2/37專題2.3平方根知識點01平方根（1）定義:一般地，如果一個正數(shù)x的平方根等于a,即：那么數(shù)x就叫做a的平方根，記作，讀作“正負(fù)根號a”,（2）表示方法：一個數(shù)a（a≧0）的平方根記作(a≧0)，讀作根號a,“正負(fù)根號a”,（3）性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，是它本身，負(fù)數(shù)沒有平方根?！炯磳W(xué)即練1】用式子表示“9的平方根等于”正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】平方根概念理解【分析】本題考查了平方根，如果一個數(shù)x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根據(jù)平方根的定義和表示方法解答即可.【詳解】解：用式子表示“9的平方根等于”為；故選：D.【即學(xué)即練2】下列說法正確的是（

）A．是16的平方根 B．0沒有平方根C．25的平方根是5 D．【答案】A【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、求一個數(shù)的平方根、平方根概念理解【分析】本題主要考查的是算術(shù)平方根和平方根，掌握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因為，所以是16的平方根，該選項說法正確，符合題意；B．因為，所以的平方根是，該選項說法錯誤，不符合題意；C．因為，所以25的平方根是，而不只是，該選項說法錯誤，不符合題意；D．表示49的算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是非負(fù)的，因為，所以，而不是，該選項說法錯誤，不符合題意．故選：A．【即學(xué)即練3】求下列各數(shù)的平方根：(1)81；(2)；(3)1.69；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知識點】求一個數(shù)的平方根【分析】此題考查了求平方根．（1）根據(jù)平方根的定義進行解答即可；（2）根據(jù)平方根的定義進行解答即可；（3）根據(jù)平方根的定義進行解答即可；（4）根據(jù)平方根的定義進行解答即可；（5）根據(jù)平方根的定義進行解答即可；（6）根據(jù)平方根的定義進行解答即可．【詳解】（1）解：，∴81的平方根是．（2）∴的平方根是．（3），∴1.69的平方根是．（4）∴的平方根是．（5），的平方根是．（6）∴的平方根是．題型01平方根概念理解【典例1】下列哪個數(shù)沒有平方根（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了平方根的性質(zhì)，理解并掌握“負(fù)數(shù)沒有平方根”是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)平方根定義進行求解即可．【詳解】解：，，∵負(fù)數(shù)沒有平方根，∴沒有平方根．故選：B．【變式1】下列說法正確的是（

）A．的平方根是 B．的平方根是C．負(fù)數(shù)有個平方根 D．正數(shù)只有個平方根【答案】A【知識點】平方根概念理解【分析】本題考查了平方根，根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求解，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、的平方根是，該選項說法正確，符合題意；、的平方根是，該選項說法錯誤，不合題意；、負(fù)數(shù)沒有平方根，該選項說法錯誤，不合題意；、正數(shù)有個平方根，該選項說法錯誤，不合題意；故選：．【變式2】下列說法中，正確的是（

）A．的平方根是 B．的算術(shù)平方根是C．0的平方根與算術(shù)平方根都是0 D．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)【答案】C【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、求一個數(shù)的平方根、無理數(shù)【分析】本題考查了實數(shù)的相關(guān)概念，注意帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根．根據(jù)平方根、算術(shù)平方根及無理數(shù)的定義逐一判斷選項即可解答．【詳解】解：A、的平方根是，故該選項錯誤；B、的算術(shù)平方根是3，故該選項錯誤；C、0的平方根與算術(shù)平方根都是0，故該選項正確；D、帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù)，如，故該選項錯誤．故選C．題型02求一個數(shù)的平方根【典例2】的平方根是．【答案】【分析】本題考查求一個數(shù)的平方根，根據(jù)平方根的定義，進行求解即可．【詳解】解：的平方根是，故答案為：．【變式1】化簡：＝．【答案】±2【分析】根據(jù)平方根的定義即可解答．【詳解】±＝±2，故答案為：±2．【點睛】本題考查了平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根的定義．【變式2】16的平方根是；2的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可得．【詳解】解：16的平方根是，2的算術(shù)平方根是，故答案為：，．【點睛】本題考查了平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．題型03已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)【典例3】已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，則這個正數(shù)是．