2025年測繪工程專升本測量平差計算測試（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請將各題的計算結(jié)果寫在答題紙上，并寫明單位。2.簡答題應(yīng)簡明扼要地回答問題。一、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述條件平差和參數(shù)平差的主要區(qū)別。2.在水準(zhǔn)測量平差中，為什么通常采用條件平差？3.平差計算中，未知參數(shù)的權(quán)倒數(shù)是如何定義的？它的大小反映了什么？4.誤差方程的系數(shù)矩陣在平差計算中起什么作用？二、計算題（共80分）1.（15分）對某角度進(jìn)行4次觀測，其觀測值（單位：秒）分別為：180°28′15″，180°28′18″，180°28′16″，180°28′17″。若該角度應(yīng)滿足的幾何條件為：觀測值之和應(yīng)等于180°整。試按條件平差法求該角度的平差值及單位權(quán)中誤差。2.（20分）對某三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，觀測值（單位：度）分別為：A=60°35′40″，B=59°48′20″，C=60°35′50″。已知該三角形的真值應(yīng)為A+B+C=180°。設(shè)觀測值的精度相同（權(quán)相等），試按條件平差法求三個內(nèi)角的平差值，并求平差后角度的協(xié)方差矩陣。3.（25分）設(shè)某直線AB的坐標(biāo)方位角γ?為未知參數(shù)，通過兩條幾何約束條件進(jìn)行平差。已知觀測數(shù)據(jù)如下：*觀測值：β?=120°15′30″，β?=60°05′00″。對應(yīng)的常數(shù)項分別為：L?=0，L?=180°。*權(quán)：P?=2，P?=3。*幾何約束方程為：β?+β?-γ?-180°=0。試按參數(shù)平差法求坐標(biāo)方位角γ?的平差值及其中誤差。4.（20分）對某段距離進(jìn)行3次丈量，丈量結(jié)果（單位：米）分別為：L?=123.45，L?=123.38，L?=123.43。已知丈量結(jié)果的誤差傳遞關(guān)系為：觀測值的方差與丈量次數(shù)的平方成反比，即P?:P?:P?=9:4:9。試按間接平差法求該距離的平差值及單位權(quán)中誤差。5.（10分）設(shè)某平差問題的誤差方程為：V=AX-L，其中X為參數(shù)向量，L為常數(shù)向量，A為系數(shù)矩陣。若已知X的先驗協(xié)方差矩陣為P_X=σ2Q（Q為非奇異矩陣），試推導(dǎo)平差后參數(shù)X的協(xié)方差矩陣的表達(dá)式。試卷答案一、簡答題1.條件平差直接對觀測值（或其線性組合）的誤差方程建立平差條件，求解的是觀測值的平差值，未知參數(shù)視為已知常數(shù)。參數(shù)平差則選擇一組參數(shù)作為未知量，建立參數(shù)的誤差方程，求解的是未知參數(shù)的平差值，進(jìn)而計算觀測值的平差值。條件平差適用于等精度觀測，參數(shù)平差適用于精度不等觀測或更復(fù)雜的模型。2.水準(zhǔn)測量通常進(jìn)行多次往返觀測或不同路線的閉合/附合觀測，其幾何條件是高差和應(yīng)等于零。這些條件可以看作是線性約束，直接用條件平差法處理較為方便直觀。且水準(zhǔn)測量通常精度較均勻，采用條件平差符合其特點。3.未知參數(shù)的權(quán)倒數(shù)定義為：C=σ2/σ?2，其中σ為參數(shù)的方差，σ?為單位權(quán)方差。它的大小反映了該參數(shù)估計值的相對精度，權(quán)倒數(shù)越小，表示參數(shù)估計越精確。4.誤差方程的系數(shù)矩陣A中的元素，反映了每個觀測值的誤差（或其線性組合的誤差）對各未知參數(shù)變化率的敏感程度，是建立平差模型、進(jìn)行參數(shù)估計的基礎(chǔ)。二、計算題1.解析思路：*建立條件方程：V=[1111]*X-L，其中X為角度觀測值平差改正數(shù)向量，L=0。*計算觀測值的加權(quán)平均值作為近似值，得到X?=0。*計算單位權(quán)中誤差：σ=√(Σ[V?2]/n)，其中n為觀測次數(shù)（條件數(shù)）。*計算平差值：x?=X?+X。*計算平差值的中誤差：σ?=σ/√n。計算過程：*觀測值平均值：x?=(180°28′15″+180°28′18″+180°28′16″+180°28′17″)/4=180°28′16.75″。近似值X?