng)沿著寬把長方體展開時(shí)，在中，，∴；∵，∴沿著長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是，故選：C．12．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，長方體的長為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．【答案】25【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用-最短路徑問題，分三種情況進(jìn)行討論，分別計(jì)算的長度，進(jìn)而比較即可求解．【詳解】解：展開前面和右面，如圖：；展開左面和上面，如圖：；展開上面和前面，如圖：；∵，∴，∴需要爬行的最短距離是25，故答案為：25．13．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長，高，水深．在水面上緊貼內(nèi)壁的處有一塊面包屑，且．一只螞蟻想從魚缸外的點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長為．【答案】100【分析】本題考查平面展開?最短路徑問題，關(guān)鍵知道兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．作出A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)Q，此時(shí)最短；為直角的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示作出A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)Q，螞蟻沿著的路線爬行時(shí)路程最短．則，根據(jù)題意：，，∴，∴，∴最短路線長為，故答案為：．14．（24-25八年級上·遼寧錦州·期中）如圖，用7個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的所有路徑中，最短路徑的長是．【答案】5【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長即可．【詳解】將將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑故答案為：5．15．（24-25八年級下·江西上饒·期中）如圖，長方體的長為厘米，寬為厘米，高為厘米，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是厘米，自至在長方體表面的連線距離最短是多少？【答案】【分析】此題主要考查平面展開圖的最短距離，注意長方體展開圖的不同情況，正確利用勾股定理解決問題．求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第個(gè)圖：長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第個(gè)圖：長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第個(gè)圖：長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；，自至在長方體表面的連線距離最短是．16．（24-25八年級下·河北邢臺(tái)·期中）如圖1，在棱長為的立方體紙盒的頂點(diǎn)處有一只螞蟻，在另一頂點(diǎn)處有一粒糖．(1)現(xiàn)甲、乙、丙三人分別為這只螞蟻設(shè)計(jì)了一條爬行路線，使它沿著立方體表面上的這一條路線爬行到點(diǎn)處，如圖所示．請通過計(jì)算分析，甲、乙、丙中誰設(shè)計(jì)的爬行路線最長？誰設(shè)計(jì)的爬行路線最短？(2)將題干中的立方體紙盒改為長、寬、高分別為，，的長方體紙盒（如圖3），其他條件不變，試通過分析求螞蟻經(jīng)過的最短路程．【答案】(1)甲設(shè)計(jì)的爬行路線最長，丙設(shè)計(jì)的爬行路線最短；(2)螞蟻經(jīng)過的路程最短路程為．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，最短路徑，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．（1）分別計(jì)算每個(gè)人設(shè)計(jì)的路線的長度，對結(jié)果進(jìn)行比較即可；（2）把紙盒分別沿著長、寬、高所在的棱展開，根據(jù)勾股定理計(jì)算每種情況對應(yīng)的線段長度，對結(jié)果進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：∵紙盒是棱長為的立方體，∴甲設(shè)計(jì)的爬行路線長為，乙設(shè)計(jì)的爬行路線長為，丙設(shè)計(jì)的爬行路線長為，∵，∴甲設(shè)計(jì)的爬行路線最長，丙設(shè)計(jì)的爬行路線最短，答：甲設(shè)計(jì)的爬行路線最長，丙設(shè)計(jì)的爬行路線最短．（2）解：∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴不考慮沿著棱爬行的情況，如圖所示，螞蟻沿爬行，經(jīng)過的路程長為，螞蟻沿爬行，經(jīng)過的路程長為，螞蟻沿爬行，經(jīng)過的路程長為，∵，∴螞蟻沿爬行，經(jīng)過的路程最短，最短路程為，答：螞蟻經(jīng)過的路程最短路程為．【經(jīng)典例題三將軍飲馬型最短路徑問題】知識點(diǎn)3、將軍飲馬與空間最短路徑模型

條件：如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為h厘米，底面周長為c厘米，在容器內(nèi)壁離容器底部a厘米的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿a厘米的點(diǎn)A處，結(jié)論：螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程為：厘米。證明：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EC的對稱點(diǎn)，過作交B的延長線于D，則四邊形是矩形，∴，，連接，則即為最短距離，∵由題意得，（），=a（），（），在中，（）．注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。17．（24-25八年級下·安徽安慶·期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為．在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)C處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜C點(diǎn)的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓柱的展開圖，軸對稱，勾股定理，熟練掌握軸對稱，勾股定理是解題的關(guān)鍵．利用展開圖，軸對稱，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開，

根據(jù)題意，，∴作點(diǎn)Ａ關(guān)于直線的對稱點(diǎn)G，連接，則為所求最短距離，則，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)E，則四邊形是矩形，故，故，故，∴螞蟻到達(dá)蜂蜜C點(diǎn)的最短距離為．故選：C18．（24-25八年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為（

）（杯壁厚度不計(jì)）．A． B． C． D．【答案】C【分析】將杯子側(cè)面展開，建立關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求．本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．【詳解】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)、、在同一條直線上，則為螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離，即的長度，依題意，，此時(shí)．螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為，故選：C．19．（24-25八年級上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處所走的最短路程為cm．（杯壁厚度不計(jì)）【答案】【分析】本題主要考查了平面展開—最短路徑問題、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)．將杯子半側(cè)面展開，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖：將杯子半側(cè)面展開，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)、F、B在同一條直線上，則為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即的長度，

