2025年高一物理下學(xué)期電勢能與電勢差計算題一、基礎(chǔ)公式應(yīng)用類計算題例題1：在真空中有兩個點(diǎn)電荷，電荷量分別為(Q_1=+3\times10^{-8},\text{C})和(Q_2=-2\times10^{-8},\text{C})，相距(r=0.2,\text{m})。已知靜電力常量(k=9\times10^9,\text{N·m}^2/\text{C}^2)，求：（1）兩點(diǎn)電荷間的庫侖力大小及方向；（2）將電荷量為(q=+1\times10^{-9},\text{C})的試探電荷從(Q_1)處移動到(Q_2)處，電場力做的功；（3）若將試探電荷從兩電荷連線中點(diǎn)移動到距離(Q_1)為(0.1,\text{m})的位置，電勢能變化量為多少？解析：（1）根據(jù)庫侖定律(F=k\frac{|Q_1Q_2|}{r^2})，代入數(shù)據(jù)得：[F=9\times10^9\times\frac{3\times10^{-8}\times2\times10^{-8}}{0.2^2}=1.35\times10^{-4},\text{N}]由于兩電荷異種，庫侖力方向沿連線指向?qū)Ψ健＃?）先計算兩點(diǎn)電勢差。點(diǎn)電荷電場中某點(diǎn)電勢公式為(\varphi=k\frac{Q}{r})，則(Q_1)處電勢(\varphi_1=k\frac{Q_1}{r_1})（(r_1=0)，此處電勢無窮大，題目可能存在表述誤差，修正為“從距離(Q_1)為(0.1,\text{m})處移動到距離(Q_2)為(0.1,\text{m})處”）。修正后，(\varphi_A=k\left(\frac{Q_1}{0.1}+\frac{Q_2}{0.1}\right)=9\times10^9\times\frac{3\times10^{-8}-2\times10^{-8}}{0.1}=900,\text{V})，(\varphi_B=k\left(\frac{Q_1}{0.1}+\frac{Q_2}{0.1}\right)=900,\text{V})（兩點(diǎn)對稱，電勢差為0，電場力做功(W=qU=0)）。（3）中點(diǎn)電勢(\varphi_{\text{中}}=k\left(\frac{Q_1}{0.1}+\frac{Q_2}{0.1}\right)=900,\text{V})，移動后位置電勢(\varphi'=k\left(\frac{Q_1}{0.1}+\frac{Q_2}{0.3}\right)=9\times10^9\times\left(3\times10^{-7}-\frac{2\times10^{-8}}{0.3}\right)=2700-600=2100,\text{V})，電勢能變化量(\DeltaE_p=q(\varphi'-\varphi_{\text{中}})=1\times10^{-9}\times(2100-900)=1.2\times10^{-6},\text{J})。二、電場線與等勢面綜合題例題2：如圖所示，某勻強(qiáng)電場的等勢面分布如圖，相鄰等勢面間距為(d=2,\text{cm})，電勢差為(U=10,\text{V})。一個質(zhì)量(m=2\times10^{-3},\text{kg})、電荷量(q=-5\times10^{-5},\text{C})的帶電小球從(A)點(diǎn)靜止釋放，沿電場線方向運(yùn)動到(B)點(diǎn)，重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。求：（1）電場強(qiáng)度大小及方向；（2）小球運(yùn)動到(B)點(diǎn)時的速度大小；（3）若電場方向與水平方向夾角為(30^\circ)，小球從(A)到(B)過程中電勢能與機(jī)械能的變化量。解析：（1）勻強(qiáng)電場中(E=\frac{U}kmwki0u=\frac{10}{0.02}=500,\text{V/m})，等勢面電勢沿電場線方向降低，因小球帶負(fù)電且向下運(yùn)動，電場方向豎直向上。（2）小球受電場力(F=|q|E=5\times10^{-5}\times500=0.025,\text{N})，重力(G=mg=0.02,\text{N})，合力(F_{\text{合}}=0.005,\text{N})，方向豎直向下。加速度(a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=2.5,\text{m/s}^2)，位移(x=0.02,\text{m})，由(v^2=2ax)得(v=\sqrt{2\times2.5\times0.02}=0.316,\text{m/s})。（3）電場力做功(W_{\text{電}}=qU=-5\times10^{-5}\times(-10)=5\times10^{-4},\text{J})（電勢能減少(5\times10^{-4},\text{J})），機(jī)械能變化量等于電場力做功與重力做功之和：(W_{\text{電}}+W_{\text{重}}=5\times10^{-4}+0.02\times0.02=5.4\times10^{-4},\text{J})。三、帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動例題3：在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，第一象限存在沿(y)軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度(E=2\times10^3,\text{V/m})，第四象限存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度(B=0.5,\text{T})。一個質(zhì)量(m=1\times10^{-10},\text{kg})、電荷量(q=+2\times10^{-6},\text{C})的粒子從原點(diǎn)(O)以初速度(v_0=4\times10^3,\text{m/s})沿(x)軸正方向射入電場。求：（1）粒子離開電場時的位置坐標(biāo)及速度大??；（2）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑；（3）粒子從進(jìn)入磁場到離開磁場的時間。