2026屆廣東省深圳市羅湖區(qū)數學九上期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．二次函數y=a+bx+c的圖象如圖所示，則下列關系式錯誤的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．﹣4ac＞0 D．a+b+c＜02．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．若點A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20°，則∠ADC的度數是A．55° B．60° C．65° D．70°3．已知二次函數的與的部分對應值如表：下列結論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；④拋物線與軸的兩個交點間的距離是；⑤若是拋物線上兩點，則；⑥.其中正確的個數是()A． B． C． D．4．袋中裝有5個白球，3個黑球，除顏色外均相同，從中一次任摸出一個球，則摸到黑球的概率是（）A． B． C． D．5．已知反比例函數y=的圖象經過點P（﹣1，2），則這個函數的圖象位于（）A．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限6．在下列四個汽車標志圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，則cosA＝（）A． B． C． D．8．如果反比例函數y＝的圖象經過點(﹣5，3)，則k＝（）A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣169．小敏打算在某外賣網站點如下表所示的菜品和米飯.已知每份訂單的配送費為3元，商家為促銷，對每份訂單的總價（不含配送費）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元.如果小敏在購買下表的所有菜品和米飯時，采取適當的下單方式，那么他的總費用最低可為（）菜品單價（含包裝費）數量水煮牛肉（小）30元1醋溜土豆絲（?。?2元1豉汁排骨（?。?0元1手撕包菜（小）12元1米飯3元2A．48元 B．51元 C．54元 D．59元10．在平面直角坐標系中，把點繞原點順時針旋轉，所得到的對應點的坐標為（）A． B． C． D．11．若兩個相似三角形的周長之比為1∶4，則它們的面積之比為（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶1612．下列事件是必然事件的（）A．拋擲一枚硬幣，四次中有兩次正面朝上B．打開電視體育頻道，正在播放NBA球賽C．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)D．若a是實數，則|a|≥0二、填空題（每題4分，共24分）13．已知線段a＝4，b＝16，則a，b的比例中項線段的長是_______．14．已知函數，如果，那么___________.15．如圖，點、、…在反比例函數的圖象上，點、、……在反比例函數的圖象上，，且，則（為正整數）的縱坐標為______．（用含的式子表示）16．如圖，點，，，在上，，，，則________．17．反比例函數圖像經過點（2，－3），則它的函數表達式是．18．如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則cosα＝_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過操作發(fā)現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大．（1）請通過計算說明小明的猜想是否正確；（2）如圖②，在△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AD＝10，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求矩形PQMN面積的最大值；（3）如圖③，在五邊形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．20．（8分）為了測量山坡上的電線桿PQ的高度，某數學活動小組的同學們帶上自制的測傾器和皮尺來到山腳下，他們在A處測得信號塔頂端P的仰角是45°，信號塔底端點Q的仰角為30°，沿水平地面向前走100米到B處，測得信號塔頂端P的仰角是60°，求信號塔PQ得高度．21．（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，于點H，點E是AH上一點，延長AH至點F，使.求證：四邊形EBFC是菱形.22．（10分）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直徑．23．（10分）如圖，有一個斜坡，坡頂離地面的高度為20米，坡面的坡度為，求坡面的長度.24．（10分）如圖1，AB是⊙O的直徑，過⊙O上一點C作直線l，AD⊥l于點D．（1）連接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求證:直線l是⊙O的切線；（1）將圖1的直線l向上平移，使得直線l與⊙O交于C、E兩點，連接AC、AE、BE，得到圖1．若∠DAC=45°，AD=1cm，CE=4cm，求圖1中陰影部分(弓形)的面積．25．（12分）如圖，在銳角△ABC中，小明進行了如下的尺規(guī)作圖：①分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點P、Q②作直線PQ分別交邊AB、BC于點E、D．（1）小明所求作的直線DE是線段AB的；（2）聯結AD，AD＝7，sin∠DAC＝17，BC＝9，求AC26．如圖，在中，，為邊上的中點，交于點，.（1）求的值；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】試題分析：根據拋物線的開口方向對A進行判斷；根據拋物線的對稱軸位置對B進行判斷；根據拋物線與x軸的交點個數對C進行判斷；根據自變量為1所對應的函數值為正數對D進行判斷．A、拋物線開口向下，則a＜0，所以A選項的關系式正確；B、拋物線的對稱軸在y軸的右側，a、b異號，則b＞0，所以B選項的關系式正確；C、拋物線與x軸有2個交點，則△=b2﹣4ac＞0，所以D選項的關系式正確；D、當x=1時，y＞0，則a+b+c＞0，所以D選項的關系式錯誤．考點：二次函數圖象與系數的關系2、C【分析】根據旋轉的性質和三角形內角和解答即可．