2025年高一物理上學(xué)期專題十一功的計(jì)算與正負(fù)判斷一、功的定義與物理意義功是物理學(xué)中描述力對物體作用效果的重要物理量，它反映了力在空間上的累積效應(yīng)。在力學(xué)中，功的定義為：物體在力的作用下沿力的方向發(fā)生位移時(shí)，力對物體所做的功等于力的大小、位移的大小、以及力與位移夾角的余弦值三者的乘積。其核心物理意義在于能量轉(zhuǎn)化的量度，即做功的過程必然伴隨著能量的轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化，做功的多少表示能量轉(zhuǎn)化的數(shù)量。例如，用水平力推靜止的木箱使其移動，推力對木箱做正功，木箱的動能增加；物體在粗糙水平面上滑行時(shí)，摩擦力做負(fù)功，物體的動能減少并轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。需要注意的是，功是標(biāo)量，只有大小沒有方向，但做功過程中能量的變化可能表現(xiàn)為不同形式的轉(zhuǎn)化。二、功的計(jì)算公式推導(dǎo)1.恒力做功的基本公式當(dāng)物體在恒力(F)作用下沿直線運(yùn)動，且力的方向與位移方向的夾角為(\theta)時(shí)，根據(jù)功的定義可推導(dǎo)出基本公式：[W=F\cdotl\cdot\cos\theta]其中：(W)表示功，單位為焦耳（J），(1\\text{J}=1\\text{N·m})；(F)為恒力的大?。▎挝唬篘）；(l)為物體的位移大?。▎挝唬簃）；(\theta)為力(F)與位移(l)的夾角（單位：度或弧度）。推導(dǎo)過程：若力(F)與位移(l)方向相同（(\theta=0^\circ)），則(\cos0^\circ=1)，公式簡化為(W=F\cdotl)；若力(F)與位移(l)方向垂直（(\theta=90^\circ)），則(\cos90^\circ=0)，此時(shí)(W=0)，即力不做功（如物體在水平面上運(yùn)動時(shí)，重力和支持力不做功）；若力(F)與位移(l)方向相反（(\theta=180^\circ)），則(\cos180^\circ=-1)，此時(shí)(W=-F\cdotl)，即力做負(fù)功。2.變力做功的計(jì)算思路對于變力（大小或方向變化的力）或曲線運(yùn)動中的做功問題，高一階段可通過以下方法簡化處理：微元法：將曲線運(yùn)動或變力過程分解為無數(shù)小段，每小段近似視為恒力做功，再累加求和（高等數(shù)學(xué)中可通過積分計(jì)算）；圖像法：在(F-l)圖像中，圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”表示功的大?。ㄟm用于力隨位移均勻變化的情況，如彈簧彈力做功）；功能關(guān)系法：利用動能定理(W_{\text{合}}=\DeltaE_k)，通過物體動能的變化量反推合外力做的總功（后續(xù)章節(jié)詳細(xì)講解）。三、不同力做功的計(jì)算方法1.常見力做功的特點(diǎn)與計(jì)算（1）重力做功重力(G=mg)是恒力，其做功僅與物體的初末位置高度差有關(guān)，與路徑無關(guān)。公式：(W_G=mgh)，其中(h)為物體豎直方向的位移（高度差），即(h=|y_2-y_1|)；方向判斷：物體上升時(shí)，重力方向與位移方向相反（(\theta=180^\circ)），重力做負(fù)功（(W_G<0)）；物體下降時(shí)，重力做正功（(W_G>0)）。例題1：質(zhì)量為(2\\text{kg})的物體從高度(h_1=5\\text{m})處自由下落至(h_2=2\\text{m})處，求重力做的功。（(g=10\\text{m/s}^2)）解析：重力方向豎直向下，位移方向豎直向下，(\theta=0^\circ)，高度差(h=h_1-h_2=3\\text{m})，則：[W_G=mgh=2\\text{kg}\times10\\text{m/s}^2\times3\\text{m}=60\\text{J}]結(jié)論：重力做正功，大小為(60\\text{J})。（2）彈力做功以彈簧彈力為例，彈簧彈力(F=kx)（胡克定律）是變力，其做功與形變量(x)有關(guān)，公式為：[W_{\text{彈}}=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_2^2]其中(x_1)、(x_2)分別為初、末狀態(tài)的形變量（拉伸或壓縮）。彈力做功的特點(diǎn)是與路徑無關(guān)，僅由初末形變量決定。（3）摩擦力做功摩擦力做功需區(qū)分靜摩擦力和滑動摩擦力，二者做功特點(diǎn)不同：滑動摩擦力：可做正功、負(fù)功或不做功，且做功與路徑有關(guān)。例如：物體在地面上滑行時(shí)，滑動摩擦力與位移方向相反，做負(fù)功；將靜止的物體放在傳送帶上，滑動摩擦力帶動物體加速，此時(shí)摩擦力做正功。靜摩擦力：同樣可做正功或負(fù)功，但不會產(chǎn)生內(nèi)能。例如，靜止在加速車廂內(nèi)的物體，靜摩擦力對物體做正功，使其動能增加。例題2：質(zhì)量為(10\\text{kg})的物體在水平拉力(F=30\\text{N})作用下，沿粗糙水平面運(yùn)動(5\\text{m})，動摩擦因數(shù)(\mu=0.2)，求滑動摩擦力做的功。（(g=10\\text{m/s}^2)）解析：滑動摩擦力大小(f=\mumg=0.2\times10\\text{kg}\times10\\text{m/s}^2=20\\text{N})，方向與位移方向相反（(\theta=180^\circ)），則：[W_f=f\cdotl\cdot\cos180^\circ=20\\text{N}\times5\\text{m}\times(-1)=-100\\text{J}]結(jié)論：滑動摩擦力做負(fù)功，大小為(100\\text{J})。