由題意可得：，，，∴，∵．∴螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故答案為：．20．（23-24八年級下·廣西南寧·期末）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的A處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿的點(diǎn)B處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是．【答案】10【分析】將圓柱側(cè)面展開再進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，此時(shí)長方形的長為圓柱底面周長的一半，如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即為最短距離，的長度即為所求，接下來結(jié)合已知數(shù)據(jù)，根據(jù)勾股定理相信你可以求出的長了．本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即為最短距離，∵高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的A處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿的點(diǎn)B處，∴，，∴，在中，，故答案為：10．21．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）某班級在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接，則與直線l的交點(diǎn)即為P，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，E是的中點(diǎn)，P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；(2)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式的最小值；(3)幾何拓展：如圖3，，，，若在、上各取一點(diǎn)M、N使的值最小，最小值是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）作點(diǎn)E關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，根據(jù)“將軍飲馬問題”得到的最小值為，根據(jù)勾股定理求出，得到答案；（2）根據(jù)勾股定理構(gòu)造圖形，根據(jù)軸對稱——最短路線問題得到最小值就是求的值，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，作于N交于M，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為P，且的最小值為，作交的延長線于F，由題意得，，，∴的最小值故答案為：；（2）構(gòu)造圖形如圖3所示，，，，于A，于B，，則，代數(shù)式的最小值就是求的值，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，過作交的延長線于E．則，，，∴所求代數(shù)式的最小值是5；（3）解：如圖4，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，作于N交于M，連接，則，，∴為等邊三角形，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱——最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．22．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）勾股定理具有豐富的文化內(nèi)涵，它揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，搭建起幾何與代數(shù)之間的橋梁，為解決幾何問題拓寬了思路．請完成下面問題：(1)如圖，請你用兩種不同方法表示梯形的面積，從而驗(yàn)證勾股定理．(2)如圖，在直線的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)、，已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離分別為2和5，且．現(xiàn)要在直線上取點(diǎn)，使得的值最?。僬堄脽o刻度直尺和圓規(guī)在圖2中確定點(diǎn)的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）②直接寫出的最小值為_________；(3)借助上面的思考過程，直接寫出的最小值為_______．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)【分析】本題考查軸對稱—最短問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）由梯形，三角形面積公式即可證明問題；（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，；②根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出，，根據(jù)勾股定理求出，得到，結(jié)合題意計(jì)算即可；（3）作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，則的最小值為，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：由題意可知，梯形的面積第一種表示方法：，第二種表示方法：，則，∴；（2）①作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，由軸對稱可知，，∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取等號，故，點(diǎn)即為所求；②作，，相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，則，，在中，，，∴，在中，，∴的最小值為，故答案為：；（3）如圖，作于，于，，，，，則，∴，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，類比（2）可知，此時(shí)最小，最小值為，作于，則，由勾股定理得，，即最小為，∴的最小值為，故答案為：．23．（24-25八年級上·河北承德·期末）如圖，小明家在一條東西走向的公路北側(cè)米的點(diǎn)處，小紅家位于小明家北米（米）、東米（米）點(diǎn)處．（1）求小明家離小紅家的距離；（2）現(xiàn)要在公路上的點(diǎn)處建一個(gè)快遞驛站，使最小，請確定點(diǎn)的位置，并求的最小值．【答案】（1）米；（2）見解析，米【分析】（1）如圖，連接AB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AB，由題意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，由題意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即從驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值為1500米．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題，勾股定理，題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱解決最短問題．24．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）鐵路上、兩點(diǎn)相距25km，為良村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站．（1）在圖中，若，則戰(zhàn)應(yīng)修建在離站多少千米處．（2）在圖中，若值最小，則點(diǎn)應(yīng)建在哪里，請求出這個(gè)最小值．【答案】（1）10km．（2）AE=15，E應(yīng)建在距A15千米處．【分析】（1）關(guān)鍵描述語：產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，設(shè)出AE的長，可將DE和CE的長表示出來，列出等式進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形D′FC，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)AE=xkm，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，由勾股定理，得152+x2=102+（25-x）2，x=10．故：E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10千米處．（2）作D點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，連接D′C，再作D′F⊥BC于點(diǎn)F，此時(shí)DE+EC最短，∵DA=15km，CB=10km，A、B兩點(diǎn)相距25km，∴FC=25km，D′F=25km，根據(jù)題意得，∴BE=10km∴AE=15km，∴E應(yīng)建在距A15千米處．【點(diǎn)睛】本題主要是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解即可．以及考查了軸對對稱求最短路徑以及勾股定理，得出E點(diǎn)位置進(jìn)而構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四勾股定理中的翻折模型（三角形）】知識點(diǎn)4、三角形折疊模型1）沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。