2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)速度與準確率試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,4))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(\pm2)B.(2)C.(-2)D.(4)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2+1})的圖像大致為（）A.B.C.D.已知(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，則(\cos\left(2\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=)（）A.(-\frac{7}{9})B.(\frac{7}{9})C.(-\frac{1}{3})D.(\frac{1}{3})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.(\frac{5}{6})B.(\frac{6}{7})C.(\frac{7}{8})D.(\frac{8}{9})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm2)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))，且(a<b<c)，則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((1,2))B.((1,e))C.((2,e))D.((e,+\infty))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=120^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(16\pi)B.(20\pi)C.(24\pi)D.(28\pi)已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)，若對任意(x\in(0,+\infty))，(f(x)>x^2)恒成立，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,e-2])B.((-\infty,e-1])C.((-\infty,2])D.((-\infty,1])二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=2x+y)的最大值為________。已知((1+2x)^n)的展開式中，第3項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中(x^2)的系數(shù)為________。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，右焦點為(F)，過點(F)且斜率為(\sqrt{2})的直線與雙曲線交于(A,B)兩點，若(|AB|=4\sqrt{3})，則雙曲線的標準方程為________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則數(shù)列({a_na_{n+1}})的前(n)項和(S_n=)；若對任意(n\in\mathbb{N}^*)，(S_n<m)恒成立，則實數(shù)(m)的最小值為。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大小；（2）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機抽取100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績測試，并將測試成績（滿分150分）分成五組：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130]，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中(a)的值；（2）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）若從成績在[110,120)和[120,130]的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[120,130]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(A_1D\parallel)平面(AEC_1)；（2）求二面角(A-EC_1-B)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）過橢圓右焦點(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點，在(x)軸上是否存在定點(P)，使得(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN})為定值？若存在，求出點(P)的坐標；若不存在，說明理由。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x(a\in\mathbb{R}))。（1）當(a=\frac{1}{2})時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點，線段(AB)的中點為(M)，過點(M)作拋物線準線的垂線，垂足為(N)。（1）求證：以(AB)為直徑的圓與拋物線的準線相切；（2）若直線(ON)（(O)為坐標原點）與拋物線交于另一點(P)，且(|AP|=|BP|)，求直線(l)的方程。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.A4.B5.A6.C7.C8.A9.A10.C11.D12.A二、填空題13.914.6015.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)16.(\frac{n}{n+1})；1三、解答題17.解：（1）由余弦定理得(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2})，代入(a=2\sqrt{3})，(b=2)，解得(c=2)（舍負）。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinB=\frac{1}{2})，又(b<a)，故(B=\frac{\pi}{6})。（5分）（2）(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times2\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3})。（10分）解：（1）由頻率分布直方圖得((0.01+0.02+a+0.03+0.01)\times10=1)，解得(a=0.03)。（3分）（2）平均數(shù)為(85\times0.1+95\times0.2+105\times0.3+115\times0.3+125\times0.1=107)；中位數(shù)為(100+\frac{0.5-0.3}{0.3}\times10=\frac{310}{3}\approx103.33)。（7分）（3）成績在[110,120)的學(xué)生有30人，[120,130]的有10人，總?cè)》?C_{40}^2=780)，至少1人在[120,130]的取法(C_{10}^1C_{30}^1+C_{10}^2=345)，概率為(\frac{345}{780}=\frac{23}{52})。（12分）（1）證明：連接(DE)，易證(A_1E\parallelAD)且(A_1E=AD)，故四邊形(A_1ADE)為平行四邊形，(A_1D\parallelAE)，又(AE\subset)平面(AEC_1)，(A_1D\not\subset)平面(AEC_1)，所以(A_1D\parallel)平面(AEC_1)。（6分）（2）以(A)為原點建立空間直角坐標系，求得平面(AEC_1)的法向量(\vec{n}=(1,-1,1))，平面(BEC_1)的法向量(\vec{m}=(1,1,1))，二面角余弦值為(\frac{\vec{n}\cdot\vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{1}{3})。（12分）解：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，得(a^2=2b^2)，代入點((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))得(\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2b^2}=1)，解得(b^2=1)，(a^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（4分）（2）假設(shè)存在定點(P(t,0))，設(shè)直線(l:x=my+1)，聯(lián)立橢圓方程得((m^2+2)y^2+2my-1=0)，設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，則(y_1+y_2=-\frac{2m}{m^2+2})，(y_1y_2=-\frac{1}{m^2+2})，(\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=(x_1-t)(x_2-t)+y_1y_2=(m^2+1)y_1y_2+m(1-t)(y_1+y_2)+(1-t)^2=\frac{(t^2-2)m^2+2t^2-4t+1}{m^2+2})，令分子系數(shù)與分母成比例，解得(t=\frac{5}{4})，故存在定點(P\left(\frac{5}{4},0\right))。（12分）解：（1）當(a=\frac{1}{2})時，(f(x)=x\lnx-\frac{1}{2}x^2)，(f'(x)=\lnx-x+1)，令(g(x)=\lnx-x+1)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-1)，當(x\in(0,1))時(g'(x)>0)，(g(x))遞增；當(x\in(1,+\infty))時(g'(x)<0)，(g(x))遞減，故(g(x)\leqg(1)=0)，即(f'(x)\leq0)，(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞減。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，(f''(x)=\frac{1}{x}-2a)，若(a\leq0)，(f''(x)>0)，(f'(x))遞增，(f'(x)<f'(1)=0)，不合題意；若(0<a<\frac{1}{2})，當(x\in(0,\frac{1}{2a}))時(f''(x)>0)，(f'(x))遞增，且(f'(1)=0)，存在(x_0<1)使(f'(x_0)=0)，此時(f(x))在((x_0,1))遞增，在((1,+\infty))遞減，符合極大值條件；若(a\geq\frac{1}{2})，(f''(x)\leq0)，(f'(x))遞減，(f'(x)\leqf'(1)=0