專題06勾股定理易錯必刷題型專訓(xùn)（72題24個考點）【易錯必刷一勾股定理的證明】1．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）下列選項中（圖中三角形都是直角三角形），不能用來驗證勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的證明，對三角形和正方形面積公式的熟練掌握和運用是解題的關(guān)鍵．利用面積法證明勾股定理即可解決問題．【詳解】解：A、中間小正方形的面積；化簡得，可以證明勾股定理，本選項不符合題意．B、不能證明勾股定理，本選項符合題意．C、利用A中結(jié)論，本選項不符合題意．D、中間小正方形的面積；化簡得，可以證明勾股定理，本選項不符合題意，故選：B．2．（24-25八年級下·山西大同·期中）勾股定理在人們的生活中應(yīng)用廣泛，它的證明也是多種多樣．下列各式能用如圖所示的圖形面積驗證勾股定理的等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．根據(jù)大正方形的面積等于四個直角三角形面積的和加上小正方形的面積計算．【詳解】解：大正方形的邊長為，面積為，小正方形的邊長為，面積為，四個直角三角形的面積都為，所以，故選：A．3．（24-25七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，用4個完全相同的直角三角形能圍成一個大正方形和一個較小的正方形（問空白部分），其中較小正方形的面積可以用兩個不同的代數(shù)式表示，進而得到一個等式.（說明：直角三角形的兩條直角邊分別為、，斜邊為）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）代數(shù)式1：_________.代數(shù)式2：________；（2）這個等式為（直接寫化簡后的結(jié)果），用文字語言表達為_________；【學(xué)以致用】（3）在直角三角形中，，，.求的長.【答案】（1），；（2），在直角三角形中，兩直角邊的平分和等于斜邊的平方；（3）【分析】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理，完全平方公式的幾何應(yīng)用，能正確列代數(shù)式表示各個部分的體積和面積是解此題的關(guān)鍵．（1）求出圖形的各個部分的面積，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；（3）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）代數(shù)式1：，代數(shù)式2：，故答案為：，；（2）由（1）知，用文字語言表達為在直角三角形中，兩直角邊的平分和等于斜邊的平方，故答案為：；在直角三角形中，兩直角邊的平分和等于斜邊的平方；（3）在直角三角形ABC中，，，，．【易錯必刷二以弦圖為背景的計算題】4．（24-25八年級下·遼寧大連·期末）如圖，我國漢代趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時給出的由四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”．若一個直角三角形兩直角邊和為17，小正方形的面積為49，則圖中大正方形的邊長為（

）A．17 B．15 C．13 D．10【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理，二次根式的性質(zhì)．由小正方形的面積為49得到小正方形的邊長為7，由此得到直角三角形兩直角邊分別為5和12，，根據(jù)勾股定理求出斜邊長．【詳解】解：∵小正方形的面積為49，∴小正方形的邊長為7，設(shè)直角三角形的短直角邊長為，∴直角三角形的長直角邊為：，∵直角三角形兩直角邊和為17，∴，解得，∴直角三角形兩直角邊分別為5和12，∴直角三角形的斜邊，即大正方形的邊長為13，故選：C．5．（24-25八年級下·河北邢臺·期末）如圖1，在趙爽弦圖中連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為9，短直角邊為4，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（

）A．56 B．60 C．65 D．75【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理中的趙爽弦圖模型、三角形和正方形面積公式，將圖中陰影部分的面積分割成一個正方形的面積加上四個全等三角形的面積是解題關(guān)鍵．如解答圖，易得，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，，則中間小正方形的面積為，小正方形的外陰影部分的，陰影部分的面積為．故選：C．6．（2025·安徽蕪湖·三模）清代數(shù)學(xué)家梅文鼎先生在《梅氏叢書輯要》中運用“出入相補”原理證明了勾股定理如圖，已知，四邊形，，均為正方形若四邊形，的面積分別為和，則的長為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的證明．根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形，的面積分別為和，∴，，∵，∴，故答案為：．【易錯必刷三勾股數(shù)問題】7．（24-25八年級下·河南焦作·期中）能構(gòu)成一個直角三角形三邊長的一組正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你寫出一組都是兩位數(shù)的勾股數(shù)：．【答案】，，（答案不唯一）【分析】本題考查了勾股數(shù)．滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)解答即可．【詳解】解：∵，∴，，是一組勾股數(shù)；故答案為：，，．8．（24-25八年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（填序號）．①，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41．【答案】④⑤/⑤④【分析】本題考查勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義．勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，由此即可判斷．【詳解】解：①不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；②，故不是勾股數(shù)；③，故不是勾股數(shù)；④，故是勾股數(shù)；⑤，故是勾股數(shù)，故答案為：④⑤．