三角形翻折之過斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型1）沿直線MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；2）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.3）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.三角形翻折之過任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型1）沿直線MN翻折，使得點(diǎn)C落在直角邊的點(diǎn)D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與斜邊AB上的點(diǎn)F重合；25．（2025·浙江杭州·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)F，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，利用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短解答即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，∵，，∴，∴，∴，∵沿折疊得到，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，取得最大值，根據(jù)垂線段最短，∴時(shí)，取得最大值，∴，故選：A．26．（24-25八年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D，E分別是，邊上的點(diǎn)．把沿直線折疊，若B落在邊上的點(diǎn)處，則最小值是，最大值是【答案】【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．本題分點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最大，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最小，求出兩個(gè)極值即可．【詳解】解：作交的延長線于點(diǎn)，∴，如圖1：點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最大，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最小，如圖2：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，∴，∵，，∴，解得：，綜上所述，最小值是，最大值是，故答案為：，；27．（2025·河南周口·三模）如圖所示，已知中，，點(diǎn)分別在線段上，將沿直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為．【答案】或【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識，分類討論是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，分類討論：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，即；由此解方程即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵將沿直線折疊得到，∴，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，設(shè)，則，，∴，即，解得，（負(fù)值舍去），∴；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，同理，設(shè)，則，∴，即，解得，，∴；綜上所述，的長為或，故答案為：或．28．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）如圖，在中，是邊上的高，，，，E為上一點(diǎn)，將沿過點(diǎn)E的直線折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕交于點(diǎn)H，連接，則．【答案】【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理；連接，由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，由勾股定理得到，求出，得到，再由三角形面積公式即可求出．【詳解】解：連接，將沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，是折痕，垂直平分，，設(shè)，則，，是邊上的高，，，，，，故答案為：．29．（24-25八年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在射線上，連接，若的某一直角邊等于斜邊長度的一半時(shí)，則的長為．【答案】或【分析】本題主要考查圖形的翻折變換（折疊問題），勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，由翻折得，，分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)在邊上，且（即）時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且（即）時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且（即）時(shí)，分別根據(jù)勾股定理求出的長，再求出的長即可【詳解】解：由翻折得，，分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)在邊上，且（即）時(shí)，，由勾股定理得，，即，，，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且（即）時(shí)，同理得，，；③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且（即）時(shí)，由勾股定理得，，即，，，，，，此時(shí)點(diǎn)不在邊上，不符合題意，舍去，綜上，當(dāng)?shù)哪骋恢苯沁叺扔谛边呴L度的一半時(shí)，的長度為，．故答案為：，．30．（24-25八年級下·遼寧鐵嶺·期中）在中，，，，D，E分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)．把沿著折疊，頂點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在直角邊上，且．求的長．【答案】【分析】本題考查勾股定理，折疊的性質(zhì)，設(shè)，則，用勾股定理解即可．【詳解】解：，，設(shè)，則，由折疊知，，，，在中，由勾股定理得：，，解得，即的長為．31．（24-25八年級下·北京·期中）八年級開展了手工制作競賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品．陳莉同學(xué)在制作手工作品的第①②步驟是：①先裁下了一張長，寬的長方形紙片；②將紙片沿著直線折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．請你根據(jù)①②步驟解答下列問題：求，的長．【答案】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，則，設(shè)，由勾股定理得，即，計(jì)算求解然后作答即可．【詳解】解：∵長方形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，∴．32．（24-25八年級上·浙江舟山·期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，賀老師以三角形折疊為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)特例感知如圖1，折疊等邊三角形紙片，使點(diǎn)A與邊中點(diǎn)F重合，折痕為，分別交邊、邊于點(diǎn)D、點(diǎn)E．①求的度數(shù)．②求證：為等邊三角形．(2)性質(zhì)梳理如圖2，等腰三角形．紙片，，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，折痕為，分別交邊、邊于點(diǎn)D、點(diǎn)E．若，，求的長度．(3)深度探究如圖3，折疊（、為銳角）紙片，使點(diǎn)A落在的下方點(diǎn)F處，折痕分別交邊、邊于點(diǎn)D、點(diǎn)E，線段與分別交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，若，點(diǎn)D、點(diǎn)F到的距離相等，求證：．【答案】(1)①；②見解析(2)10(3)見解析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及角的等量代換，得到，設(shè)，則，利用勾股定理列方程求解即可；（3）作，分別交于．證明，得到，同理可得，即可解答．【詳解】（1）解：①∵等邊三角形，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，∵，∴．②∵，∴，∵，∴為等邊三角形．（2）解：∵，∴，∵折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)F處，∴，∴，∵，∴，∴設(shè)，則在中，，∴，解得：，∴．