數(shù)學(xué)北師大版高一上

常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分,是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具,是邏輯思維的基本語言.本節(jié)的內(nèi)容包括必要條件、充分條件、充要條件,全稱量詞與存在量詞,全稱量詞命題與存在量詞命題以及它們的否定.

在初中數(shù)學(xué)中,已經(jīng)學(xué)過:可以判斷真假,用文字或符號表述的陳述句叫作命題.一個命題通?？梢员硎緸椤叭魀,則q”和“p是q”兩種形式.當(dāng)命題表示為“若p,則q”時,p是命題的條件,q是命題的結(jié)論.當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,就說由p推出q,記作p?q.2常用邏輯用語一、必要條件與性質(zhì)定理實例分析

在初中數(shù)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)過一些性質(zhì)定理,例如:定理1菱形的對角線互相垂直.即如果四邊形為菱形,那么這個四邊形的對角線互相垂直.定理1是菱形的性質(zhì)定理,即對角線互相垂直是菱形必不可少的性質(zhì).也就是說,如果能確定四邊形為菱形,那么一定可以得出這個四邊形的對角線互相垂直,而一旦某個四邊形的對角線不互相垂直,那么這個四邊形一定不是菱形.2.1必要條件與充分條件思考交流試用分析定理1的方法分析定理2如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等.定理3如果兩個三角形是全等三角形,那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等.抽象概括

一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,稱q是p的必要條件.也就是說，一旦q不成立,p一定也不成立,即q對于p的成立是必要的.例如,在定理1中,“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形為菱形”的必要條件.例1將下面的性質(zhì)定理寫成“若p,則q”的形式,并用必要條件的語言表述:(1)平面四邊形的外角和是360°;(2〉在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.解(1)“平面四邊形的外角和是360°”可表述為“若平面多邊形為四邊形,則它的外角和為360°”,所以“外角和為360°”是“平面多邊形為四邊形”的必要條件;(2)“在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”可表述為“在平面直角坐標(biāo)系中,若兩個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,則這兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”,所以“兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”是“在平面直角坐標(biāo)系中,兩個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱”的必要條件.二、充分條件與判定定理實例分析在初中數(shù)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)過一些判定定理,例如:定理4若a>0,b>0,則ab>0.定理5對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.定理6平行于三角形一邊的直線,截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似.定理4是說:如果滿足了條件“a>0,b>0”,一定有結(jié)論“ab>0”.但要注意,當(dāng)ab>0時,a>0,b>0不一定成立,例如,由“a<0,b<O”,也可以判定“ab>0”.實際上,定理4告訴我們:只要有了“a>0,b>0”這個條件,就可以判定“ab>0”.思考交流

試用分析定理4的方法分析定理5、定理6.抽象概括一般地,當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時,稱p是q的充分條件.綜上,對于真命題“若p,則q”,即p?

q時,稱q是p的必要條件,也稱p是q的充分條件.p?

q可以理解為只要有條件p,就一定有結(jié)論q.即p對于q是充分的.也就是說,為了得到結(jié)論,具備條件p就足夠了.“若p,則q”形式的命題為真命題是指:由條件p可以得到結(jié)論q,通常記作:p?

q,讀作“p推出q”.此時我們稱p是q的充分條件.例2用充分條件的語言表述下面的真命題:(1)若a=-b,則|a|=|b|;(2)若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),則AC=BC;(3)當(dāng)ac<0時,一元二次方程ax2+bx＋c=0有兩個不相等的實數(shù)根.解(1)“a=-b”是“|a|=b”的充分條件﹔(2)“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”是“AC=BC”的充分條件;(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx＋c=0有兩個不相等的實數(shù)根”的充分條件.下列各組中,p是q的充分條件嗎?(1)p:α是第一象限角,q:sinα>0,(2)P:y=f(x)是正弦函數(shù).q:y=f(x)是周期函數(shù);(3)p:直線l1和l2是異面直線q:直線l1和l2不相交.請再舉一些“若p,則q形式的命題,使P是q的充分條件.例2在以下各題中,判斷哪些有p?

q,哪些有q?

p并分析各題中p與q的關(guān)系:(1)p:四邊形是正方形,q:四邊形的四個角都是直角;(2)p:直線l和平面α內(nèi)的一條直線垂直,q:直線l和平面α垂直(3)p:a,b,成等比數(shù)列,q:b2=ac.解(1)由于p?

q.故p是q的充分條件q是p的必要條件:(2)由于q?

p故:q是p的充分條件,p是q的必要條件;(3)由于p?

q,故p是q的充分條件,q是p的必要條件.例3分析下列各題中p與q的關(guān)系:(l)p;x>5,q:x>3;(2)p;a2=4,q;a=2(3)p:向量α=0或向量β=0.q:α·β=0.解(l)由p?

q,故p是q的充分條件,q是p的必要條件;(2)由于q?

p,故:q是p的充分條件,p是q的必要條件;(3)由于p?

q,故p是q的允分條件,q是p的必要條件.三、充要條件實例分析在初中數(shù)學(xué)中,勾股定理及其逆定理是非常重要的數(shù)學(xué)定理.勾股定理如果一個三角形為直角三角形,那么它的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的逆定理﹐如果一個三角形的一邊的平方等于其他兩邊的平方和,那么這條邊所對的角是直角.在勾股定理中,“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”是“三角形為直角三角形”的必要條件;“三角形為直角三角形”是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的充分條件.在勾股定理的逆定理中,“三角形的一個角是直角”是“三角形的直角所對的邊的平方等于其他兩邊的平方和”的必要條件;“三角形的一邊的平方等于其他兩邊的平方和”是“這條邊所對的角是直角”的充分條件.

一般地,如果p?

q,且q?

p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的充要條件，記作p?q.p是q的充要條件也常常說成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”,或“p與q等價”.當(dāng)p是q的充要條件時,q也是p的充要條件.

充要條件是數(shù)學(xué)中非常重要的概念,運(yùn)用充要條件可以從不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學(xué)內(nèi)容.

例如，“三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和”與“三角形一邊上的中線等于該邊長的一半”都可以用來定義直角三角形.抽象概括我們常用“當(dāng)且僅當(dāng)"來表達(dá)充要條件.p是q的充要條件也可以說成;p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.如果p,q分別表示兩個命題,它們互為充要條件,我們通常稱命題p和命題q是兩個相互等價的命題.

給定p,q,有p是q的充分條件,但不是q的必要條件.例如，“一個數(shù)的末位數(shù)字為0"是“這個數(shù)能被5整除"的充分條件但不是必要條件.

有時,p是q的必要條件,但不是q的充分條件.例如,在直角坐標(biāo)系中,“兩條直線平行”是“這兩條直線斜率相等”的必要條件,但不是充分條件,因為有的直線斜率不存在.

有時,既不是q的充分條件,也不是q的必要條件.例如,“a>b”既不是“a2>b2”的充分條件,也不是“a2>b2”的必要條件.例3在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:A?B,q:A∩B=A;(2)p:a=b,q:|a|=|b|;(3)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是平行四邊形.解(1)因為命題“若A?B,則A∩B=A”為真命題,并且“若A∩B=A,則AA?B”也為真命題,所以p是q的充要條件;(2)因為“a=b