【答案】25【分析】本題考查了平方根，根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，求出a的值，從而得出這個正數(shù)的兩個平方根，即可得出這個正數(shù)，掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，解得：，∴一個正數(shù)的兩個不同的平方根為，∴這個正數(shù)為，故答案為：．【變式1】一個數(shù)的兩個平方根分別是與，則這個數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了平方根的定義．根據(jù)平方根的定義列方程求出a的值，即可求出原數(shù)．【詳解】解：∵一個數(shù)的兩個平方根分別是與，∴，解得：，∴這個數(shù)是，故答案為：．【變式2】若和是某正數(shù)m的兩個平方根，則這個正數(shù)m為．【答案】16【分析】本題主要考查了平方根的定義，一元一次方程的求解，由和是某正數(shù)m的兩個平方根得，求出a的值，進而求出m的值．【詳解】解：和是某正數(shù)m的兩個平方根，，解得：，，，故答案為：16．題型04求代數(shù)式的平方根【典例4】若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．則的平方根是．【答案】/3和/和3【分析】根據(jù)可得，即可得到的整數(shù)部分是9，小數(shù)部分是，即可求解．【詳解】解：∵，∴，,∴的整數(shù)部分是9，則，的小數(shù)部分是，則，∴，∴9的平方根為．故答案為：．【點睛】本題考查實數(shù)的估算、實數(shù)的運算、平方根的定義，掌握實數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】若|，則的平方根為．【答案】【分析】此題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性、平方根和算術(shù)平方根等知識，根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性得到，先求出，再求出的平方根即可．【詳解】解：因為，所以0，，解得，所以，所以的平方根為：故答案為：．【變式2】已知實數(shù)x，y滿足，則的平方根為．【答案】【分析】先利用被開方數(shù)有意義的條件求出x的值，代入后求y的值即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根為，故答案為：．【點睛】本題考查平方根問題，關(guān)鍵掌握被開方式有意義的條件，會解不等式，會利用不等式求值，會求代數(shù)式的值與平方根，要認(rèn)真閱讀試題，清楚內(nèi)容，了解要求，要有步驟地解決問題．題型05利用平方根解方程【典例5】求下列各式中的值．(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)求平方根的方法解方程即可；（2）根據(jù)求平方根的方法解方程即可．【詳解】（1）解：，解得：，；（2）解：或，解得，；【變式1】求x的值：【答案】或【分析】本題考查了利用平方根解方程；移項得，由平方根定義得，即可求解．【詳解】解：移項得：，則有，解得：或．【變式2】解方程：．【答案】或【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程．先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時開方，再解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或．題型06算術(shù)平方根與平方根綜合問題【典例6】已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；（2）根據(jù)平方根定義，求解即可．【詳解】（1）解：∵的平方根是，的算術(shù)平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．（2）解：當(dāng)a＝5，b＝4時，ab+5＝25，而25的平方根為，即ab+5的平方根是．【點睛】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義．【變式1】已知的平方根為，的算術(shù)平方根為．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【知識點】求一個數(shù)的平方根、已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)、求一個數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，根據(jù)題意正確列式是解題的關(guān)鍵．（1）由題得，求出，繼而得到，求出；（2）由得到，再根據(jù)平方根的定義即可得到答案．【詳解】（1）解：的平方根為，，；的算術(shù)平方根為，，；（2）解：，，的平方根為【變式2】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和．(1)求和的值；(2)若，求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)3【知識點】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)、求一個數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查平方根、算術(shù)平方根的非負(fù)性及立方根．（1）根據(jù)平方根的意義可直接列方程求解；（2）由絕對值、算術(shù)平方根、偶次冪的非負(fù)性可求出的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）依題意得：，解得：，；（2）∵∴，∴，，的算術(shù)平方根為3．題型07平方根的實際應(yīng)用【典例7】如圖，用兩個邊長為的小正方形拼成一個大的正方形．(1)大正方形的邊長為；(2)若沿此大正方形邊長的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為且面積為？