（3）證明：作，，分別交于K，G，H．∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五勾股定理中的翻折模型（長方形）】知識點(diǎn)5、長方形折疊模型矩形翻折之折痕過對角線模型矩形翻折之折痕過對角線模型:如圖，沿著矩形的對角線所在直線進(jìn)行翻折.條件：已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。證明：根據(jù)翻折易證：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC?！咚倪呅蜛BCD為矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC?！唷螧’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。矩形翻折之折痕過一個(gè)頂點(diǎn)模型沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。條件：已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’。結(jié)論：①如圖1，折在矩形內(nèi)，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。②如圖2，折在矩形邊上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。③如圖3，折在矩形外，①四邊形≌四邊形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。證明：由翻折易得：①②成立。由翻折得：∠BAE=∠B’AE。∵四邊形ABCD為矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE?！唷螧’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。矩形翻折之折痕過邊上任意兩點(diǎn)模型沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。條件：已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C’.結(jié)論：如圖1，折在矩形內(nèi)，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。如圖2，折在矩形邊上，①四邊形≌四邊形；②折痕EF垂直平方BB’。如圖3，折在矩形外，①四邊形≌四邊形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。證明：由翻折易得：①②成立?！咚倪呅蜛BCD為矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°?！郍C’F是直角三角形。33．（24-25八年級下·山東濱州·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，，將長方形沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，(1)求證：；(2)求重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證明，則可證明，得到；（2）設(shè)，則，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出答案．【詳解】（1）證明：由題意得，，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．34．（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）如圖是長方形紙片，已知，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)M處，且，折痕為，則的長為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．1.5【答案】B【分析】本題考查勾股定理、折疊性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，利用折疊性質(zhì)，結(jié)合已知條件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得，，，．故選：B．35．（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，將長方形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，已知，，則邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題注意考查勾股定理與折疊問題．設(shè)邊的長為，首先根據(jù)長方形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而求出的長度，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)邊的長為，∵四邊形是長方形，∴，，．，．由折疊的性質(zhì)可知，，．在中，∵，，解得，∴邊的長為，故選：C．36．（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是長方形的邊上一點(diǎn)，將長方形沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在上的點(diǎn)F處．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．5 D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理．證明可得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知，，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得，∴．故選：C．37．（24-25八年級上·重慶奉節(jié)·期末）如圖，在長方形紙片中，．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長為．【答案】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)折疊前后的圖形全等得到相關(guān)條件是解答本題的關(guān)鍵．先證明，可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在長方形中，，，∵由折疊的性質(zhì)可知：，，∴，，∵在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∵在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，故答案為：．38．（24-25八年級上·河南南陽·期末）如圖，長方形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若恰好為直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】本題考查了勾股定理、折疊綜合問題，分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用勾股定理及折疊的性質(zhì)即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖：

，長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖：

在中，，，，長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，點(diǎn)、、共線，即點(diǎn)在上，，設(shè)，則，，在中，，即：，解得，∴，∴，故答案為：或．39．（24-25八年級下·青海海東·階段練習(xí)）如圖，將長方形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且點(diǎn)D落在對角線處，若，，求的長．【答案】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)長方形的性質(zhì)可得，，，在中，運(yùn)用勾股定理求得．設(shè)，由折疊可得，，，從而，，在中，運(yùn)用勾股定理構(gòu)造方程即可求解．【詳解】解：因?yàn)樗倪呅问情L方形，所以，所以

由折疊的性質(zhì)得：，，，所以，

