/2025-2026學(xué)年上海市上學(xué)期九年級9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題

1.下列圖形一定是相似圖形的是（

）A.兩個(gè)正方形 B.兩個(gè)等腰三角形

C.兩個(gè)直角三角形 D.兩個(gè)矩形

2.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，下列比例式中不能判斷DEA.ADAB=AEAC B.ADAE=DBEC

3.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD交于O，下列等式正確的是（

）

A.S△AODS△AOB=ADAB B.S△CODS△4.下列五幅圖均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有(

)

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

5.如圖，DE∥BC，A.ADDB=BFEC B.ABBC=

6.如圖，銳角△ABC中，AB>AC>BC，現(xiàn)想在邊AB上找一點(diǎn)D，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得∠ADE與∠C相等，以下是甲、乙兩位同學(xué)的作法：（甲）分別過點(diǎn)B、C作AC、AB的垂線，垂足分別是E、D，則D、E即所求；（乙）取AC中點(diǎn)F，作DF⊥AC，交AB于點(diǎn)D，取AB中點(diǎn)H，作EH⊥AB，交A.甲正確乙錯(cuò)誤 B.甲錯(cuò)誤乙正確 C.甲、乙皆正確 D.甲、乙皆錯(cuò)誤二、填空題

7.已知線段a=5cm，b

8.線段AB是線段MN、CD的比例中項(xiàng)，且AB=3cm，MN

9.某班同學(xué)要測量學(xué)校升國旗的旗桿高度，在同一時(shí)刻，量得某同學(xué)的身高是1.5米，影長是1米，且旗桿的影長為8米，則旗桿的高度是

米.

10.如圖，AE=5，AC=8，AB=10，當(dāng)BD

11.如圖，AD∥EF∥BC，AEEB=2

12.△ABC中，點(diǎn)D、E在AB、AC上，AD=2BD，AE=

13.Rt△ABC，∠ACB=90°，

14.如圖，D在△ABC的邊BC上，BD=10，CD=5，AC

15.線段AB=8，C為AB的黃金分割點(diǎn)，且AC<

16.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠AED=∠ABC，如果

17.P是△ABC一邊上的一點(diǎn)（P不與A、B、C重合），過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”．Rt△ABC中，∠C=90

18.如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為三、解答題

19.解方程：x

20.在Rt△ABC中，∠BAC=90（1）證明：△ABD（2）若AB=3，BC=

21.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，AF:BF=

22.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上，PA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，DP⊥BC，垂足為點(diǎn)P，（1）求證：∠APD（2）如果AB=3，DC=

23.如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且AE⊥（1）求證：AD（2）F為線段AE延長線上一點(diǎn)，且滿足EF=CF=

24.如圖，函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,2．過點(diǎn)A作AC∥y軸，AC=1（點(diǎn)C位于點(diǎn)A的下方），過點(diǎn)C作CD∥x軸，與函數(shù)（1）求△ACD（2）延長EB交AD于點(diǎn)F，當(dāng)AC=2BE（3）連接OA，取OA中點(diǎn)Q，以線段OQ為較長直角邊作Rt△OPQ，使△OPQ與△

25.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,AB=5,BC=10，點(diǎn)E（1）如果AD=5，求邊（2）將△ECG沿直線EF翻折，如果點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)M恰好落在射線AD上，求BE（3）在1條件下，連接DE．如果△FDG與△FED相似，求

參考答案與試題解析2025-2026學(xué)年上海市上學(xué)期九年級9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.【答案】A【考點(diǎn)】相似多邊形的概念【解析】本題主要考查了相似圖形的判斷，準(zhǔn)確結(jié)合所給圖形的性質(zhì)判斷是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的特征逐一判斷即可．【解答】兩個(gè)正方形一定是相似圖形，故選項(xiàng)A符合題意；兩個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角不一定相同，所以不一定相似，故選項(xiàng)B不符合題意；兩個(gè)直角三角形中兩個(gè)銳角的角度不一定相同，所以不一定相似，故選項(xiàng)C不符合題意；兩個(gè)矩形的鄰邊之比不一定相等，所以不一定相似，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．2.【答案】D【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握兩組對邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．【解答】解：A.∵ADAB∴△ADE∴∠ADE∴DE∥BCB.∵∴ADDB=又∵∠A∴△ADE∴∠ADE∴DE∥BCC.∵∴AB又∵∠A∴△ADE∴∠ADE∴DE∥BCD.ADAB=DEBC故選D．3.【答案】C【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式，關(guān)鍵在于求出△ABO【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠CDO=∠OBA，∠DCO=∠OAB，S△ACD=S△BCD，

