2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)警示試卷一、選擇題（每題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,2}D.{0,1}函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域?yàn)椋ǎ〢.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(-1)=（）A.-1B.1C.3D.-3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2??已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)=（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m=（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知直線l?:2x+y-4=0與直線l?:x-y+1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,-2)圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.(2,-3),4B.(-2,3),4C.(2,-3),16D.(-2,3),16已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=1，a?=5，則a?=（）A.7B.8C.9D.10二項(xiàng)式(x+1)?的展開式中x2的系數(shù)為（）A.10B.20C.30D.40某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，則該射手射擊3次至少命中2次的概率為（）A.0.896B.0.512C.0.384D.0.128二、填空題（每題5分，共20分）函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值為______。已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則該雙曲線的漸近線方程為______。若變量x,y滿足約束條件：x≥0,y≥0,x+y≤1，則z=2x+y的最大值為______。如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱CC?的中點(diǎn)，則異面直線AE與A?B所成角的余弦值為______。三、解答題（共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（12分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=n2+2n。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）若b?=1/(a?a???)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若a>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值。（12分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)A產(chǎn)品1件需耗原料甲3千克、原料乙2千克；生產(chǎn)B產(chǎn)品1件需耗原料甲2千克、原料乙3千克。每生產(chǎn)1件A產(chǎn)品可獲利50元，每生產(chǎn)1件B產(chǎn)品可獲利40元。工廠現(xiàn)有原料甲120千克，原料乙100千克。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x,y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使工廠獲利最大？最大利潤是多少？四、附加題（共20分）（10分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（10分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=3a?+2?(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{a?+2?}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式。易錯(cuò)點(diǎn)警示解析一、選擇題易錯(cuò)點(diǎn)：忽視空集的特殊性。當(dāng)B=?時(shí)，ax-2=0無解，此時(shí)a=0；當(dāng)B≠?時(shí)，解方程ax-2=0得x=2/a，由B?A知2/a∈{1,2}，解得a=2或1。綜上，a的取值集合為{0,1,2}，選A。易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)定義域考慮不全。要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3，選A。易錯(cuò)點(diǎn)：奇函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤。因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-1)=-f(1)=-(12-2×1)=1，選B。易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)奇偶性與單調(diào)性判斷失誤。y=|x|+1是偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，選B。易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)符號(hào)判斷錯(cuò)誤。由sinα=3/5，α∈(π/2,π)得cosα=-4/5，cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=-√2/10，選C。易錯(cuò)點(diǎn)：余弦定理應(yīng)用不當(dāng)。由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/(2×2×3)=1/2，所以C=π/3，選C。易錯(cuò)點(diǎn)：向量垂直的坐標(biāo)表示記憶錯(cuò)誤。a⊥b等價(jià)于a·b=0，即1×m+2×(-1)=0，解得m=2，選B。易錯(cuò)點(diǎn)：解方程組計(jì)算錯(cuò)誤。聯(lián)立方程組2x+y=4和x-y=-1，解得x=1，y=2，選A。易錯(cuò)點(diǎn)：圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤。配方得(x-2)2+(y+3)2=16，圓心(2,-3)，半徑4，選A。易錯(cuò)點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤。在等差數(shù)列中，a?+a?=2a?，所以1+a?=2×5，解得a?=9，選C。易錯(cuò)點(diǎn)：二項(xiàng)式展開式系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤。T???=C??x???，令5-k=2得k=3，系數(shù)為C?3=10，選A。易錯(cuò)點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算錯(cuò)誤。至少命中2次包括命中2次和3次，概率為C?2×0.82×0.2+C?3×0.83=0.896，選A。二、填空題易錯(cuò)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求最值忽略端點(diǎn)值。f'(x)=3x2-6x，令f'(x)=0得x=0或2。f(-1)=-6，f(0)=2，f(2)=-2，最大值為2。易錯(cuò)點(diǎn)：雙曲線離心率與漸近線關(guān)系混淆。由e=c/a=√3得c=√3a，b=√(c2-a2)=√2a，漸近線方程為y=±√2x。易錯(cuò)點(diǎn)：線性規(guī)劃最優(yōu)解判斷錯(cuò)誤。可行域?yàn)槿切螀^(qū)域，當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)(1,0)時(shí)，z取得最大值2。易錯(cuò)點(diǎn)：異面直線所成角計(jì)算錯(cuò)誤。以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，A(1,0,0),E(0,1,1/2),A?(1,0,1),B(1,1,0)，向量AE=(-1,1,1/2),A?B=(0,1,-1)，cosθ=|AE·A?B|/(|AE||A?B|)=√10/10。三、解答題易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)公式應(yīng)用錯(cuò)誤。f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=π；當(dāng)x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/4∈[π/4,5π/4]，最大值√2，最小值-1。易錯(cuò)點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式求法錯(cuò)誤。當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=3；當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=2n+1，綜上a?=2n+1。b?=1/[(2n+1)(2n+3)]=1/2[1/(2n+1)-1/(2n+3)]，T?=1/2[1/3-1/(2n+3)]=n/(3(2n+3))。易錯(cuò)點(diǎn)：線面垂直證明條件不充分。（1）因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB；（2）V=1/3×S△ABC×PA=1/3×(1/2×2×2)×2=4/3。易錯(cuò)點(diǎn)：橢圓方程求解計(jì)算錯(cuò)誤。（1）由e=c/a=√2/2，a2=b2+c2，及1/a2+1/(2b2)=1，解得a2=2，b2=1，方程為x2/2+y2=1；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及OA·OB=0得3m2=2k2+2，結(jié)合判別式得m2∈[2/3,2]。易錯(cuò)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)分類討論不全面。f'(x)=(2ax-1)(x-1)/x，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1/2時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減，在(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=1/2時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1/2時(shí)，f(x)在(0,1/(2a))上單調(diào)遞增，在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)1/(2a)≤1即a≥1/2時(shí)，f(x)min=f(1)=-a-1；當(dāng)1<1/(2a)<e即1/(2e)<a<1/2時(shí)，f(x)min=f(1/(2a))=-ln(2a)-1/(4a)-1；當(dāng)1/(2a)≥e即0<a≤1/(2e)時(shí)，f(x)min=f(e)=1+ae2-(2a+1)e。易錯(cuò)點(diǎn)：線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用建模錯(cuò)誤。（1）約束條件為3x+2y≤120，2x+3y≤100，x≥0,y≥0,x,y∈N；（2）目標(biāo)函數(shù)z=50x+40y，最優(yōu)解為x=28,y=18，最大利潤2560元。四、附加題易錯(cuò)點(diǎn)：絕對(duì)值不等式解法不當(dāng)。（1）當(dāng)x≤-2時(shí)，f(x)