2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)論入門試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）系統(tǒng)論中，“整體功能大于部分之和”體現(xiàn)的核心特性是（）A.關(guān)聯(lián)性B.層次性C.整體性D.動態(tài)性下列數(shù)學(xué)模型中，屬于線性系統(tǒng)的是（）A.種群增長的Logistic模型(N(t)=\frac{K}{1+e^{-r(t-t_0)}})B.彈簧振子運(yùn)動方程(m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0)C.傳染病傳播的SIR模型(\frac{dS}{dt}=-\betaSI)D.經(jīng)濟(jì)增長的柯布-道格拉斯模型(Y=AK^\alphaL^\beta)若系統(tǒng)的輸入為(u(t)=e^{2t})，輸出為(y(t)=3e^{2t})，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可能是（）A.(H(s)=\frac{3}{s-2})B.(H(s)=\frac{s}{s+2})C.(H(s)=3)D.(H(s)=\frac{1}{s-3})下列關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的說法正確的是（）A.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，與輸入無關(guān)B.閉環(huán)系統(tǒng)一定比開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定C.特征方程(s^3+2s^2+s+1=0)對應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定D.若系統(tǒng)階躍響應(yīng)收斂，則系統(tǒng)一定漸近穩(wěn)定在集合論中，系統(tǒng)的“邊界”可類比為集合的（）A.元素B.子集C.補(bǔ)集D.交集某生態(tài)系統(tǒng)包含生產(chǎn)者、消費(fèi)者和分解者三個子系統(tǒng)，其物質(zhì)循環(huán)關(guān)系可用有向圖表示，該圖的鄰接矩陣中元素(a_{ij}=1)的含義是（）A.子系統(tǒng)(i)完全依賴子系統(tǒng)(j)B.子系統(tǒng)(i)向子系統(tǒng)(j)輸出物質(zhì)C.子系統(tǒng)(i)與子系統(tǒng)(j)無關(guān)聯(lián)D.子系統(tǒng)(i)從子系統(tǒng)(j)輸入物質(zhì)系統(tǒng)論中的“反饋機(jī)制”在數(shù)學(xué)上可抽象為（）A.函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算(f(g(x)))B.微分方程的初值條件C.線性方程組的增廣矩陣D.隨機(jī)過程的馬爾可夫鏈下列問題中，最適合用系統(tǒng)論方法解決的是（）A.求解一元二次方程的根B.計算不規(guī)則幾何體的體積C.優(yōu)化城市交通網(wǎng)絡(luò)的流量分配D.證明三角形內(nèi)角和為180°若某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(\begin{cases}\dot{x}_1=x_2\\dot{x}_2=-2x_1-3x_2\end{cases})，則其特征值為（）A.(\lambda_1=-1,\lambda_2=-2)B.(\lambda_1=1,\lambda_2=2)C.(\lambda_1=-1+i,\lambda_2=-1-i)D.(\lambda_1=3,\lambda_2=-1)系統(tǒng)論中“涌現(xiàn)性”指的是（）A.子系統(tǒng)獨(dú)立存在時表現(xiàn)的特性B.系統(tǒng)在外界干擾下的抗干擾能力C.系統(tǒng)整體呈現(xiàn)但子系統(tǒng)不具備的新特性D.系統(tǒng)隨時間演化的動態(tài)變化規(guī)律用拉普拉斯變換求解線性系統(tǒng)的響應(yīng)時，需將時域問題轉(zhuǎn)化為（）A.頻域問題B.空域問題C.復(fù)數(shù)域問題D.離散域問題某通信系統(tǒng)的信噪比(\text{SNR}=10\lg\left(\frac{P_s}{P_n}\right))（單位：dB），若信號功率(P_s)增大為原來的10倍，噪聲功率(P_n)不變，則信噪比變化為（）A.增加1dBB.增加10dBC.減少1dBD.減少10dB二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的一般形式為(\dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u})和(\boldsymbol{y}=C\boldsymbol{x}+D\boldsymbol{u})，其中(A)稱為________矩陣，反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的演化規(guī)律。若系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系滿足(y(t)=2u(t)+3u(t-1))，則該系統(tǒng)是________（填“時不變”或“時變”）系統(tǒng)。