設(shè)，則，在中，，即，解得：，即．40．（24-25八年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，長方形中，，，，把它沿折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)M的位置上．(1)求證：；(2)若，，求的面積；(3)若，為等邊三角形，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，易證得；（2）設(shè)，則，由勾股定理可推出，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，即可求得的面積；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)為等邊三角形，可得，由的直角三角形的性質(zhì)可得，，在中，由勾股定理可得的長．【詳解】（1）證明：由折疊可知，，，，∴，，在和中，∴，（2）解：設(shè)，則，在中，，即，解得：，即，∴，又∵，∴，∴，（3）解：由折疊可知，，，∵為等邊三角形，∴∴，設(shè)，則，∵∴，解得：∴，在中，由勾股定理可得：，∴．【經(jīng)典例題六勾股定理中的線段的平方和模型】41．（24-25七年級下·山東煙臺(tái)·期末）【圖形定義】若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為“勾股高三角形”，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)，如圖，在中，，為邊上的高，，則為勾股高三角形．【性質(zhì)探究】為勾股高三角形，，即，又為的高，在中，根據(jù)勾股定理得：，，即．【概念理解】（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?；【性質(zhì)運(yùn)用】（2）如圖，已知為勾股高三角形，其中為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高，，若，請求出線段的長；【拓展提升】（3）如圖，等腰為勾股高三角形，其中點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)，，為邊上的高，過點(diǎn)作邊的平行線與邊交于點(diǎn)若，請求出線段的長．【答案】（1）是（2）線段的長為（3）【分析】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股高三角形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）根據(jù)勾股高三角形的定義即可判斷；（2）根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)勾股高三角形的定義得到，計(jì)算即可得到答案；（3）過點(diǎn)作于，證明為等腰三角形，，即可解決問題．【詳解】（1）等腰直角三角形是勾股高三角形．故答案為：是；（2）為勾股高三角形，，由其性質(zhì)可知：，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，，線段的長為；（3）過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)，，等腰為勾股高三角形，，只能滿足，由其性質(zhì)可知：，為邊上的高，，又，，在和中，，∴，，，，，，，，，又，．42．（2025·山東青島·一模）【圖形定義】若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．如圖1，在中，，則為勾股高三角形．【性質(zhì)探究】為勾股高三角形，即①又為的高，②由①②可得，即【性質(zhì)應(yīng)用】(1)等腰直角三角形___________勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保?2)如圖2，已知為勾股高三角形，其中為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高．若，則線段的長度為___________．(3)如圖3，等腰為勾股高三角形，其中為邊上的高，過點(diǎn)作邊的平行線與邊交于點(diǎn)．若，則線段的長度為___________．【答案】(1)是(2)(3)【分析】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股高三角形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）先畫圖，再分別表示，，因?yàn)?，結(jié)合勾股高三角形，即可作答．（2）根據(jù)勾股定理得到，，根據(jù)勾股高三角形的定義得到，計(jì)算即可得到答案；（3）過點(diǎn)向引垂線，垂足為，只要證明，即可解決問題．【詳解】（1）解：等腰直角三角形如圖所示：依題意，，即是邊上的高，設(shè)，∴，∵，即滿足三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，∴等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案為：是；（2）解：∵，∴由勾股定理可得：，，為勾股高三角形，為勾股頂點(diǎn)，是邊上的高，，，解得：（負(fù)數(shù)舍去）；故答案為：；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作，垂足為，勾股高三角形為等腰三角形，且，只能是，在中，，則；又，，，，，，，而，∵，，，為等腰三角形，，，又，，．43．（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）定義：如果一個(gè)三角形一邊的平方與另一邊上高的平方之和等于第三邊的平方，則稱這個(gè)三角形為“牽手三角形”，這條邊與第三邊的交點(diǎn)稱為“牽手頂點(diǎn)”．例如圖1，在中，是邊上的高，若，則為“牽手三角形”，點(diǎn)為“牽手頂點(diǎn)”．(1)等邊三角形______“牽手三角形”（填寫“是”或者“不是”）；(2)如圖2，已知為“牽手三角形”，其中點(diǎn)為“牽手頂點(diǎn)”，，是邊上的高．在不添加其他線段和字母的情況下，找出圖中一組相等的線段，并說明理由；(3)運(yùn)用（2）中的結(jié)論解決下列問題：①已知為“牽手三角形”，其中點(diǎn)為“牽手頂點(diǎn)”且是邊上的高．若，則的長是______；②如圖3，為“牽手三角形”，其中為“牽手頂點(diǎn)”，是邊上的高，，若．求證：為等腰三角形．【答案】(1)不是(2)，理由見解析(3)①8；②見解析【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)：（1）直接根據(jù)“牽手三角形”的定義，即可求解；（2）根據(jù)“牽手三角形”的定義，可得，在中，再由勾股定理可得，即可解答；（3）①由（2）得：，在中，再由勾股定理可得，即可求解；②證明，可得，，從而得到，再由，可得，延長交于點(diǎn)F，證明，可得，從而得到，即可求證．【詳解】（1）解：∵等邊三角形的三邊相等，∴等邊三角形一邊的平方與另一邊上高的平方之和大于第三邊的平方，∴等邊三角形不是“牽手三角形”；故答案為：不是（2）解：，理由如下：∵為“牽手三角形”，是邊上的高，∴，在中，，∴，∴；（3）解：①如圖，由（2）得：，在中，，∴，∴，∴；故答案為：8②證明：由（2）得：，∵，∴和、均為直角三角形，在和中，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，即，如圖，延長交于點(diǎn)F，在和中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形．44．（23-24八年級下·湖北咸寧·期末）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)【項(xiàng)目主題】探究斜三角形的三邊數(shù)量關(guān)系；【項(xiàng)目內(nèi)容】學(xué)習(xí)了勾股定理后，同學(xué)們知道了直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即直角三角形兩條較小邊的平方和等于最大邊的平方．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在此基礎(chǔ)上對鈍角三角形和銳角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生濃厚興趣，準(zhǔn)備展開探究；【項(xiàng)目任務(wù)】任務(wù)一：（1）如圖1，是鈍角三角形，且是鈍角，、、的對邊分別是a、b、c，試比較與的大?。慌d趣小組的思路是：如圖2，過點(diǎn)C作的垂線并截取，連接，，通過構(gòu)造得到；從而將問題轉(zhuǎn)化為比較圖中線段和的大小，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，再從角的大小關(guān)系不難得出，最后可得到結(jié)論______；（填“=”“<”或“>”）任務(wù)二：（2）如圖3，是銳角三角形，且是最大角，、、的對邊分別是a、b、c，猜想______（填“=”“<”或“>”），并說明理由；任務(wù)三：（3）①三邊長分別為4、5、7的三角形是______；（填“直角三角形”“銳角三角形”或“鈍角三角形”）②已知銳角三角形的兩邊長分別為3和5，則第三條邊長m的取值范圍是______．（請直接寫出結(jié)果）【答案】（1）<；（2）>，見解析；（3）①鈍角三角形；②【分析】本題主要考查三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步判斷三角形的形狀，任務(wù)一：根據(jù)題干已知即可得到答案；任務(wù)二：過點(diǎn)A作的垂線并截取，連接，在中，，則，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得，繼而得，利用即即可判定；任務(wù)三：根據(jù)，則為鈍角三角形；當(dāng)銳角三角形的兩短邊長分別為3和5，求得第三邊；當(dāng)銳角三角形的短邊長為3，長邊長為5，求得第三邊，即可知第三條邊長m的取值范圍．【詳解】解：任務(wù)一：<；任務(wù)二：>，理由如下：過點(diǎn)A作的垂線并截取，連接，如圖3，在中，，則，∵，∴，∵，∴，∴在中，即即；任務(wù)三：∵∴為鈍角三角形，當(dāng)銳角三角形的兩短邊長分別為3和5，則第三邊小于；當(dāng)銳角三角形的短邊長為3，長邊長為5，則第三邊大于；則第三條邊長m的取值范圍是，故答案為：．45．（23-24八年級下·湖北孝感·期中）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．