（4）支持力與拉力做功支持力：若物體在支持力方向上無位移（如水平面上的物體），支持力不做功；若物體沿曲面運(yùn)動（如過山車軌道對車廂的支持力），支持力始終與速度方向垂直，也不做功。拉力：若拉力為恒力，直接用(W=Fl\cos\theta)計(jì)算；若拉力方向與運(yùn)動方向始終一致（如用繩子牽引物體沿圓周運(yùn)動的切線方向），則需分段計(jì)算或用動能定理間接求解。四、正負(fù)功的判斷依據(jù)及實(shí)例分析1.正負(fù)功的物理意義功的正負(fù)不表示方向，而是反映力對物體能量變化的影響：正功（(W>0)）：力對物體做正功，物體的能量增加（如動力對物體做功）；負(fù)功（(W<0)）：力對物體做負(fù)功，物體的能量減少，也可表述為“物體克服該力做功”（如阻力對物體做功）；零功（(W=0)）：力對物體不做功，物體能量無變化（如力與位移垂直時(shí)）。2.正負(fù)功的三種判斷方法（1）根據(jù)力與位移的夾角(\theta)判斷由公式(W=Fl\cos\theta)可知：當(dāng)(0^\circ\leq\theta<90^\circ)時(shí)，(\cos\theta>0)，(W>0)，力做正功；當(dāng)(\theta=90^\circ)時(shí)，(\cos\theta=0)，(W=0)，力不做功；當(dāng)(90^\circ<\theta\leq180^\circ)時(shí)，(\cos\theta<0)，(W<0)，力做負(fù)功。（2）根據(jù)力與速度的方向關(guān)系判斷對于曲線運(yùn)動或變方向運(yùn)動，可通過力與瞬時(shí)速度方向的夾角判斷瞬時(shí)功率的正負(fù)，但需注意：功的正負(fù)由力與位移（而非速度）的夾角決定，但二者在直線運(yùn)動中一致。例如，物體做平拋運(yùn)動時(shí)，重力始終豎直向下，位移方向沿軌跡切線，重力與位移的夾角(\theta<90^\circ)，故重力做正功。（3）根據(jù)能量變化判斷若物體的動能增加，合外力做正功；若動能減少，合外力做負(fù)功（動能定理）。例如，物體自由下落時(shí)，動能增加，重力做正功；物體上拋時(shí)，動能減少，重力做負(fù)功。3.典型實(shí)例分析實(shí)例1：斜面上的力做功問題：質(zhì)量為(m)的物體沿傾角為(\alpha)的光滑斜面下滑，位移為(l)，求重力、支持力做的功。解析：重力做功：重力方向豎直向下，位移方向沿斜面向下，二者夾角為(90^\circ-\alpha)，則：[W_G=mg\cdotl\cdot\cos(90^\circ-\alpha)=mgl\sin\alpha]因(\sin\alpha=\frac{h}{l})（(h)為斜面高度），故(W_G=mgh)，與直接下落高度(h)時(shí)重力做功相同，驗(yàn)證了重力做功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)。支持力做功：支持力方向垂直于斜面，與位移方向夾角為(90^\circ)，故(W_N=0)。實(shí)例2：圓周運(yùn)動中的功問題：用輕繩系住質(zhì)量為(m)的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，分析運(yùn)動過程中重力和拉力做的功。解析：重力做功：重力方向始終豎直向下，小球從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，位移方向向上，重力與位移夾角(\theta=180^\circ)，做負(fù)功；從最高點(diǎn)回到最低點(diǎn)時(shí)，夾角(\theta=0^\circ)，做正功。拉力做功：拉力沿繩子指向圓心，始終與速度方向垂直（即與瞬時(shí)位移方向垂直），故拉力不做功（(W_T=0)）。實(shí)例3：多力做功的疊加問題：質(zhì)量為(2\\text{kg})的物體在水平面上受三個(gè)力作用：水平拉力(F_1=10\\text{N})（向右），水平阻力(F_2=4\\text{N})（向左），豎直向下的壓力(F_3=5\\text{N})。物體向右運(yùn)動(3\\text{m})，求各力做的功及總功。解析：(F_1)做正功：(W_1=F_1l\cos0^\circ=10\times3\times1=30\\text{J})；(F_2)做負(fù)功：(W_2=F_2l\cos180^\circ=4\times3\times(-1)=-12\\text{J})；(F_3)與位移垂直，不做功：(W_3=0)；總功：(W_{\text{總}}=W_1+W_2+W_3=30-12+0=18\\text{J})。五、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧1.常見易錯(cuò)點(diǎn)混淆“力的方向”與“運(yùn)動方向”：需明確公式中(\theta)是力與位移的夾角，而非力與速度的夾角（曲線運(yùn)動中二者可能不同）；忽略“相對位移”與“絕對位移”：摩擦力做功中，位移(l)是物體相對地面的絕對位移，而非相對接觸物體的位移；誤認(rèn)為“摩擦力一定做負(fù)功”：靜摩擦力和滑動摩擦力均可做正功，需根據(jù)具體情境判斷。2.解題步驟確定研究對象：明確是哪個(gè)力對哪個(gè)物體做功；分析力與位移：找出力的大小、位移的大小及二者夾角(\theta)；判斷正負(fù)功：根據(jù)(\theta)或能量變化確定功的正負(fù)；代入公式計(jì)算：注意單位統(tǒng)一（N、m、J），多力做功時(shí)代數(shù)疊加總功。六、拓展應(yīng)用：功與能的關(guān)系功是能量轉(zhuǎn)化的橋梁，后續(xù)學(xué)習(xí)中需重點(diǎn)掌握以下關(guān)系：動能定理：