9．（24-25八年級下·湖北孝感·期末）勾股數(shù)，又名畢達哥拉斯三元數(shù)，是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)．下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)．再逐項判斷即可．【詳解】解：A．，，，三個數(shù)均為小數(shù)，不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義．B．，不滿足勾股定理．C．，不滿足勾股定理．D．，滿足勾股定理且均為正整數(shù)．故選：D．【易錯必刷四以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】10．（23-24八年級上·廣東河源·階段練習(xí)）圖中數(shù)字表示對應(yīng)正方形的面積，則圖中正方形中邊長為的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用．勾股定理指的是在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．對于以直角三角形三邊為邊長的正方形，兩個較小正方形的面積之和等于較大正方形的面積．我們可以通過正方形面積求出邊長的平方，再根據(jù)勾股定理來判斷每個選項中字母所代表正方形的邊長是否為即可．【詳解】解：A、由圖可知兩個正方形面積分別為和，根據(jù)正方形面積等于邊長的平方，設(shè)字母所代表正方形的面積為．由勾股定理可得．那么所代表正方形的邊長為．故本選項不符合題意；B、由圖可知兩個正方形面積分別為和，設(shè)字母所代表正方形的面積為．根據(jù)勾股定理，所代表正方形的邊長為．故本選項不符合題意；C、由圖可知兩個正方形面積分別為和設(shè)字母所代表正方形的面積為．由勾股定理可得．因為，所以所代表正方形的邊長為．故本選項符合題意；D、由圖可知兩個正方形面積分別為和，設(shè)字母所代表正方形的面積為．根據(jù)勾股定理，所代表正方形的邊長為．故本選項不符合題意；故選：C．11．（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）如圖，在中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且，則的長為．【答案】4【分析】本題考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先求出，再由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)得：，∴，在中，由勾股定理得：，故答案為：4．12．（24-25八年級下·四川廣元·期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2025代勾股樹中所有正方形的面積為．【答案】2026【分析】本題主要考查勾股定理，由題目條件和所畫出來的圖形正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別計算出第一，第二，第三代勾股樹中所有正方形的面積，得出第代勾股樹中所有正方形的面積為進行分析計算．【詳解】解：由題意可知，第一代勾股樹中所有正方形的面積為；第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為……，則第代勾股樹中所有正方形的面積為，∴第2025代勾股樹中所有正方形的面積為．故答案為：2026．【易錯必刷五用勾股定理解三角形】13．（24-25八年級上·湖南湘西·階段練習(xí)）如圖，中，于H，則的長為（

）A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)可得答案.【詳解】解：在中，，根據(jù)勾股定理，得.∵，∴，解得.故選：A.14．（24-25八年級下·吉林長春·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點、，連結(jié)，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，故，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理求出x的值，利用面積公式計算即可．【詳解】解：垂直平分，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，則的面積，故答案為：．15．（24-25八年級下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點P在射線上．(1)______，邊上的高______；(2)當(dāng)為直角三角形時，求的長．【答案】(1)4；(2)的長為4或【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)等面積法求出h；分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況求解．【詳解】（1）解：∵∴由勾股定理得，，，，故答案為：4；；（2）解：當(dāng)時，此時點重合，∴，當(dāng)時，如圖：設(shè)，則，，則根據(jù)勾股定理得，，即，解得，即，綜上所述，的長為4或【易錯必刷六勾股定理與網(wǎng)格問題】16．（24-25八年級上·廣東揭陽·期中）如圖，的頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，于點D，則的長為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理以及三角形面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，再根據(jù)割補法求出的面積，由三角形面積求出即可．【詳解】解：由勾股定理得：，，∵，∴的面積，∴，故選：A．17．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，于點D，則BD的長為．