(1)你所知道的特殊四邊形中，是勾股四邊形有__________（一個(gè)即可）(2)如圖（1），請你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，，為勾股邊，且對角線相等的所有勾股四邊形．(3)如圖（2），是正三角形，，且．求證：，即四邊形ABCD是勾股四邊形．【答案】(1)正方形（答案不唯一）(2)見解析(3)見解析【分析】（1）正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，即可求解，（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出對角線的長度，得到，再根據(jù)情況畫出即可；（3）如圖②，連接EC，由可得，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕晒垂啥ɡ砜傻?，所以，即四邊形ABCD是勾股四邊形．本題考查勾股定理、旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于理解勾股四邊形的概念，充分利用其特點(diǎn)解題．【詳解】（1）解：正方形相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，故答案為：正方形，（2）解：由題意得：∴，即要使，∴點(diǎn)都滿足條件，如圖即為所求，（3）解：如圖②，連接，∵是正三角形，∴，，∵，∴，即：，又∵，∴，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，即四邊形是勾股四邊形．46．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，．(1)求證：；(2)當(dāng)，，時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)；【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計(jì)算及解二元一次方程組，熟練掌握和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）在和中，分別運(yùn)用勾股定理可得，，利用邊相等，聯(lián)立兩式移項(xiàng)即得證．（2）根據(jù)第一問的結(jié)論，可求出的值，利用平方差公式，結(jié)合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．【詳解】（1）證明：，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，移項(xiàng)得：．故．（2）解：，，，，，即，，，解得，，．47．（24-25八年級下·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)求證：.(2)若，，，直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂線的性質(zhì)；（1）延長至使，連接，證明，從而得，，由得為中垂線，故，在中根據(jù)勾股定理即可的結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，，在中利用勾股定理即可解決．【詳解】（1）證明：作，交延長線于，連接，，，，，在和中，，，，，，，，，，（2）解：設(shè)，，，，則，，，，即：，由（1）知：，，，，，，，即：，解得：，即：．48．（23-24八年級上·陜西西安·期中）如圖，在中，已知，是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的周長及的長．【答案】(1)見解析(2)的周長為，【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)．（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在利用勾股定理建立線段的平方關(guān)系，再等量代換即可求證；（2）在中，由勾股定理得的長度，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴是線段的垂直平分線，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）解：∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周長為.∵∴，即，解得：．【經(jīng)典例題七勾股定理中的最值問題】49．（2025·湖南湘潭·模擬預(yù)測）已知均為正數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造圖形，作于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交延長線于點(diǎn)E，，，，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)勾股定理得出，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求出結(jié)果即可．【詳解】解：構(gòu)圖如下，其中于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交延長線于點(diǎn)E，，，，，，則四邊形是矩形，，，由勾股定理可知：，，∵，∴的最小值為，在中，，由勾股定理，得，∴的最小值是．故選A．50．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，邊長為的等邊中，是上中線，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．3【答案】B【分析】本題考查了軸對稱最短問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會(huì)利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)造輔助線并證明全等三角形是解題的關(guān)鍵．作交于，連接、、，由可得是等邊三角形，再通過全等的判定方法得到，進(jìn)而把周長轉(zhuǎn)化為的周長，再利用兩點(diǎn)之間線段最短算得周長的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作交于，連接、、，等邊，，又，，是等邊三角形，．等邊，是上中線，垂直平分，，又點(diǎn)在上，．等邊，，，，，，周長周長，周長周長，當(dāng)最小時(shí)，周長有最小值，連接，，是上中線，又等邊，，在中，，，，，的最小值為，周長最小值為．故選：B．51．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀理解：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)常在解決最值問題時(shí)起到化腐朽為神奇的作用．例題：求代數(shù)式的最小值．解決問題時(shí)，我們可以如圖構(gòu)造圖形，中，，，，則，延長至點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作的垂線，在下方的垂線上截取，連接，，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，最小值即為線段的長，最后過點(diǎn)E作的垂線，垂足為點(diǎn)F，利用勾股定理即可求出的長為15，進(jìn)而解決問題．類比如上方法，求的最小值為．【答案】10【分析】借鑒已知解題方法，構(gòu)造，和，令，，，，則長即為的最小值．本題考查矩形的性質(zhì)，線段的最值和勾股定理，利用類比思想，借鑒題目的求解方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖構(gòu)造圖形，中，，，，則，延長至點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作的垂線，在下方的垂線上截取，連接，，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，最小值即為線段的長，過點(diǎn)E作的垂線，垂足為點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為10．故答案為：10．52．（24-25七年級下·福建泉州·期末）如圖，在中，，平分，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值為．【答案】8【分析】本題考查軸對稱-最短路線問題，解答中涉及兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，能夠根據(jù)相關(guān)知識得到的最小值為的長是解題的關(guān)鍵．在上取一點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，可推出的最小值為的長，再根據(jù)面積求出的長即可解決問題．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，∵平分，∴點(diǎn)與點(diǎn)E關(guān)于直線對稱，∴，∴，即的最小值為的長，∵，，∴，解得，∴的最小值為8，故答案為：8．53．（24-25八年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，鐵路上、兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距千米，、為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為、，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為___________千米（直接填空）；（2）在（1）的條件下，要在上建造一個(gè)供應(yīng)站，使得，求的距離；（3）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式（）的最小值為___________．