平面與空間點、直線、面之間的位置關系1平面無限延展，無邊界.判斷一張紙是一個平面(×)；平面ABCD就是四邊形ABCD(×)；兩個平面可相交于一點(×).原因均是平面是無限延展的.2三個基本事實與三個推論①基本事實1不共線的三點確定一個平面.PS“確定”的意思是“有且只有”，過不共線三點的平面有且只有一個，故說確定一個平面.判斷三點確定一個平面(×)；原因是三點未必共線.用途:用于確定平面.②基本事實2如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi).用途:常用于證明直線在平面內(nèi).③基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.用途:常用于證明線在面內(nèi)，證明點在線上.推論1:直線與直線外的一點確定一個平面.推論2:兩條相交直線確定一個平面.推論3:兩條平行直線確定一個平面.3圖形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化PS點用大寫字母表示，直線用小寫字母表示，平面用希臘字母表示.2空間點，直線，面之間的位置關系①線線的位置關系(1)空間直線的位置關系共面(2)平行線的傳遞公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表述:a//b,b//c?a//c(3)等角定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.(4)異面直線:(i)定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線——(ii)符號語言P?α②線面的位置關系(1)直線與平面的位置關系l(2)圖形語言例若直線a在平面M內(nèi)，直線m平行直線a，則直線m與平面M的位置關系是答案m//M或者m?M.③面面的位置關系(1)平面與平面的位置關系(2)圖形語言【題型一】平面的確定【典題1】設P表示一個點，a,b表示兩條直線，α,β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是 ()．①P∈a,P∈α?a?α③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?αA【解析】對于①當a∩α=P時，P∈a,P∈α，但a?α，①錯；對于②a∩β=P時，②錯；對于③如圖，∵a//b,P∈b,∴P?a,∴由直線a與點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過直線a與點P,∴β與α重合，∴b?α,故③正確；對于④P∈α,P∈β?點P是平面α、β的公共點，α∩β=b?線b是平面α、β的交線，而兩平面的交點必在其交線上，故【點撥】①熟悉點、線、面及其之間關系的符號表示；②判斷盡量利用畫圖進行思考，若要排除選項則舉出一反例；③確定平面的方法不共線的三點確定一個平面、直線與直線外的一點確定一個平面、兩條相交直線確定一個平面、兩條平行直線確定一個平面.【典題2】在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，【解析】在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN【點撥】其實就是過三直線A1D1，EF，CD則直線MN為所求直線，而這樣的平面有無數(shù)個，則直線MN有無數(shù)條.【題型二】三點共線、三線共點、四點共面【典題1】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P,Q,R分別在棱AB,BB1【證明】∵P∈直線AB,D∈直線CD，∴P∈平面ABCD.D∈平面ABCD.∴直線DP平面ABCD.又∵O∈直線DP，∴O∈平面ABCD.同理可證，O∈平面BCC∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直線BC，∴∴O,B,C三點共線.【點撥】①本題利用了基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.②證明三點A、B、C共線，一般思路是證明點A【典題2】如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D求證:(1)E、C、D【證明】(1)連接EF,C∵E、F分別是AB又A1∴直線(2)∵EF//CD1,EF<CD1則由P∈CE,CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面AD又平面ABCD∩平面ADD∴P∈直線DA∴CE、【點撥】①證明四點共面可轉(zhuǎn)化為兩線共面，即證明兩直線必定相交或平行(利用推論2：兩相交線確定一個平面和推論3：兩條平行直線確定一個平面)；②證明三線a,b,c共點P，一般思路是(1)先設兩直線a,b相交于點P,再證明點P∈c.(2)證明a與b相交于點P，c與b相交于點M，再證明兩交點P、③證明多線共面，首先由其中兩直線確定平面，再證其余直線在此平面內(nèi).鞏固練習1(★★)一塊蛋糕切三道最多可以切塊？【答案】82(★)下列命題正確的是()Ａ.經(jīng)過三點確定一個平面Ｂ.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面Ｃ.四邊形確定一個平面Ｄ.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面【答案】D【解析】對于A,若三點共線時就錯了；對于B，若點在直線上，是不能確定一個平面的；對于C，空間四邊形就不屬于平面圖形，注意四邊形在立體幾何里分為平面四邊形和空間四邊形了。3(★)以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是()①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、③若直線a、b共面，直線a、④依次首尾相接的四條線段必共面．