∴△ABO∽△CDO，

4.【答案】B【考點(diǎn)】相似三角形的判定勾股定理【解析】可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長度即可解題．【解答】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)AC=2，BC=22，AB=10，

故該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比值為1：2.

第1個(gè)圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角形，故與△ABC相似；

第2個(gè)圖形中，是直角三角形，但兩直角邊的比值為1:1，故不與△ABC相似；

第3個(gè)圖形中，不是直角三角形，故不與△ABC相似；

第4個(gè)圖形中，有兩邊為5，255.【答案】D【考點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【解析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．【解答】∵∴∵∴∴故選：D．6.【答案】C【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)作垂線(尺規(guī)作圖)等腰三角形的判定與性質(zhì)已知圓內(nèi)接四邊形求角度【解析】根據(jù)甲乙兩人作圖的作法即可證出結(jié)論．【解答】甲：如圖，∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠BEC=90°，

∴B，D，E，C四點(diǎn)共圓，

∴∠ADE=∠ACB，

∴甲正確；

乙：如圖，∵取AC中點(diǎn)F，作DF⊥AC，交AB于點(diǎn)D，取AB中點(diǎn)H，作EH⊥AB，交AC于點(diǎn)E，

∴AD=DC,AE=EB，

二、填空題7.【答案】5【考點(diǎn)】成比例線段【解析】本題考查比例線段，先統(tǒng)一單位然后求比值即可．【解答】解：b=∴a故答案為：5:8.【答案】9【考點(diǎn)】成比例線段【解析】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，根據(jù)兩條線段的比例中項(xiàng)的平方是兩條線段的乘積，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【解答】解：∵線段AB是線段MN、CD的比例中項(xiàng)，∴AB∴CD故答案為：949.【答案】12．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用【解析】在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答．【解答】解：設(shè)旗桿高度為x，則x8解得x=故答案為12．10.【答案】15【考點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值【解析】本題考查平行線截線段對應(yīng)成比例，根據(jù)平行線截線段對應(yīng)成比例求解即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，

∴ADAB=AEAC，即AD10=5811.【答案】10【考點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值【解析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線段成比例定理列出比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵AD∴AEBE=解得：CF=∴DC故答案為：10．12.【答案】4【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到AD:AB=【解答】解：如圖，∵AD=2∴AD:AB∴AD又∵∠A∴△ADE∴DE∴DE故答案為：13.【答案】2【考點(diǎn)】重心的有關(guān)性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線【解析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CD【解答】解：如圖，∵G為△ABC的重心，