【答案】（1）；（2）千米；（3）20【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意根據(jù)勾股定理求出的長即可；（2）在中，，在中，得出方程求解即可；（3）先作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則的長就是代數(shù)式的最小值，再結(jié)合勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，千米，千米，千米，千米，兩個(gè)村莊的距離為千米，故答案為：；（2）解：由題意可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖，連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，設(shè)千米，則千米，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，，，解得：，即：千米；（3）解：如圖，，先作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，設(shè)，則就是代數(shù)式的最小值，代數(shù)式的幾何意義是線段上一點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和，而它的最小值就是點(diǎn)的對稱點(diǎn)和點(diǎn)的連線，與線段的交點(diǎn)就是它取最小值時(shí)的點(diǎn)，由軸對稱的性質(zhì)可得：，，，，四邊形是矩形，，，從而構(gòu)造出了以為一條直角邊，和的和為另一條直角邊的直角三角形，斜邊就是代數(shù)式的最小值，代數(shù)式的最小值為：．故答案為:2054．（24-25八年級上·吉林·期末）背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為、、．顯然，，．請用含、、的最簡代數(shù)式分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：__________________．則它們滿足的關(guān)系式經(jīng)過化簡后為______，即可得到勾股定理．知識運(yùn)用：如圖2所示，表示一條鐵路，、是兩個(gè)城市，它們到鐵路所在直線的垂直距離分別為千米，千米，且千米，現(xiàn)要在之間設(shè)一個(gè)中轉(zhuǎn)站．求出應(yīng)建在離點(diǎn)多少千米處，才能使它到、兩個(gè)城市的距離相等．知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，直接寫出代數(shù)式的最小值．【答案】小試牛刀：；，；；知識運(yùn)用：點(diǎn)應(yīng)建在離點(diǎn)千米處，才能使它到、兩個(gè)城市的距離相等；知識遷移：代數(shù)式的最小值為．【分析】本題考查勾股定理，軸對稱-最短路徑的知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，軸對稱-最短路徑的幾何意義，進(jìn)行解答，即可．小試牛刀：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積，表示出梯形、四邊形、的面積，即可；知識運(yùn)用：連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，，設(shè)，根據(jù)勾股定理，可得；，解出，即可；知識遷移：根據(jù)軸對稱-最短路徑，進(jìn)行解答，即可．【詳解】解：小試牛刀：連接，設(shè)和的交點(diǎn)為點(diǎn)，∵，∴，，，∴，由圖可得，；；∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：；，；；知識運(yùn)用：連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∵千米，千米，且千米，∴設(shè)，∴，∴；，∴，解得：，∴點(diǎn)應(yīng)建在離點(diǎn)千米處，才能使它到、兩個(gè)城市的距離相等；知識遷移：如圖，先作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，設(shè)，，，，∴，，，∴，，∴代數(shù)式的最小值為，∴，∴代數(shù)式的最小值為．55．（23-24八年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．(1)【思想應(yīng)用】已知m，n均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，，，，，，點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，連接CE，DE，設(shè)，．①用含m的代數(shù)式表示，用含n的代數(shù)式表示；②據(jù)此寫出的最小值．(2)【類比應(yīng)用】根據(jù)上述的方法，代數(shù)式的最小值是．(3)【拓展應(yīng)用】已知a，b，c為正數(shù)，且，試運(yùn)用構(gòu)圖法，寫出的最小值．【答案】(1)①，；②(2)20(3)【分析】本題考查了勾股定理得應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）①由勾股定理計(jì)算即可得解；②連接，由①得：，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號），作交的延長線于，則四邊形為長方形，得出，，再由勾股定理計(jì)算即可得解；（2）設(shè)，，，，則，由勾股定理可得，，從而得出，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號），作交的延長線于，則，則四邊形為長方形，得出，，再由勾股定理計(jì)算即可得解；（3）畫出邊長為1的正方形，在邊上截取出長為，．的線段，則，，，，從而得出，利用兩點(diǎn)之間線段最短可知：（當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線時(shí)取等號），再由勾股定理計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：①在中，，在中，，故答案為：，；②連接，由①得：，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號），作交的延長線于，如圖1，則，∴四邊形為長方形，，，在中，，的最小值為，即的最小值為；（2）解：如圖，設(shè)，，，，則，在中，，在中，；，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號），作交的延長線于，則，∴四邊形為長方形，，，在中，，的最小值為20，即的最小值為20．（3）解：畫出邊長為1的正方形，在邊上截取出長為，．的線段，作圖如下：則，，，，，利用兩點(diǎn)之間線段最短可知：（當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線時(shí)取等號），，的最小值為，的最小值為．56．（24-25八年級上·四川成都·期中）（1）問題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如，“求代數(shù)式的最小值”．小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)可看作兩直角邊分別為和2的直角三角形斜邊長，可看作兩直角邊分別是和4的直角三角形的斜邊長．于是構(gòu)造出如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為求線段的長，進(jìn)而求得的最小值是______．（2）類比計(jì)算：已知均為正數(shù)，且．求的最小值．（3）遷移問題：已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，直接寫出的最小值．【答案】（1）10（2）17（3）【分析】本題主要考查了勾股定理，線段和最值問題，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意，利用勾股定理求解．（1）先根據(jù)題意利用勾股定理求出，，則，要想的值最小，則的值最小，即當(dāng)A、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，由此利用勾股定理求出的值即可；（2）如圖所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可；（3）過點(diǎn)A作y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖所示，，在中，，在中，，∴，∴要想的值最小，則的值最小，∴當(dāng)A、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，過點(diǎn)B作交延長線于F，∵，∴由長方形的性質(zhì)得，，∴，∴，∴的最小值為10，故答案為：10；（2）如圖所示，，在中，，在中，，∴，∴要想的值最小，則的值最小，∴當(dāng)A、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，過點(diǎn)B作交延長線于F，∵，∴由長方形的性質(zhì)得，，∴，∴，∴的最小值為17，（3）過點(diǎn)A作y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，如圖，由對稱性知，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長，∵，∴，又，∴，∴的最小值為．