A.0【答案】B【解析】①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面．這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、4(★★)空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，若BD=1，則AC的取值范圍是________．【答案】(0，3)【解析】如圖所示，△ABD與△BCD均為邊長為1的正三角形，當△ABD與△CBD重合時，AC=0，將△ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動，到A，B5(★★★)如圖，已知E、F、G、H分別是正方體ABCD—【證明】連結(jié)C1B，HE，F(xiàn)G，由題意知∴四邊形HC1BE是平行四邊形．又C1G=GC=CF=BF，故GF=∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG設交點為K，則K∈HG，HG?平面D1C∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴∵平面D1C1∴K∈DC，∴6(★★★)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1求證點D1，E，【證明】連接D1E，D1F，并分別延長，使D1E的延長線與DA的延長線交于點 ∵D1，E，F(xiàn)三點不共線，∴D1，又∵點E是AA1的中點，∴EA//DD1,EA=1同理可得，點C是DH的中點.∴CH=BC=BA=GA.又∵四邊形ABCD是正方形，∴連接BH，BG.∴∴∴∴G，又G，H∈α，∴GHα，而B∈∴D1，【題型三】點、線、面的位置關系【典題1】分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是()Ａ.異面直線 Ｂ.相交直線 Ｃ.不相交直線 Ｄ.不平行直線【解析】已知直線a與b是異面直線，直線AB與直線CD分別與兩條直線a與直線b相交與點A,B，C,D，

根據(jù)題意可得當點D與點B重合時，兩條直線相交，當點D與點B不重合時，兩條直線異面．下面證明兩條直線不平行假設直線AB與直線CD平行，則A,B,C,D四點共面，所以直線BD與直線AC共面，這與直線a、直線b異面相互矛盾，所以假設錯誤，即直線AB與直線CD不平行．所以分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定不平行．故選D．【點撥】證明兩條直線不平行時，利用了反證法.【典題2】若直線l不平行于平面a，且l?a，則()A.a內(nèi)所有直線與l異面 B.a內(nèi)不存在與l平行的直線C.a內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D.a內(nèi)的直線與l都相交【解析】若直線l不平行于平面a，且l?a,則l與平面a相交，a內(nèi)與l相交的直線在同一面內(nèi)，故A選項錯誤．直線l與面相交的點，過此點的所有直線均與l相交，平面內(nèi)其他的線則不與其相交，故C，D項說法錯誤．若a內(nèi)存在與l平行的直線，則根據(jù)線面平行的判定定理可知l與面a平行，已知直線l不平行于平面a，故a內(nèi)不存在與l平行的直線，B項說法正確．故選B．【點撥】①線面的位置關系有：在面內(nèi)②在證明選項B的時候利用了反證法.【典題3】如果三個平面將空間分成6個互不重疊的部分，則這三個平面的位置是()A．兩兩相交于三條交線B．兩個平面互相平行，另一平面與它們相交C．兩兩相交于同一條直線D．B中情況或C中情況都可能發(fā)生【解析】A選項中，若三個平面兩兩相交，且有三條交線，則把空間分成7或8部分；故A不正確．B選項中，若兩個平面互相平行，另一平面與它們相交，則把空間分成6部分；故B正確．C選項中，若三個平面兩兩相交于同一條直線，則把空間分成6部分；故C正確．故選D．【點撥】本題考核空間想象能力，要注意多種情況,可根據(jù)交線的條數(shù)進行分類討論.鞏固練習1(★)在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH【答案】②④【解析】圖①中，直線GH∥圖②中，G、H、N三點共面，但M?圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN所以圖②、④中GH與MN異面．2(★)已知直線m,n,l，若m∥n,n∩l=P，則m與l的位置關系是()A．異面直線 B．相交直線C．平行直線 D．相交直線或異面直線【答案】D【解析】如圖，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴ABAB∥CD，CD∩AD=D，∴AB與∴若m∥n，n∩l=P，則l與m的位置關系相交或異面．故選D．3(★)下列命題中正確的個數(shù)是()①若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l∥②若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行.③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行.④若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】B,只有④對．4(★)平面α與平面β,γ都相交，則這三個平面可能有（）A．1條或2條交線 B．2條或3條交線C．僅2條交線D．1條或2條或3條交線【答案】D【解析】①若平面β∥平面γ，平面α與平面β，γ都相交，則它們有2條交線，且這②