=0。*平差改正數(shù)：V?=15-16.75=-1.75",V?=18-16.75=1.25",V?=16-16.75=-0.75",V?=17-16.75=0.25"。*單位權(quán)中誤差：σ=√((-1.75)2+1.252+(-0.75)2+0.252)/3=√(3.0625+1.5625+0.5625+0.0625)/3=√5.25/3=√1.75≈1.3228"。*平差值：x??=180°28′15″+(-1.75")=180°28′13.25″,x??=180°28′18″+1.25"=180°28′19.25″,x??=180°28′16″+(-0.75")=180°28′15.25″,x??=180°28′17″+0.25"=180°28′17.25″。*平差值的中誤差：σ?=1.3228"/√4=1.3228"/2=0.6614"。結(jié)果：*平差值：180°28′13.25″,180°28′19.25″,180°28′15.25″,180°28′17.25″。*單位權(quán)中誤差：σ≈1.323"。2.解析思路：*建立條件方程：V=[111000;000111]*X-L，其中X=[δA,δB,δC,δA?,δB?,δC?]?，L=[0,0,0,180,180,180]?。*計算近似值：X?=[0,0,0,60°35′40″,59°48′20″,60°35′50″]?。（注意：此處應(yīng)先計算觀測值和，檢查是否為180°，再分配近似值，為簡化計算此處假設(shè)近似值為真值）。*計算系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置加權(quán)矩陣：A?PA。*計算常數(shù)項的加權(quán)向量：A?PL。*求解參數(shù)的平差改正數(shù)：X=(A?PA)?1(A?PL)。*計算參數(shù)的平差值：X?=X?+X。*計算協(xié)方差矩陣：P?=(A?PA)?1σ2。因觀測等權(quán)，σ2=1/P?=1/2。最終協(xié)方差矩陣為P?=(A?PA)?1/2。計算過程：*近似值：X?=[0,0,0,60.5983,59.8056,60.5983]?(度)。*系數(shù)矩陣：A=[[1,1,1,0,0,0];[0,0,0,1,1,1]]。*常數(shù)項：L=[0,0,0,1.6111,1.6111,1.6111]?(度)。*計算A?PA:A?PA=[[3/2,0,0,0,0,0];[0,3/2,0,0,0,0];[0,0,3/2,0,0,0];[0,0,0,3/2,0,0];[0,0,0,0,3/2,0];[0,0,0,0,0,3/2]]。*計算A?PL:A?PL=[0,0,0,4.8333,4.8333,4.8333]?/2=[0,0,0,2.4167,2.4167,2.4167]?。*求逆：(A?PA)?1=[[2/3,0,0,0,0,0];[0,2/3,0,0,0,0];[0,0,2/3,0,0,0];[0,0,0,2/3,0,0];[0,0,0,0,2/3,0];[0,0,0,0,0,2/3]]。*求解X:X=(A?PA)?1(A?PL)=[[0];[0];[0];[1.6111];[1.6111];[1.6111]]*(2/3)=[0;0;0;1.0740;1.0740;1.0740]?(度)。*平差值：X?=X?+X=[0+0;0+0;0+0;60.5983+1.0740;59.8056+1.0740;60.5983+1.0740]?=[0;0;0;61.6723;60.8796;61.6723]?(度)。*轉(zhuǎn)換為度分秒：X?A=61°40′42″,X?B=60°52′56″,X?C=61°40′42″。*協(xié)方差矩陣：P?=(A?PA)?1/2=[[2/9,0,0,0,0,0];[0,2/9,0,0,0,0];[0,0,2/9,0,0,0];[0,0,0,2/9,0,0];[0,0,0,0,2/9,0];[0,0,0,0,0,2/9]](弧度2)。轉(zhuǎn)換為度2：P?=[[4/81,0,0,0,0,0];[0,4/81,0,0,0,0];[0,0,4/81,0,0,0];[0,0,0,4/81,0,0];[0,0,0,0,4/81,0];[0,0,0,0,0,4/81]](度2)。平差值中誤差：σ?=√(4/81)≈0.2387度。結(jié)果：*平差值：A=61°40′42″,B=60°52′56″,C=61°40′42″。*協(xié)方差矩陣（度2）：[[4/81,0,0,0,0,0];[0,4/81,0,0,0,0];[0,0,4/81,0,0,0];[0,0,0,4/81,0,0];[0,0,0,0,4/81,0];[0,0,0,0,0,4/81]]。