【經(jīng)典例題八勾股定理中的旋轉(zhuǎn)模型】57．（24-25八年級下·廣東深圳·期中）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩條邊分別交，的延長線于點(diǎn)，，連接，當(dāng)，時(shí)，的長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)．首先連接，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，，根據(jù)勾股定理可得．【詳解】解：如下圖所示，連接，在中，，為的中點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，，，，在中，．故答案為：．58．（23-24八年級下·遼寧·階段練習(xí)）如圖，線段的長為4，是等腰直角三角形，，，的長為，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為．【答案】或【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；①當(dāng)在線段上方，點(diǎn)在線段上時(shí)，首先求出，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)計(jì)算即可；②當(dāng)在線段下方，點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，由①知，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)在線段上方，點(diǎn)在線段上時(shí)，∵是等腰直角三角形，，，，∴，∵，∴在中，根據(jù)勾股定理得：，∴；②如圖2，當(dāng)在線段下方，點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，由①知，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴；故答案為：或．59．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，是等腰三角形，且，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長.【答案】/【分析】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識，分兩種情況討論，結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵，∴，又∵是等邊三角形，,∴，∴，∴，②如圖：，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，，，∴，，，∵，，∴,∴，又∵,∴,∵是等邊三角形，∴,∴,∴,∴,∴,又∵,∴,又∴,,∴,∴．故答案為：或60．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知和為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，，D為的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)J，分別交于G，H兩點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，寫出除和全等外的其他全等三角形：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，求的度數(shù)．(3)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)所在的直線與邊垂直時(shí)，請直接寫出的值．【答案】(1)，；(2)；(3)的值為或．【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）先得到點(diǎn)四點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出答案；（2）分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，證明，得到，設(shè)，則，進(jìn)一步得到為等腰直角三角形，則，即可求解；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵和為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∴，，∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)共線，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，故答案為：，；（2）解：分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，如圖：

∵和為兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∴，，，∵D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖：

∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在中，，∴，在中，，②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖：

∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在中，，∴，在中，，綜上，的值為或．61．（24-25八年級下·山西運(yùn)城·期中）綜合與探究問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們用一副三角板進(jìn)行操作探究性活動(dòng)．如圖1，在中，，，在中，，，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．初步分析：（1）善思小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，請你證明這一結(jié)論．深入探究：（2）樂學(xué)小組的同學(xué)將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使經(jīng)過點(diǎn)，得到圖2，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（3）將圖2中的沿射線方向平移得到，如圖3，此時(shí)恰好經(jīng)過點(diǎn)．若，，請直接寫出平移的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）連接，由題意可得垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由等邊對等角得出，求出，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可得證；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得，，證明為等邊三角形，得出，即可得解；（3）由直角三角形的性質(zhì)可得，，由（2）可得，作交于，作于，由平移的性質(zhì)可得，，，，證明四邊形為平行四邊形，，得出，從而可得，設(shè)，則，，結(jié)合，求出，即可得解．【詳解】解：（1）如圖，連接，，∵，是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵在中，，，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（3）∵在中，，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，由（2）可得，如圖，作交于，作于，，由平移的性質(zhì)可得，，，，∵，∴四邊形為平行四邊形，，∴，∴，∵，，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴平移的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．62．（24-25八年級下·河南平頂山·期末）（1）【問題提出】如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)D在內(nèi)部，連接．①求證：；②若，求證：；（2）【問題探究】如圖2，和是等邊三角形，點(diǎn)D在外部，若仍然成立，求的度數(shù)；（3）【問題拓展】如圖3，和△ADE都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在外部，連接，若，，，請直接寫出的長．【答案】（1）①見解析，見解析；（2）；（3）4【分析】（1）①由和都是等邊三角形，可得，，，即可證，故；②由是等邊三角形，可得，，又，可得，有，從而；（2）證明，可得，根據(jù)，有，故，即得的度數(shù)為；（3）過點(diǎn)A作，且，連接，，證明，得，由，，知，即得，從而，可得．【詳解】（1）證明：①∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴；②∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，由①知