∴CD是△ABC的中線，CG=2DG，

∵∠ACB=90°14.【答案】36【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用【解析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，如圖，過C作CQ⊥AD于Q，過A作AH⊥BC于H，先求解【解答】解：如圖，過C作CQ⊥AD于Q，過A作AH⊥∵CD=5，AC∴AQ∴CQ∴1∴AH∴S故答案為：3615.【答案】12【考點(diǎn)】黃金分割【解析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段與較短線段的比等于整個(gè)線段與較長線段的比，即較長線段是整個(gè)線段的5?12倍，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)．根據(jù)黃金分割的定義得到BC【解答】解：如圖，線段AB=8，C為AB的黃金分割點(diǎn)且∴BC∴BC∴AC故答案為：12?16.【答案】20【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠AED=∠ABC∴△AED∴ADAC=∴AC故答案為：20317.【答案】3條【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】根據(jù)三角形相似的判定，結(jié)合定義解答即可．本題考查了三角形相似的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【解答】解：過點(diǎn)P作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，則過點(diǎn)P作PF∥AB交BC于點(diǎn)F，則過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，∠A=∠A共有3條，故答案為：3條．．18.【答案】19【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算勾股定理的應(yīng)用根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長利用菱形的性質(zhì)求線段長【解析】連接BF并延長交DC于點(diǎn)G，證明四邊形BCGE是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)∠DAB=60°，得出DE⊥AB，AE=1，【解答】解：如圖所示，連接BF并延長交DC于點(diǎn)G，連接EG,GB，∵菱形ABCD的邊長為2，∠DAB∴△ABD和△∴AB∵F為CE的中點(diǎn)，菱形ABCD∴CG?//∴∠CGF=∠EBF∴△CGF∴CG∴四邊形BCGE是平行四邊形，又∵E是AB∴CG=1∴四邊形DEBG是平行四邊形，∴BF又∵E是AB∴DE∴四邊形DEBG是矩形，∴AE=1，DE∴BF在△AFB中，AF故答案為：192三、解答題19.【答案】x【考點(diǎn)】此題暫無考點(diǎn)【解析】本題考查分式方程的解法，涉及因式分解、分式方程的求解步驟（去分母化為整式方程、求解整式方程、檢驗(yàn)）等知識點(diǎn)．解題關(guān)鍵是通過因式分解找到最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；易錯(cuò)點(diǎn)是忘記檢驗(yàn)，容易把使分母為零的增根當(dāng)成有效解．要解這個(gè)分式方程，首先對分母進(jìn)行因式分解，確定最簡公分母為x?【解答】解：x方程兩邊同乘x?xxxx解得x=1或檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x=5時(shí)，所以，原方程的解為x=20.【答案】（1）見解析（2）BD【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】（1）證明∠BDA=∠BAC（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）證明：∵AD是斜邊BC∴∠BDA∵∠BAC∴∠BDA∵∠B∴△ABD（2）解：∵△ABD∴BD∵AB=3∴BD∴BD21.【答案】AG【考點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．首先延長FE交CD的延長線于點(diǎn)H，由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得△AEF∽△DEH，△AFG∽△CHG，又由【解答】延長FE交CD的延長線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠BAE=∠ADH∴△AEF同理可得△AFG∴AE∵E為AD∴DH∵△AFG∴AG∵AF∴AF∴AF∴AG22.【答案】（1）見解析（2）3【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】（1）通過證明Rt△ABP∽Rt△（2）通過證明△APC∽△ADP【解答】解：

證明：1∵PA⊥AB，DP⊥BC，

∴∠BAP=∠DPC=90°，

∵APPD=BPCD

∴APBP=PDCD，

∴Rt△ABP∽Rt△PCD，

∴∠B=∠C，∠APB=∠23.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）等腰三角形的判定與性質(zhì)利用矩形的性質(zhì)證明相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】（1）由矩形性質(zhì)得到∠BAD=90°，∠ADE=90°，（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到OA=OD=EF=【解答】解：（1）證明：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠ABD∵AE⊥∴∠DAE∴∠ABD∵∠BAD∴△ADE∴ADBA=∵AB=∴AD（2）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖所示：在矩形ABCD中，∠ADE=90∵AE⊥∴∠DAE∴∠ADB∵∠FEC∴∠ADO在矩形ABCD中，OA=∵EF=∴OA∴∠ADO=∠OAD∵∠ADO∴∠ADO在△ODA和△∠∴△ODA∴CE24.【答案】（1）1（2）1（3）P112,32【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式勾股定理的應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定【解析】（1）先求出反比例函數(shù)的解析式，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出三角形的面積；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求解；（3）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，過點(diǎn)Q作MN⊥OA交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)M，可得點(diǎn)P在MN上且點(diǎn)P為QM或QN的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)解題即可．同理，過點(diǎn)O作直線l⊥OQ，過點(diǎn)【解答】（1）解：y=k∴k∵AC∥y∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,∵CD∥x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為4,∴∴S（2）∵AC=∴BE∵BE點(diǎn)B的縱坐標(biāo)=由反比例函數(shù)y=點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x=設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，代入2k+b∴y當(dāng)x=83∴BF（3）過點(diǎn)Q作MN⊥OA交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)∵Q是OA∴點(diǎn)Q坐