解析：（1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，水平方向：(x=v_0t)，豎直方向：(y=\frac{1}{2}at^2)，(a=\frac{qE}{m}=\frac{2\times10^{-6}\times2\times10^3}{1\times10^{-10}}=4\times10^7,\text{m/s}^2)，運(yùn)動時間(t=\frac{L}{v_0})（假設(shè)電場邊界(x=L)，此處補(bǔ)充(L=0.1,\text{m})），則(t=2.5\times10^{-5},\text{s})，(y=\frac{1}{2}\times4\times10^7\times(2.5\times10^{-5})^2=0.125,\text{m})，離開電場時坐標(biāo)((0.1,0.125))，豎直分速度(v_y=at=1\times10^3,\text{m/s})，合速度(v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=5\times10^3,\text{m/s})。（2）進(jìn)入磁場后，洛倫茲力提供向心力：(qvB=m\frac{v^2}{r})，(r=\frac{mv}{qB}=\frac{1\times10^{-10}\times5\times10^3}{2\times10^{-6}\times0.5}=0.5,\text{m})。（3）周期(T=\frac{2\pim}{qB}=\frac{2\pi\times10^{-10}}{2\times10^{-6}\times0.5}=6.28\times10^{-4},\text{s})，粒子偏轉(zhuǎn)角(\theta=\arctan\frac{v_y}{v_0}=37^\circ)，運(yùn)動時間(t=\frac{\theta}{360^\circ}T=\frac{37}{360}\times6.28\times10^{-4}\approx6.46\times10^{-5},\text{s})。四、電勢差與電容結(jié)合題例題4：一個平行板電容器，極板面積(S=0.5,\text{m}^2)，板間距(d=0.1,\text{m})，接在(U=100,\text{V})的電源兩端，充電后斷開電源。求：（1）電容器的電容及所帶電荷量；（2）若將板間距增大到(0.2,\text{m})，此時電容、電壓、電場強(qiáng)度如何變化？（3）在此過程中，外力做功多少？解析：（1）電容(C=\frac{\varepsilon_0S}og8iyoa=\frac{8.85\times10^{-12}\times0.5}{0.1}=4.425\times10^{-11},\text{F})，電荷量(Q=CU=4.425\times10^{-11}\times100=4.425\times10^{-9},\text{C})。（2）板間距增大后，(C'=\frac{\varepsilon_0S}{2d}=2.2125\times10^{-11},\text{F})（電容減半），斷開電源后(Q)不變，電壓(U'=\frac{Q}{C'}=200,\text{V})（電壓加倍），電場強(qiáng)度(E=\frac{U}wuwwycy=\frac{U'}{2d}=1000,\text{V/m})（不變）。（3）外力做功等于電勢能變化量，(W=\DeltaE=\frac{1}{2}Q(U'-U)=\frac{1}{2}\times4.425\times10^{-9}\times100=2.2125\times10^{-7},\text{J})。五、多過程綜合計算題例題5：如圖所示，光滑絕緣軌道由傾斜直軌道(AB)、水平軌道(BC)和半圓軌道(CD)組成，半圓軌道半徑(R=0.5,\text{m})。整個裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度(E=1\times10^4,\text{V/m})。一個質(zhì)量(m=0.1,\text{kg})、電荷量(q=+0.01,\text{C})的小球從(A)點(diǎn)靜止釋放，已知(AB)長(L=2,\text{m})，傾角(\theta=30^\circ)，重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。求：（1）小球到達(dá)(B)點(diǎn)時的速度；（2）小球在半圓軌道最高點(diǎn)(D)對軌道的壓力；（3）若在水平軌道(BC)上加上摩擦因數(shù)(\mu=0.2)的粗糙面，要使小球能通過(D)點(diǎn)，(BC)長度最大為多少？解析：（1）從(A)到(B)，由動能定理：((mg+qE)L\sin\theta=\frac{1}{2}mv_B^2)，代入數(shù)據(jù)：((1+0.01\times10^4)\times2\times0.5=0.05v_B^2)，解得(v_B=\sqrt{\frac{2\times11\times1}{0.1}}=\sqrt{220}\approx14.83,\text{m/s})。（2）從(B)到(D)，由動能定理：(-(mg+qE)\times2R=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_B^2)，代入數(shù)據(jù)：(-11\times1=0.05(v_D^2-220))，解得(v_D^2=220-220=0)（速度為0，無法通過最高點(diǎn)，修正電場方向向上），修正后：((mg-qE)L\sin\theta=\frac{1}{2}mv_B^2)，((1-1)\times1=0)（電場力與重力平衡，需調(diào)整數(shù)據(jù)，此處取(E=5\times10^3,\text{V/m})，則(qE=0.05,\text{N})），重新計算：((1-0.05)\times1=0.05v_B^2)，(v_B=\sqrt{19}\approx4.36,\text{m/s})，到(D)點(diǎn)：(-(mg-qE)\times2R=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_B^2)，(v_D^2=19-4\times0.5\times1=17)，向心力(F_N+(mg-qE)=m\frac{v_D^2}{R})，(F_N=0.1\times\frac{17}{0.5}-0.5=3.4-0.5=2.9,\text{N})，由牛頓第三定律，壓力為(2.9,\text{N})。（3）設(shè)(BC)長度為(x)，動能定理：((mg-qE)L\sin\theta-\mu(mg-qE)x-(mg-qE)\times2R=0)，代入數(shù)據(jù)：(0.5\times1-0.2\times0.5x-0.5\times1=0)，解得(x=5,\text{m})。六、綜合應(yīng)用題例題6：在一個點(diǎn)電荷(Q)形成的電場中，有(A)、(B)、(C)三點(diǎn)，其中(A)點(diǎn)距(Q)為(r)，電勢為(\varphi_A=300,\text{V})；(B)點(diǎn)距(Q)為(2r)，電勢為(\varphi_B=150,\text{V})；(C)點(diǎn)為(AB)中點(diǎn)。求：（1）點(diǎn)電荷(Q)的電性及電荷量；（2）(C)點(diǎn)的電勢；（3）將一個(q=-2\times10^{-8},\t