【答案】3【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據(jù)題意求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：由圖形可知，，邊上的高為3，的面積，由勾股定理得，，則，解得，，故答案為：318．（24-25八年級下·江西九江·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中，過點B作的高線．(2)在圖2中，過點C作的高線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查勾股定理與網(wǎng)格問題、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理可得，取的中點D，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可知是的高線；（2）構(gòu)造，與交點即為，可得高線．【詳解】（1）解：如圖，取的中點，連接，設(shè)正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則，，∴，又∵點是的中點，∴，∴的高線即為所求；（2）解：如圖，取格點，，，連接交于點，由圖可得，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的高線即為所求．【易錯必刷七勾股定理與折疊問題】19．（24-25九年級上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將直角三角形紙片沿折疊，使點落在延長線上的點處．若，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理．由勾股定理求出，設(shè)，則，根據(jù)求出x得到的長，利用三角形面積公式求出答案．【詳解】解：∵，∴，由折疊得，，設(shè)，則，在中，，，∵，∴，解得，∴，∴圖中陰影部分的面積是，故選：B．20．（24-25八年級下·山東德州·期末）如圖，把長方形沿直線向上折疊，使點落在的位置上，已知，，則．【答案】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．先由長方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證得，再設(shè)，則，由勾股定理得出方程，即可得出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故答案為：．21．（24-25八年級下·山東德州·期中）已知，如圖折疊長方形的一邊，使點落在邊上的點處，如，．求的長．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理在翻折中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理等幾何知識來分析、判斷、推理或解答．首先根據(jù)勾股定理求出的長，借助翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及勾股定理列式求出的長即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形為長方形，∴，，，∴，由折疊得：，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴．【易錯必刷八利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】22．（24-25八年級下·河南信陽·期末）在中，斜邊，則的值為（

）A．12 B．22 C．32 D．無法計算【答案】C【分析】本題考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．【詳解】解：∵在中，斜邊，∴，∴，故選：C．23．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，四邊形的對角線，相交于點．若，則．【答案】40【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理得，進而可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：40．24．（24-25八年級上·遼寧朝陽·期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點睛】此題考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2．【易錯必刷九用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】25．（24-25八年級下·天津西青·期末）如圖，要在門上方的墻上點處裝一個由傳感器控制的燈，點離地面，任何東西只要移至該燈及內(nèi)范圍，燈就自動發(fā)光．已知小軍身高，若他走到處燈剛好發(fā)光，則他離墻的水平距離是（

）A． B． C． D．2m【答案】B【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出圖形，正確構(gòu)造直角三角形、根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：當(dāng)人走到點的位置，頭頂與點距離是時，燈剛好自動發(fā)光，作于，

則，在中，，答：身高的學(xué)生要走到離墻的地方燈剛好發(fā)光．故選：B．26．（24-25八年級上·山西晉中·期末）《勾股》中記載了這樣的一個問題：“今天有開門去闊一尺，不合二寸，問門廣幾何．”意思是：如圖，推開兩扇門和，門邊緣、兩點到門檻的距離是1尺（即、兩點到線段的距離為1尺），兩扇門的間隙為2寸，則門寬是寸（1尺寸）．

【答案】101【分析】本題考查勾股定理，作于點E，設(shè)寸，根據(jù)題意得出寸，寸，再結(jié)合勾股定理算出，即可解題．【詳解】解：如圖，過點D作于點E．

設(shè)寸，則寸，寸，寸．在中，，即，解得寸，寸，故答案為：101．27．（24-25八年級下·遼寧大連·期末）有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離）時，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長度．【答案】5米【分析】本題主要考查勾股定理，根據(jù)題意，四邊形是矩形，設(shè)，則，，在中，，，代入計算即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，設(shè)，則，，在中，，，∴，解得，答：繩索的長度米．【易錯必刷十判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】28．（24-25八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）的三條邊分別為，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和辨析能力．根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A、B即可；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷C、D即可．