3.解析思路：*建立參數(shù)誤差方程：V=[β?+β?-γ?-L?;β?+β?-γ?-L?]?=AδX-L，其中δX=[δγ?]?，L=[0-180]?。*計算系數(shù)矩陣的加權(quán)轉(zhuǎn)置矩陣：A?PA。*計算常數(shù)項的加權(quán)向量：A?PL。*求解參數(shù)的平差改正數(shù)：δX=(A?PA)?1(A?PL)。*計算參數(shù)的平差值：γ??=γ??+δγ?。真值γ??=180°。*計算參數(shù)的協(xié)方差：Pγ?=(A?PA)?1σ2。計算過程：*誤差方程：V=[β?+β?-γ?-0;β?+β?-γ?-180]?。*系數(shù)矩陣：A=[[1,1,-1];[1,1,-1]]。*權(quán)矩陣：P=[[9,0];[0,4]]=[[32,0];[0,22]]。*加權(quán)系數(shù)矩陣：A?PA=[[4,4,-4];[4,4,-4];[-4,-4,4]]。*加權(quán)常數(shù)項：A?PL=[[27,0];[0,720]]=[27;720]。*求逆：(A?PA)?1=1/144[4,4,-4;4,4,-4;-4,-4,4]。*求解δX:δX=(A?PA)?1A?PL=1/144[4,4,-4]*[27;720]=1/144[4*27+4*720-4*720]=1/144[108]=[0.75]度。*平差值：γ??=180°+0.75°=180.75°。*協(xié)方差：Pγ?=(A?PA)?1σ2=1/144[4,4,-4;4,4,-4;-4,-4,4]*1/2=1/288[4,4,-4;4,4,-4;-4,-4,4]。即Pγ?=[[1/72,1/72,-1/72];[1/72,1/72,-1/72];[-1/72,-1/72,1/72]](度2)。*平差值中誤差：σγ?=√(1/72)≈0.1323度。結(jié)果：*平差值：γ??=180.75°。*協(xié)方差矩陣（度2）：[[1/72,1/72,-1/72];[1/72,1/72,-1/72];[-1/72,-1/72,1/72]]。4.解析思路：*建立參數(shù)誤差方程：V=AX-L，其中X=[L?]?，A=[1/3,1/4,1/9]?，L=[L?-L?,L?-L?,L?-L?]?。*計算近似值：L?=(L?+L?+L?)/3。*計算系數(shù)矩陣的加權(quán)轉(zhuǎn)置矩陣：A?PA。*計算常數(shù)項的加權(quán)向量：A?PL。*求解參數(shù)的平差改正數(shù)：X=(A?PA)?1(A?PL)。*計算參數(shù)的平差值：L?=L?+X。*計算單位權(quán)中誤差：σ=√(Σ[V?2]/(n-1))，其中n為參數(shù)個數(shù)。*計算協(xié)方差矩陣：P?=(A?PA)?1σ2。計算過程：*觀測值和：ΣL=123.45+123.38+123.43=370.26米。*近似值：L?=370.26/3=123.42米。*誤差方程：V=[1/3,1/4,1/9]*[L?-L?;L?-L?;L?-L?]?=[1/3,1/4,1/9]*[0.03;-0.04;0.01]?=[0.015;-0.01;0.0011]?。*系數(shù)矩陣加權(quán)轉(zhuǎn)置：A?PA=[1/3,1/4,1/9]*[9,0,0;0,16,0;0,0,81]=[1,0,0;0,4,0;0,0,9]。*加權(quán)常數(shù)項：A?PL=[1/3,1/4,1/9]*[9*0.03;4*(-0.04);9*0.01]=[0.09;-0.04;0.01]。*求逆：(A?PA)?1=[1,0,0;0,1/4,0;0,0,1/9]。*求解X:X=(A?PA)?1A?PL=[1,0,0;0,1/4,0;0,0,1/9]*[0.09;-0.04;0.01]=[0.09;-0.01;0.0011]。*平差值：L?=L?+X=123.42+[0.09;-0.01;0.0011]=[123.5169;123.4099;123.4211]米。*單位權(quán)中誤差：σ=√((0.015)2+(-0.01)2+(0.0011)2)/(3-1)=√(0.000225+0.0001+0.00000121)/2=√0.00032621/2≈0.0121米。*協(xié)方差矩陣：P?=(A?PA)?1σ2=[1,0,0;0,1/4,0;0,0,1/9]*(0.0121)2=[0.00014641;0.000036525;0.000016449](米2)。結(jié)果：