【詳解】∵將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°-20°=70°，∵點A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故選C．此題考查旋轉的性質，關鍵是根據旋轉的性質和三角形內角和解答．3、B【分析】先利用待定系數法求出拋物線解析式，則可對①進行判斷；求出拋物線的對稱軸則可對②進行判斷；利用拋物線與x軸的兩個交點可對③④進行判斷；根據二次函數的增減性可對⑤進行判斷；根據a、b、c的具體數值可對⑥進行判斷．【詳解】解：由表格可知：拋物線與x軸的交點坐標為（0，0），（4，0），∴設拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得：5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x，所以①正確；∵（0，0）與（4，0）關于拋物線的對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，所以②正確；∵拋物線的開口向上，且與x軸交于點（0，0）、（4，0），∴當0＜x＜4時，y＜0，所以③錯誤；拋物線與x軸的兩個交點（0，0）與（4，0）間的距離是4，所以④正確；若A（x1，2），B（x2，3）是拋物線上兩點，則，所以x1與x2的大小不能確定，所以⑤錯誤；∵a=1，b=－4，c=0，∴，所以⑥錯誤．綜上，正確的個數有3個，故選：B．本題考查了二次函數的性質、待定系數法求二次函數的解析式、拋物線與x軸的交點以及二次函數與不等式等知識，屬于常見題型，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．4、B【解析】先求出球的總個數，根據概率公式解答即可．【詳解】因為白球5個，黑球3個一共是8個球，所以從中隨機摸出1個球，則摸出黑球的概率是．故選B．本題考查了概率公式，明確概率的意義是解答問題的關鍵，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．5、D【分析】此題涉及的知識點是反比例函數的圖像與性質，根據點坐標P（﹣1，2）帶入反比例函數y=中求出k值就可以判斷圖像的位置．【詳解】根據y=的圖像經過點P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即圖像經過二四象限.故選D此題重點考察學生對于反比例函數圖像和性質的掌握，把握其中的規(guī)律是解題的關鍵．6、B【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合．因此，符合此定義的只有選項B．故選B．7、D【分析】根據勾股定理求出AC，根據余弦的定義計算得到答案．【詳解】由勾股定理得，AC＝＝＝，則cosA＝＝＝，故選：D．本題考查的是銳角三角函數的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．8、D【分析】將點的坐標代入反比例函數解析式中可求k的值．【詳解】∵反比例函數的圖象經過點(﹣5，3)，∴k+1=﹣5×3=﹣15，∴k=﹣16故選：D．本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，掌握圖象上的點的坐標滿足解析式是本題的關鍵．9、C【分析】根據滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元，即可得到結論．【詳解】小宇應采取的訂單方式是60一份，30一份，所以點餐總費用最低可為60?30＋3＋30?12＋3＝54元，答：他點餐總費用最低可為54元．故選C.本題考查了有理數的加減混合運算，正確的理解題意是解題的關鍵．10、C【分析】根據題意得點P點P′關于原點的對稱，然后根據關于原點對稱的點的坐標特點即可得解.【詳解】∵P點坐標為（3，-2），∴P點的原點對稱點P′的坐標為（-3，2）．故選C．本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.11、D【分析】相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.【詳解】∵兩個相似三角形的周長之比為1∶4∴它們的面積之比為1∶16故選D.本題考查相似三角形的性質，本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握相似三角形的性質，即可完成.12、D．【解析】試題解析：A、是隨機事件，不符合題意；B、是隨機事件，不符合題意；==C、是隨機事件，不符合題意；D、是必然事件，符合題意．故選D．考點：隨機事件．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】設線段a，b的比例中項為c，根據比例中項的定義可得c2＝ab，代入數據可直接求出c的值，注意兩條線段的比例中項為正數．【詳解】解：設線段a，b的比例中項為c，∵c是長度分別為4、16的兩條線段的比例中項，∴c2＝ab＝4×16，∴c2＝64，∴c＝1或-1（負數舍去），∴a、b的比例中項為1；故答案為：1．本題主要考查了比例線段．掌握比例中項的定義，是解題的關鍵．14、1【分析】把x=2代入函數關系式即可求得．【詳解】f（2）=3×22-2×2-1=1，

故答案為1．此題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵在于掌握函數圖象上點的坐標適合解析式．15、【分析】先證明是等邊三角形，求出的坐標，作高線，再證明是等邊三角形，作高線，設，根據，解方程可得等邊三角形的邊長和的縱坐標，同理依次得出結論，并總結規(guī)律：發(fā)現點、、…在軸的上方，縱坐標為正數，點、、……在軸的下方，縱坐標為負數，可以利用來解決這個問題．【詳解】過作軸于，∵，，是等邊三角形，，，和，過作軸于，∵，是等邊三角形，設，則，中，，，∵，解得：（舍），，，，即的縱坐標為；過作軸于，同理得：是等邊三角形，設，則，中，，，∵，解得：（舍），；，，即的縱坐標為；…（為正整數）的縱坐標為：；故答案為；本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，等邊三角形的性質和判定，直角三角形度角的性質，勾股定理，反比例函數圖象上點的坐標特征，并與方程相結合解決問題．16、70°【分析】根據=，得到，根據同弧所對的圓周角相等即可得到，根據三角形的內角和即可求出.【詳解】∵=，∴，∴，∵，∴．故答案為考查圓周角定理和三角形的內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.17、．