【詳解】解：A、，，不是直角三角形，故本選項符合題意；B、∵，是直角三角形，故本選項不符合題意；C、，，，，，是直角三角形，故本選項不符合題意；D、，，，，即是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：A．29．（24-25八年級下·遼寧葫蘆島·期中）在中，，如果滿足，則的形狀是．【答案】直角三角形【分析】本題考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．由，推出，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．【詳解】解：，，即，是直角三角形．故答案為：直角三角形．30．（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在中，，是的垂直平分線，分別交、于點E、D．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先證明直角，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段，根據(jù)勾股定理列方程求解．（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；（2）連接，根據(jù)是的垂直平分線，得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，，∴∴∴是直角三角形；（2）解：連接，∵是的垂直平分線，∴，∴設(shè)，則，∵在中，，∴，∴，∴．【易錯必刷十一圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點】31．（23-24八年級下·廣西玉林·期末）如圖，在方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵，當(dāng)是斜邊時有四個，當(dāng)是直角邊時有2個．【詳解】解：當(dāng)是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D、E、H四個；當(dāng)是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；當(dāng)是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G．因而共有6個滿足條件的頂點．故選C．32．（24-25八年級下·浙江臺州·期中）在如圖所示的的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足為以為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對應(yīng)點即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個，故選D．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．33．（24-25八年級上·浙江·期末）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當(dāng)s時，是等腰三角形；當(dāng)s時，是直角三角形．【答案】或54或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進行討論：點在上，或點在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進行討論：，或，據(jù)此進行計算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．【易錯必刷十二利用勾股定理的逆定理求解】34．（24-25八年級下·云南昆明·期末）如圖，在中，，，，借助尺規(guī)在上確定一點P，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形，再作于H，由角平分線的性質(zhì)可得出，設(shè)，再由即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，是直角三角形，作于H，由題意，平分，，，，設(shè)，，，，，，故選：C．35．（24-25八年級下·四川廣安·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．連接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∵，，∴，∵∴，∴是直角三角形，，∴．故選：D．36．（24-25八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，，，點在邊上，且，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關(guān)鍵．（1）在直角中利用勾股定理得，進而求得，在中，勾股定理即可求解．（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：，是直角三角形，．．∴在中，（2）是直角三角形，理由如下：∵，，，是直角三角形，是直角．【易錯必刷十三勾股定理逆定理的實際應(yīng)用】37．（24-25八年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地（如圖所示），為了綠化環(huán)境，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，．求出空地的面積．【答案】【分析】此題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用．直接利用勾股定理可求得，再用勾股定理的逆定理得出，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，在中，，，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴．38．（24-25八年級下·云南昆明·期末）在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，這兩個取水點之間的距離為2.1千米，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．求原來的路線的長．【答案】原來的路線的長為千米．【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的應(yīng)用，先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形．再得出是直角三角形．最后根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：在中，千米，千米，千米，，．是直角三角形．、、在同一條直線上是直角三角形．，，這兩個取水點間距離千米，千米．千米在中，千米，千米由勾股定理得（千米）．答：原來的路線的長為千米39．（24-25八年級下·貴州黔西·期末）在春天來臨之際，八（1）班和八（2）班的同學(xué)計劃在學(xué)校勞動實踐基地種植蔬菜；如圖，點C是自來水管的位置，點A和點B分別表示八（1）班和八（2）班實踐基地的位置，兩處相距3米，兩處相距4米，兩處相距5米；為了更好的使用自來水灌溉，八（1）班和八（2）班在圖紙上設(shè)計了兩種水管鋪設(shè)方案：