【答案】(1)(2)不能，理由見解析【知識點】算術(shù)平方根的實際應(yīng)用、平方根的應(yīng)用【分析】本題考查了平方根的應(yīng)用、算術(shù)平方根的應(yīng)用，理解題意，正確列式計算是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意計算即可得解；（2）設(shè)長方形的長為，寬為，根據(jù)題意得出，求出，再結(jié)合題意判斷即可得解．【詳解】（1）解：由題意可得，大正方形的邊長為；（2）解：不能，理由如下：∵長方形紙片的長寬之比為，∴設(shè)長方形的長為，寬為，由題意可得：，解得：或（不符合題意，舍去），∴，∴不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為且面積為．【變式1】數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用個面積為的小正方形紙片剪拼成一個面積為的大正方形．下面是他們探究的部分結(jié)果：(1)如圖1，當(dāng)時，拼成的大正方形的邊長為___________；(2)如圖2，當(dāng)時，拼成的大正方形的邊長為___________cm；(3)小李想沿著正方形紙片邊的方向能否裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為？他能裁出嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，理由見詳解【知識點】算術(shù)平方根的實際應(yīng)用、平方根的應(yīng)用【分析】本題主要考查圖形的探究、算術(shù)平方根等知識，解題關(guān)鍵是正確理解題意，靈活運用相關(guān)知識．（1）先得出時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；（2）先得出時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；（3）設(shè)長方形的長寬分別為，，，則根據(jù)面積可求得的值，易得，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴即用2個面積為的小正方形紙片剪拼成一個面積為的大正方形，∴大正方形的邊長為；故答案為：；（2）解：∵，∴即用5個面積為的小正方形紙片剪拼成一個面積為的大正方形，∴大正方形的邊長為；故答案為：；（3）解：能，理由如下：設(shè)長方形紙片的長為，寬為，則有：，解得，，∵為長方形的長，∴，∴，則長為，∵，∴能沿著正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，且它的長寬之比為．【變式2】觀察正方形方格，每個小正方形的邊長均是1．(1)如圖1，求陰影正方形的面積和邊長；(2)圖2是的正方形方格，請在圖2中畫出長為的線段，并說明理由．【答案】(1)5；(2)畫圖見解析；理由見解析【知識點】平方根的應(yīng)用、勾股定理與網(wǎng)格問題【分析】題目主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用及網(wǎng)格與勾股定理．（1）利用網(wǎng)格與勾股定理求出的平方即正方形的面積，再利用算術(shù)平方根即可求出邊長的值．（2）利用網(wǎng)格與勾股定理畫出的線段即可．【詳解】（1）解：因為，所以陰影正方形的面積是5；邊長長為．（2）解：如圖，線段就是長為的線段．理由：一、單選題1．下列各數(shù)沒有平方根的是（

）A． B．0 C．7 D．16【答案】A【分析】本題考查平方根的性質(zhì)，根據(jù)平方根的定義，負(fù)數(shù)沒有平方根，非負(fù)數(shù)（0和正數(shù)）才有平方根．【詳解】解：∵負(fù)數(shù)沒有平方根，∴四個選項中只有沒有平方根；故選A．2．下列式子能正確表示并計算“4的平方根”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，對于兩個實數(shù)a、b，若滿足，那么a就叫做b的平方根，且，據(jù)此可得答案．【詳解】解：“4的平方根”的是，故選：B．3．下列說法：①是5的一個平方根；②的算術(shù)平方根是－3；③的平方根是；④0的平方根是0．其中錯誤說法的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求一個數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的定義．逐一分析各說法是否正確，結(jié)合平方根和算術(shù)平方根的定義進行判斷．【詳解】解：說法①：是5的一個平方根；平方根的定義：若，則是的平方根，5的平方根為，其中是正的平方根（即算術(shù)平方根），因此，確實是5的一個平方根，①正確，不符合題意；說法②：的算術(shù)平方根是；計算，其算術(shù)平方根為（算術(shù)平方根非負(fù)），題目中結(jié)果為，顯然錯誤，②錯誤，符合題意；說法③：的平方根是；先計算，再求2的平方根為，題目中結(jié)果為，與不符，③錯誤，符合題意；說法④：0的平方根是0；根據(jù)定義，0的平方根僅有0本身，④正確，不符合題意；綜上，錯誤的說法為②和③，共2個，故選：B．4．已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則的值是（

）A． B．5 C． D．25【答案】D【分析】本題考查了平方根的性質(zhì)．根據(jù)平方根的性質(zhì)，正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表達式計算m即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，∴解得：∴m的值為：故選：D．5．已知，則的平方根是（