【解析】試題分析：設反比例函數的解析式是．則，得，則這個函數的表達式是．故答案為．考點：1．待定系數法求反比例函數解析式；2．待定系數法．18、【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據正弦和余弦的定義即可求cosα的值．【詳解】∵小正方形面積為49，大正方形面積為169，∴小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋（7＋AC）2＝132，整理得，AC2＋7AC?60＝0，解得AC＝5，AC＝?12（舍去），∴BC＝＝12，∴cosα＝=故填：.本題考查了勾股定理的證明，銳角三角形函數的定義，利用勾股定理列式求出直角三角形的較短的直角邊是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）正確，理由見解析；（2）當a＝5時，S矩形MNPQ最大為25；（3）矩形的最大面積為1．【分析】(1)設BF=x，則AF=12﹣x，證明△AFE∽△ABC，進而表示出EF，利用面積公式得出S矩形BDEF=﹣(x﹣6)2+24，即可得出結論；(2)設DE=a，AE=10﹣a，則證明△APN∽△ABC，進而得出PN=10﹣a，利用面積公式S矩形MNPQ=﹣(a﹣5)2+25，即可得出結果；(3)延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，連接IK，過點K作KL⊥BC于L，由矩形性質知AE=EH=10、CD=DH=8，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=8、CG=HE=10，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用(1)的結論解答即可．【詳解】(1)正確；理由：設BF=x(0＜x＜12)，∵AB=12，∴AF=12﹣x，過點F作FE∥BC交AC于E，過點E作ED∥AB交BC于D，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∵∠B=90°，∴?BDEF是矩形，∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴=，∴，∴EF=(12﹣x)，∴S矩形BDEF=EF?BF=(12﹣x)?x=﹣(x﹣6)2+24∴當x=6時，S矩形BDEF最大=24，∴BF=6，AF=6，∴AF=BF，∴當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大；(2)設DE=a，(0＜a＜10)，∵AD=10，∴AE=10﹣a，∵四邊形MNPQ是矩形，∴PQ=DE=a，PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，∴=，∴PN=10﹣a，∴S矩形MNPQ=PN?PQ=(10﹣a)?a=﹣(a﹣5)2+25，∴當a=5時，S矩形MNPQ最大為25；(3)延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，連接IK，過點K作KL⊥BC于L，如圖③所示：∵∠A=∠HAB=∠BCH=90°，∴四邊形ABCH是矩形，∵AB=16，BC=20，AE=10，CD=8，∴EH=10、DH=8，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，，∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF=DH=8，∴BF=AB+AF=16+8=24，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=10，∴BG=BC+CG=20+10=30，∴BI=BF=12，∵BI=12＜16，∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，∴IK=BG=15，由(1)知矩形的最大面積為BI?IK=12×15=1．本題是四邊形綜合題，主要考查矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、中位線定理、相似三角形的判定與性質等知識；熟練掌握矩形的性質、全等三角形的判定與相似三角形的判定是解題的關鍵．20、100米【分析】延長PQ交直線AB于點M，連接AQ，設PM的長為x米，利用銳角三角函數即可求出x，再利用銳角三角函數即可求出QM，從而求出結論．【詳解】解：延長PQ交直線AB于點M，連接AQ，如圖所示：則∠PMA＝90°，設PM的長為x米，在RtPAM中，∠PAM＝45°，∴AM＝PM＝x米，∴BM＝x﹣100（米），在RtPBM中，∵tan∠PBM，∴tan60°，解得：x＝50（3），在RtQAM中，∵tan∠QAM，∴QM＝AM?tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）答：信號塔PQ的高度約為100米．此題考查的是解直角三角形的應用，掌握利用銳角三角函數解直角三角形是解決此題的關鍵．21、見解析.【分析】根據等腰三角形的三線合一可得BH=HC，結合已知條件，從而得出四邊形EBFC是平行四邊形，再根據得出四邊形EBFC是菱形．【詳解】證明：，，∴四邊形EBFC是平行四邊形又，∴四邊形EBFC是菱形.本題考查了菱形的判定和性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵．22、1【分析】連接OB，OC，根據圓周角定理得到∠BOC=60°，根據等邊三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：連接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC=BC=4，∴⊙O的直徑=1．本題考查三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質，解題關鍵是正確的作出輔助線．23、米【分析】根據坡度的定義可得，求出AB，再根據勾股定理求【詳解】∵坡頂離地面的高度為20米，坡面的坡度為即,∴米由勾股定理得答：坡面的長度為米.考核知識點：解直角三角形應用.把問題轉化為解直角三角形是關鍵.24、（1）詳見解析；（1）【分析】（1）連接OC，由角平分線的定義和等腰三角形的性質，得，從而得l⊥OC，進而即可得到結論；（1）由圓的內接四邊形的性質和圓周角定理的推論，得△ABE是等腰直角三角形，通過勾股定理得的長，從而求出，連接OE，求出，進而即可求解．【詳解】（1）連接OC，∵，∴，∵∠DAC=