云南省專升本2025年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)考試數(shù)理統(tǒng)計重點(diǎn)測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.字跡工整，卷面整潔。3.請按規(guī)定用筆作答。一、填空題（每空3分，共24分）1.設(shè)總體X～N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則樣本均值X?的期望E(X?)=______，方差D(X?)=______。2.設(shè)X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，X~N(μ,σ2)，若總體方差σ2未知，欲檢驗H?:μ=μ?，常用的檢驗統(tǒng)計量是______。3.設(shè)總體X的分布律為P{X=k}=θ^(k+1),k=0,1,2,…,0<θ<1，則θ的矩估計量θ?=______。4.設(shè)總體X的期望為μ，方差為σ2，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則樣本方差S2的無偏估計量是______。5.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤的概率記為α，犯第二類錯誤的概率記為β，則對于固定的樣本容量n，α和β______。6.設(shè)總體X～N(μ,16)，從中抽取樣本容量為25的樣本，樣本均值為x?。若要構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間，且已知σ=4，則置信區(qū)間的上下限分別為______和______。二、選擇題（每題3分，共18分）1.下列哪個統(tǒng)計量是總體方差σ2的無偏估計量？()A.S2=(1/n-1)Σ(X?-X?)2B.S2=(1/n)Σ(X?-X?)2C.(1/n)Σ(X?-μ)2D.(1/(n-1))Σ(X?-X?)22.設(shè)總體X的期望μ和方差σ2已知，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則X?~N(μ,______)。()A.σ2/nB.σ2/(n-1)C.σ2D.σ2/n23.對總體均值μ進(jìn)行區(qū)間估計時，在其他條件不變的情況下，置信水平α減小，則置信區(qū)間的長度()。A.變長B.變短C.不變D.可能變長也可能變短4.在假設(shè)檢驗中，若接受了原假設(shè)H?，則()。A.H?一定正確B.H?不一定正確C.犯第一類錯誤的概率為αD.犯第二類錯誤的概率為β5.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)=(θ/x)(x?<x<x?)，其中x?,x?為已知常數(shù)，θ>0，則θ的最大似然估計量θ?=______。(提示：先寫出似然函數(shù)和似然方程)A.(x?+x?)/2B.(x?-x?)/2C.(n/x?)/Σ(1/x?)D.Σ(x?)/n6.對正態(tài)總體的方差進(jìn)行檢驗時，通常使用______統(tǒng)計量。()A.ZB.tC.FD.χ2三、計算題（共58分）1.（10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θ*x^(θ-1),0<x<1,θ>0。從中抽取樣本X?,X?,…,X?，樣本觀測值為0.3,0.8,0.7,0.2,0.6。求參數(shù)θ的矩估計值。2.（12分）設(shè)總體X～N(μ,25)，從中抽取樣本容量為16的樣本，樣本均值為20。若要檢驗H?:μ=21vsH?:μ≠21，取顯著性水平α=0.05。（1）寫出檢驗統(tǒng)計量及其分布；（2）求拒絕域；（3）若樣本均值為20.5，是否拒絕H?？3.（14分）設(shè)總體X～N(μ,σ2)，μ未知。從總體中抽取樣本容量為9的樣本，樣本方差S2=4。（1）求μ的95%置信區(qū)間的上下限（已知t分布表：t?.025(8)=2.306）；（2）若要使μ的95%置信區(qū)間的長度不大于1.2，樣本容量n至少應(yīng)取多大？（已知χ2分布表：χ2?.025(8)=17.535,χ2?.975(8)=2.180）4.（12分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)=(1/θ)*e^(-(x-μ)/θ),x≥μ,θ>0。從中抽取樣本X?,X?,…,X?，樣本觀測值為5,7,6,8。求參數(shù)θ的最大似然估計值。5.（10分）設(shè)總體X的期望為μ，方差為σ2。X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本。樣本均值為X?，樣本方差為S2。證明：E(X?2)=μ2+(σ2/n)。試卷答案一、填空題（每空3分，共24分）1.μ,σ2/n2.t(n-1)3.(nΣkX?)/(nΣX?+1)4.S2=(1/(n-1))Σ(X?-X?)25.互相制約（或互相影響，或不能同時減小）6.μ±(1.96*4)/√25=μ±1.568二、選擇題（每題3分，共18分）1.A2.A3.B4.B5.C6.D三、計算題（共58分）1.（10分）解析：首先求總體期望E(X)。E(X)=∫?1x*θ*x^(θ-1)dx=θ∫?1x^θdx=θ*[x^(θ+1)/(θ+1)]|?1=θ/(θ+1)。用樣本均值X?估計E(X)，即E(X?)≈X?。所以θ/(θ+1)≈X?。解得θ?=X?/(1-X?)。樣本均值X?=(0.3+0.8+0.7+0.2+0.6)/5=2.6/5=0.52。θ?=0.52/(1-0.52)=0.52/0.48≈1.083。答案：θ?≈1.083。2.（12分）解析：（1）總體方差已知，用Z檢驗。檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)。由于μ?=21,σ=5,n=16,X?=20，所以Z=(20-21)/(5/√16)=-1/(5/4)=-4/5=-0.8。Z~N(0,1)。（2）顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗，拒絕域為Z<z_(α/2)或Z>z_(α/2)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，z_(0.025)=1.96。拒絕域為Z<-1.96或Z>1.96。（3）計算得到的Z值為-0.8。因為-0.8不在拒絕域內(nèi)（-0.8>-1.96且-0.8<1.96）。所以不拒絕H?。答案：（1）檢驗統(tǒng)計量Z=(X?-21)/(5/√16)，Z~N(0,1)。（2）拒絕域為Z<-1.96或Z>1.96。（3）不拒絕H?。3.（14分）解析：（1）總體方差未知，用t檢驗。置信水平1-α=95%，α=0.05，自由度df=n-1=8。查t分布表，t_(α/2)(df)=t_(0.025)(8)=2.306。置信區(qū)間下限=X?-t_(α/2)*(S/√n)=20-2.306*(√4/√9)=20-2.306*(2/3)=20-1.521=18.479。置信區(qū)間上限=X?+t_(α/2)*(S/√n)=20+2.306*(2/3)=20+1.521=21.521。答案：μ的95%置信區(qū)間為(18.479,21.521)。（2）置信區(qū)間長度L=2*t_(α/2)*(S/√n)。要使L≤1.2，即2*2.306*(2/√n)≤1.2。4.612/√n≤0.6?！蘮≥4.612/0.6=7.6867。n≥(7.6867)2≈58.99。由于n必須為整數(shù)，且要滿足條件，所以n至少應(yīng)取59。答案：樣本容量n至少應(yīng)取59。4.（12分）解析：寫出似然函數(shù)L(θ)=Π(1/θ)*e^(-(x?-μ)/θ)=(1/θ?)*e^(-Σ(x?-μ)/θ)。取對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=-nlnθ-(Σx?-μn)/θ。對θ求導(dǎo)，得d(lnL)/dθ=-n/θ+(Σx?-μn)/θ2。令導(dǎo)數(shù)等于0，得-n/θ+(Σx?-μn)/θ2=0。解得θ?=Σx?-