）A． B．1 C．2025 D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方公式，平方根，通過變量替換簡化方程，求出中間變量后求解平方根．【詳解】解：設(shè)，則，．代入原方程得：展開并整理：解得，即，故．當(dāng)時，；當(dāng)時，實數(shù)范圍內(nèi)無平方根．因此，的平方根為，故選A．二、填空題6．的平方根是．【答案】【分析】本題考查平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．注意區(qū)分算術(shù)平方根與平方根的概念，避免混淆．【詳解】解：，的平方根，即的平方根是．故答案為：．7．若m與是同一個正數(shù)的兩個平方根，則這個正數(shù)的值為【答案】【分析】本題考查了平方根，熟練掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，并且它們互為相反數(shù)得到，求出的值即可求解．【詳解】解：∵與是同一個正數(shù)的兩個平方根，∴，∴，∴這個正數(shù)的值為，故答案為：．8．小馬同學(xué)在解方程時，等號左邊的一個數(shù)字不小心被墨水污染了，如右式：．已知一個根，則另一個根．【答案】【分析】本題考查平方根定義解方程，由題意可設(shè)這個數(shù)字為，從而得到，求平方根即可得到答案．讀懂題意得到方程是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：等號左邊的一個數(shù)字不小心被墨水污染了，設(shè)這個數(shù)字為，則，或，則，故答案為：．9．若一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則的值是．【答案】4【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，平方根的概念，一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，據(jù)此可求出m的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，∴解得，∴．故答案為：4．10．物體從靜止?fàn)顟B(tài)自由下落的高度h（單位：m）與所需時間t（單位：s）滿足公式：（g為重力加速度，取g的值為）．現(xiàn)有兩個物體分別從離地面和處，同時由靜止自由落到地面，則它們落到地面時間相差s．【答案】【分析】本題考查利用算術(shù)平方根的性質(zhì)解方程，通過代入已知量到自由下落公式，關(guān)鍵步驟是正確代入數(shù)值并解方程，舍去不符合實際的負(fù)解．根據(jù)題目給出的自由下落公式，將已知高度和重力加速度代入，利用算術(shù)平方根的性質(zhì)解方程求出下落時間即可解答．【詳解】解：由題意將和，代入公式，可得：或，化簡得：或，∵表示物體下落的時間，∴或，則它們落到地面時間相差．故答案為：．三、解答題11．求下列各數(shù)的平方根及算術(shù)平方根：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)平方根為，算術(shù)平方根為；(2)平方根為，算術(shù)平方根為；(3)平方根為，算術(shù)平方根為(4)平方根為，算術(shù)平方根為100【分析】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，熟練掌握平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：的平方根為，算術(shù)平方根為；（2）解：的平方根為，算術(shù)平方根為；（3）解：的平方根為，算術(shù)平方根為；（4）解：的平方根為，算術(shù)平方根為100．12．求下列x的值：【答案】或【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時除以25，接著把方程兩邊同時開平方得到兩個一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：移項，得；系數(shù)化為1，得，∵；∴或，解得或．13．已知實數(shù)，，滿足：，求：(1)，，的值．(2)的平方根．【答案】(1)(2)的平方根為【分析】本題主要考查偶次冪、絕對值及算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方根，熟練掌握偶次冪、絕對值及算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意易得，然后進行求解即可；（2）根據(jù)（1）可得的值，然后根據(jù)平方根可進行求解．【詳解】（1）解：∵，且，∴，解得：；（2）解：由（1）得：，∴，∴4的平方根為，即的平方根為．14．已知．(1)求，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，；(2)．【分析】（）根據(jù)算術(shù)平方根由意義的條件可得，，即可得到，進而可得；（）把的值代入中求出的值，進而可求出它的平方根；本題考查了算術(shù)平方根、平方根，掌握算術(shù)平方根、平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴的平方根是．15．（1）已知一個正數(shù)的平方根分別是和，求這個正數(shù)．（2）利用平方根求中的值：【答案】（1）；（2）或【分析】本題考查了已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)，運用平方根解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用一個正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，進行列式計算得，代入進行求解，即可作答．（2）先移項再開方，即可作答．【詳解】解：（1）∵一個正數(shù)的平方根分別是和，∴，則，解得；，這個正數(shù)是；（2），，，解得：或．16．已知的平方根是是最大的負(fù)整數(shù)．(1)求與的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，平方根、立方根、算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合題意得出利用平方根及負(fù)數(shù)的基本性質(zhì)即可求解；（2）把（1）中結(jié)果代入，再求其的算術(shù)平方根，即可作答．【詳解】（1）解：的平方根是，，解得；是最大的負(fù)整數(shù)．，解