八（1）班方案：沿線段鋪設(shè)2段水管；八（2）班方案：過點C作于點D，沿線段鋪設(shè)3段水管；(1)求證：；(2)從節(jié)約水管的角度考慮，你會選擇哪個班的鋪設(shè)方案？為什么？【答案】(1)見解析(2)選用八（1）班方案，理由見解析【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，等面積法求線段的長度等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形．（1）利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（2）利用等面積法求出線段的長度，分別將兩個方案所需水管長度求出，然后進行比較選擇即可．【詳解】（1）證明：,，∴，∴為直角三角形，∴；（2）解：選用八（1）班方案，理由如下：方案一所需水管長度為：（米）；方案二所需水管長度如下：由（1）得，且，由等面積法可得，（米），（米）；∵，∴方案一所用的水管少，故選用八（1）班方案．【易錯必刷十四梯子滑落高度】40．（24-25八年級下·重慶合川·期末）如圖，一架消防梯的長為25米，斜靠在豎直的墻面上，消防梯底端A距墻面的水平距離為7米．(1)求消防梯頂端B離地面的豎直高度為多少米？(2)若消防梯頂端B沿墻面豎直向下滑動了4米，試求其底端A在水平方向滑動了多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，米，米，，據(jù)此利用勾股定理求出的長即可得到答案；（2）由題意得，米，米，據(jù)此利用勾股定理求出的長，進而求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，米，米，，∴米，答：消防梯頂端B離地面的豎直高度為米；（2）解：由題意得，米，米，∴米，∴米，答：底端A在水平方向滑動了米．41．（24-25八年級下·貴州安順·期末）如圖1，某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人．如圖2，云梯最多能伸長到（即），消防車高，救人時云梯伸長至最長，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？（延長交于點，，點在上，的長即為消防車的高）【答案】消防車從處向著火的樓房靠近的距離為13米．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．在中，根據(jù)勾股定理得到和，于是得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，在中，，，，，．答：消防車從處向著火的樓房靠近的距離為13米．42．（24-25八年級下·新疆伊犁·期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用．請你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問題：一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？【答案】0.4米【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出的長，根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解在中，，在中，，．答：梯子底端向外移了0.4米【易錯必刷十五旗桿高度】43．（24-25八年級下·浙江臺州·期末）數(shù)學(xué)興趣小組測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)發(fā)現(xiàn)有一根系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出（如圖1），將繩子拉緊，使繩子下端點C恰好接觸到地面（如圖2）．現(xiàn)測得點C到旗桿的距離為，求旗桿的高度．【答案】旗軒的高度為【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．設(shè)旗桿的高度為，則長為，根據(jù)勾股定理得出，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為，則長為，在中，，，∴，解得．答：旗軒的高度為．44．（24-25八年級下·湖北黃岡·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實踐活動，記錄如下：活動項目測量風(fēng)箏放飛的垂直高度測量示意圖測量數(shù)據(jù)記錄長度①測得水平距離的長為15米．②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為17米．③小明牽線放風(fēng)箏的手到地面的垂直距離為1.8米．解決問題任務(wù)一如上圖，求風(fēng)箏離地面的垂直高度．任務(wù)二如果小明想要風(fēng)箏沿方向再上升12米，長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米的線？【答案】任務(wù)一：米，任務(wù)二：8米．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可；（2）風(fēng)箏沿方向再上升12米，則，由勾股定理得，，則他應(yīng)該再放出米線，計算求解即可．【詳解】解：任務(wù)一：由勾股定理得，，∴（米），∴線段的長為米．任務(wù)二：風(fēng)箏沿方向再上升12米，則，由勾股定理得，，∵，∴他應(yīng)該再放出8米線．45．（24-25八年級下·河北廊坊·期中）【問題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測量學(xué)校旗桿的高度．【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．