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，節(jié)點(diǎn)的“度”是指與該節(jié)點(diǎn)相連的邊數(shù)。若某無向圖有5個節(jié)點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)度分別為2,3,3,4,4，則該圖共有________條邊。系統(tǒng)穩(wěn)定性的勞斯判據(jù)中，若特征方程(a_ns^n+\dots+a_1s+a_0=0)的所有系數(shù)均為正，且勞斯表第一列元素________，則系統(tǒng)穩(wěn)定。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）某簡單電路系統(tǒng)由電阻(R=2\Omega)、電感(L=1H)和電壓源(u(t))串聯(lián)組成，其微分方程為(L\frac{di}{dt}+Ri=u(t))。若輸入電壓(u(t)=4V)（常數(shù)），初始電流(i(0)=0)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)(i(t))。18.（本小題滿分12分）用系統(tǒng)論觀點(diǎn)分析以下問題：（1）簡述“系統(tǒng)層次結(jié)構(gòu)”的含義，并舉例說明數(shù)學(xué)中的層次結(jié)構(gòu)（6分）；（2）從關(guān)聯(lián)性角度，解釋為什么“數(shù)學(xué)建?！笔墙鉀Q復(fù)雜系統(tǒng)問題的核心方法（6分）。19.（本小題滿分12分）某生態(tài)系統(tǒng)包含草（A）、兔（B）、狐（C）三個子系統(tǒng)，其能量流動關(guān)系為：A→B（能量傳遞效率20%），B→C（能量傳遞效率10%），A直接流向分解者的能量占自身總能量的30%。若A的總能量為1000kJ，求：（1）B獲得的能量；（4分）（2）C獲得的能量；（4分）（3）該系統(tǒng)的能量利用效率（即C獲得的能量與A總能量之比）。（4分）20.（本小題滿分12分）已知某線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(H(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2})，求：（1）系統(tǒng)的特征方程及特征根；（4分）（2）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并說明理由；（4分）（3）若輸入(u(t)=e^{-t})（(t\geq0)），求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(y_{ss}(t))。（4分）21.（本小題滿分12分）某城市交通系統(tǒng)中，A、B、C三個路口的車流量關(guān)系如下：從A到B的車流量為(x)，從A到C的車流量為(y)；從B到C的車流量為(z)，從B到A的車流量為(x/2)；從C到A的車流量為(y/3)，從C到B的車流量為(z/2)；各路口車流量守恒（流入量=流出量）。（1）建立以(x,y,z)為變量的線性方程組；（6分）（2）若(x=60)，求(y,z)的值。（6分）22.（本小題滿分12分）系統(tǒng)論中的“動態(tài)演化”在數(shù)學(xué)上可通過微分方程描述?？紤]種群增長系統(tǒng)：(\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right))，其中(r>0)為增長率，(K>0)為環(huán)境容納量。（1）求該系統(tǒng)的平衡解（即(\frac{dN}{dt}=0)的解）；（4分）（2）分析平衡解的穩(wěn)定性（提示：用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性）；（4分）（3）若初始種群數(shù)量(N(0)=\frac{K}{2})，畫出(N(t))的大致圖像，并說明系統(tǒng)的演化趨勢。（4分）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅提供思路，非試卷內(nèi)容）1-5:CBCAC6-10:BACAC11-12:CB13.狀態(tài)轉(zhuǎn)移14.時不變15.816.均為正17.(i(t)=2(1-e^{-2t}))（用分離變量法或拉普拉斯變換求解）18.（1）層次結(jié)構(gòu)指系統(tǒng)由不同層級子系統(tǒng)構(gòu)成，如“實(shí)數(shù)→復(fù)數(shù)→四元數(shù)”；（2）數(shù)學(xué)建模通過抽象關(guān)聯(lián)變量，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為可計算模型19.（1）200kJ；（2）20kJ；（3）2%20.（1）特征方程(s^2+3s+2=0)，根(s_1=-1,s_2=-2)；（2）穩(wěn)定，所有特征根實(shí)部為負(fù)；（3）(y_{ss}(t)=2e^{-t})21.（1）(\begin{cases}x-\frac{x}{2}-y+\frac{y}{3}=0\\frac{x}{2}-z-\frac{z}{2}=0\y-\frac{y}{3}+z-\frac{z}{2}=0\end{cases})；（2）(y=45,z=20)22.（1）平衡解(N=0)和(N=K)；（2）(N=K)穩(wěn)定，(N=0