【實踐探究】設(shè)計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點，再測量繩子底端與旗桿根部點之間的距離，測得距離為．【解決問題】設(shè)旗桿的高度為，通過計算即可求得旗桿的高度．(1)用含的式子表示為_____；(2)請你求出旗桿的高度．【答案】(1)(2)12米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．（1）根據(jù)“測得多出部分繩子的長度是1米”進行作答即可；（2）因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【詳解】（1）解：∵設(shè)旗桿的高度為，先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是∴米．故答案為：；（2）解：在直角中，由勾股定理得：，即．解得．答：旗桿的高度為12米．【易錯必刷十六小鳥飛行距離】46．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，樹根下有一個蛇洞，樹高，樹頂有一只鷹，它看見一條蛇迅速向洞口爬去，與洞口的距離還有3倍樹高時，鷹向蛇撲過去．如果鷹與蛇的速度相等，鷹與蛇的路線都是直線段，請求出鷹向何處撲擊才能恰好抓到蛇．【答案】鷹向離樹的地方撲擊才能恰好抓到蛇【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的長為，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】如答圖，設(shè)點D處為樹頂，鷹向點B處撲去才能正好抓住蛇，由題意，得，設(shè)的長為，則，解得．答：鷹向離樹的地方撲擊才能恰好抓到蛇．47．（23-24八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有兩棵樹，分別記為，．其中一棵樹高12米，另一棵樹高6米，兩棵樹相距8米．若一只小鳥從樹梢A飛到樹梢C，求小鳥飛行的最短距離．【答案】小鳥飛行的最短路程為10米【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實問題建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)知識進行求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，則四邊形是長方形，連接．∵米，米，米，∴米，米，米，在中，(米)，故小鳥飛行的最短路程為10米．48．（2022八年級上·江蘇·競賽）如圖，有兩只猴子在一棵樹CD高6m的點B處，他們都要到A處的池塘去喝水，其中一只猴子沿樹爬下去到離樹12m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線越向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，這棵樹高有多少米？【答案】樹高為9米．【分析】由題意知，設(shè)米，則米，且在中，代入數(shù)據(jù)可求x的值，進一步計算即可求解．【詳解】解：由題意知，且米，米，設(shè)米，則米，在中：，即，解得，故樹高為米．答：樹高為9米．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，本題中找到的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【易錯必刷十七水中筷子問題】49．（24-25八年級下·廣東江門·期中）如圖，一根長的牙刷放置于底面半徑是，高為的圓柱水杯中，牙刷露在杯子外面的長度為，求．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理并讀懂題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出的值，進而即可得出答案．【詳解】解：如圖，在中，，根據(jù)勾股定理得．50．（23-24八年級下·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖，有一個水池，其底面是邊長為16尺的正方形，一根蘆葦生長在它的正中央，高出水面部分的長為2尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的，則這根蘆葦?shù)拈L是多少尺？【答案】這根蘆葦?shù)拈L是17尺．【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．如圖所示，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，根據(jù)題意得到尺，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【詳解】解：如圖所示，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，因為尺，所以尺在中，，解得：，∴尺．∴蘆葦長17尺．51．（24-25八年級上·山西太原·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一道問題，大意是：如圖，有一個水池，水面是一邊長為8尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請求出這根蘆葦?shù)拈L度．【答案】【分析】首先根據(jù)題意求出AC的長，設(shè)水池的深度為x尺，則這根蘆葦?shù)拈L度為（x＋1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程，再解即可．【詳解】解：∵水面是一邊長為8尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，∴AC=8÷2=4（尺）設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：，解得：x＝，則x＋1＝，答：蘆葦長尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【易錯必刷十八航海問題】52．（24-25八年級下·吉林·期末）如圖，貨輪在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔在它的南偏西方向，且與貨輪相距．同時，在它的南偏東方向又發(fā)現(xiàn)客輪，且與貨輪相距，求此時燈塔與客輪的距離．（：海里）【答案】此時燈塔與客輪的距離為．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．先求出，再由勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，得．在中，答：此時燈塔與客輪的距離為．53．（23-24八年級上·四川樂山·期末）如圖，甲乙兩船從港口P同時出發(fā)，甲船以16海里/小時的速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行．3小時后，甲船到達A島，乙船到達B島．若A、B兩島相距60海里，問：乙船的航速是多少？【答案】12海里/小時【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在圖形中找出直角三角形是解題的關(guān)鍵．計算得出，從而說明是直角三角形，再利用勾股定理求出的長，再求乙船的航速．【詳解】由題知，，海里，海里，由勾股定理得，海里，乙船的航速是海里/小時．54．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，兩艘輪船、同時離開港口，各自沿一固定方向航行，輪船每小時航行20海里，輪船每小時航行15海里，它們離開港口兩小時后相距50海里．已知輪船沿東北方向航行．（東北方向即北偏東方向）(1)請判斷輪船沿哪個方向航行，并說明理由；(2)若兩艘輪船航行的速度和方向都不變，再繼續(xù)航行2小時兩船相距多少海里？【答案】(1)輪船沿西北方向航行，見解析(2)100海里【分析】本題主要考查方位角，勾股定理及其逆定理的運用，理解方位角的含義，掌握勾股定理及其逆定理的運用是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，，運用勾股定理逆定理得到為直角三角形，即，則，由此即可求解；（2）根據(jù)題意，兩艘輪船速度和方向都不變繼續(xù)航行，，由勾股定理，，即，由此即可求解．【詳解】（1）解：輪船沿西北方向航行，理由：已知輪船每小時航行20海里，輪船每小時航行15海里，∴，，∵它們離開港口兩小時后相距50海里，即，∵，即，∴為直角三角形，即，∵由輪船沿東北方向航行，可知，∴，∴輪船沿西北方向航行．（2）解：根據(jù)題意，兩艘輪船速度和方向都不變繼續(xù)航行，，由（1）得為直角三角形，即，根據(jù)勾股定理，，，答：兩艘輪船航行的速度和方向都不變，再繼續(xù)航行2小時兩船相距100海里．【易錯必刷十八河寬】55．（24-25八年級下·吉林白城·期末）某人欲從一條河岸邊的點A，劃船垂直河岸橫渡一條河，到達河對岸岸邊的點B，由于水流的影響，實際上岸地點C離欲到達點B距離，已知他在水中實際劃了．（假設(shè)河兩岸互相平行，預(yù)計行走路線和實際行走路線均為直線）(1)畫出符合題意的圖形；(2)求該河流的寬度．【答案】(1)見解析(2)60米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示（2）解：由題意知，，，，在中，由勾股定理得答：該河流的寬度為60米．56．（24-25八年級下·山東濰坊·階段練習(xí)）小剛準(zhǔn)備測量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊遠的水底，竹竿高出水面，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為多少米？【答案】2米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫示意圖找出與所求邊長相關(guān)線段所構(gòu)成直角三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖，則，所以即為河水深度，，，是直角三角形，，，解得：，答：河水的深度為2米．57．（23-24八年級下·陜西渭南·期末）為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，走向綜合性、實踐性的課程教學(xué)變革，某中學(xué)推進項目式學(xué)習(xí)，組織八年級數(shù)學(xué)研學(xué)小組進行了“測量隧道長度”的項目式學(xué)習(xí)活動．項目主題測量隧道的長度測量工具測角儀、測距儀等測量示意圖

數(shù)據(jù)說明，米，米特別說明測量過程中注意保障人身安全！請你根據(jù)以上測量結(jié)果，計算隧道的長度．【答案】720米【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．根據(jù)題意證明為直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：，，為直角三角形．米，米，（米）．即隧道的長度為720米．【易錯必刷二十臺階上地毯長度】58．（24-25八年級下·湖南長沙·期末）樹人學(xué)校為防止雨天地滑，在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺階完全蓋住．已知樓梯臺階側(cè)面圖如圖所示，，，．(1)求的長；(2)若已知樓梯寬，每平方米地毯35元，需要花費多少錢地毯才能鋪滿所有臺階．（假設(shè)地毯在鋪的過程中沒有損耗）【答案】(1)的長為(2)需要花費686元地毯才能鋪滿所有臺階【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）由勾股定理列式計算即可；（2）由長方形面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，在中，由勾股定理得：，答：的長為；（2）解：地毯長為：，已知樓梯寬，每平方米地毯35元，∴地毯的面積為，∴需要花費（元），答：需要花費686元地毯才能鋪滿所有臺階．59．（24-25八年級下·全國·單元測試）如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側(cè)設(shè)有與坡面平行的護欄．小明量得每一級石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數(shù)得石階一共200級，若每一級石階的寬和高都一樣，且構(gòu)成直角，請你幫他們求護欄的長度．

【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出每一級石階的斜邊長，再乘以200即可求出護欄的長度．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，每一級石階的斜邊長為，．答：護欄的長度為．60．（23-24八年級上·山東棗莊·階段練習(xí)）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高、長、寬的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元？【答案】1020【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據(jù)勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，則地毯總長為，則地毯的總面積為（平方米），所以鋪完這個樓道至少需要（元）．故答案為：1020．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關(guān)鍵．【易錯必刷二十一汽車超速問題】61．（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀（點A）的正前方處（點C），過了后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．問這輛小汽車超速了嗎？【答案】超速了【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求出，然后求出汽車的速度即可作出判斷．【詳解】這輛小汽車超速了．在中，．由勾股定理得，，小汽車在城市道路上行駛速度不得超過，∴這輛小汽車超速了．62．（24-25八年級下·山西朔州·期中）為了方便游客在景區(qū)內(nèi)游玩，某景區(qū)開通了一種觀光電瓶車．景區(qū)規(guī)定，觀光電瓶車在景區(qū)道路上行駛的速度不得超過．在一條筆直的景區(qū)道路上，某一時刻觀光電瓶車剛好行駛到路邊測速儀處的正前方的處，過了后，測得觀光電瓶車與測速儀之間的距離為．這輛觀光電瓶車超速了嗎？【答案】這輛觀光電瓶車超速了【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理得，進而可得觀光電瓶車的速度為，即可判斷求解，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，根據(jù)勾股定理得，，∴觀光電瓶車的速度為，，這輛觀光電瓶車超速了．63．（24-25八年級上·河北邯鄲·期末）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：）【答案】這輛小汽車超速了【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出的長是解題關(guān)鍵．求小汽車是否超速，其實就是求的距離，直角三角形中，有斜邊的長，有直角邊的長，那么的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】解：在中，；根據(jù)勾股定理可得：，∴小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．【易錯必刷二十二臺風(fēng)影響問題】64．（24-25八年級下·山東濱州·期中）某建筑工地，在施工現(xiàn)場的處往北的處有一幢樓，西的處有一變電設(shè)施．(1)請按的比例尺，利用刻度尺以及尺規(guī)作圖的方法，準(zhǔn)確畫出（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)現(xiàn)施工需要在處進行一次爆破，為使道路不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)見解析(2)爆破影響面的半徑應(yīng)控制在小于范圍內(nèi)【分析】本題考查了比例尺的應(yīng)用，作圖-基本作圖，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）由，求出，，畫出即可；（2）作于點，求出，得到，得出，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，如圖，即為所求，（2）解∶如圖，作于點，，，，，，爆破影響面的半徑應(yīng)控制在小于范圍內(nèi)．65．（24-25八年級下·湖北黃石·階段練習(xí)）2024年9月第11號臺風(fēng)“摩羯”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響）．如圖，線段是臺風(fēng)中心從市移動到市的大致路線，是某個大型農(nóng)場，且．若之間相距之間相距．(1)判斷農(nóng)場是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由；(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為，則臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間有多長？【答案】(1)農(nóng)場會受到臺風(fēng)的影響，理由見解析；(2)小時．【分析】本題主要考查勾股定理的運用，正確作出輔助線，勾股定理的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，過作于，由勾股定理得到，由此即可求解；（2）如圖，臺風(fēng)從點開始影響該農(nóng)場，到點以后結(jié)束影響，連接，，由勾股定理得，，由此即可求解．【詳解】（1）解：農(nóng)場會受到臺風(fēng)的影響，理由如下：如圖，過作于，，，，的面積，，，，農(nóng)場會受到臺風(fēng)的影響；（2）解：如圖，臺風(fēng)從點開始影響該農(nóng)場，到點以后結(jié)束影響，連接，，，，，由勾股定理得，，臺風(fēng)中心的移動速度為，臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間是（小時）．66．（24-25八年級下·河南漯河·階段練習(xí)）某市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點行駛向點，已知點為一海港，當(dāng)時，點到，兩點的距離分別為和，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺風(fēng)的速度為，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)海港受臺風(fēng)影響，理由見解析(2)持續(xù)小時【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．（1）過點作，利用勾股定理求出，再利用等面積法得出的長，進而得出海港是否受臺風(fēng)影響；（3）假設(shè)當(dāng)，時，正好影響港口，利用勾股定理得出，，再得出的長，進而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】（1）解：海港受臺風(fēng)影響，理由如下：如圖，過點作，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港受臺風(fēng)影響；（2）解：如圖，假設(shè)當(dāng)，時，正好影響港口，∴，，∴，∵臺風(fēng)的速度為千米/小時，∴（小時