2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與國防安全數(shù)學(xué)應(yīng)用試卷一、選擇題（每題5分，共60分）我國國防類型屬于（）A.擴(kuò)張型B.自衛(wèi)型C.聯(lián)盟型D.中立型某雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后，需計算目標(biāo)距離。若雷達(dá)波傳播速度為3×10?m/s，從發(fā)射到接收回波的時間為2×10??s，則目標(biāo)距離雷達(dá)站的距離為（）A.3×10?mB.6×10?mC.3×10?mD.6×10?m軍事通信中常用RSA加密算法，其基礎(chǔ)是大數(shù)分解問題。若加密密鑰為（e,n）=(3,33)，則解密密鑰d滿足ed≡1modφ(n)，其中φ(33)=φ(3×11)=20，則d的值為（）A.7B.13C.17D.19我國主張管轄的海洋國土面積約為（）萬平方千米A.200B.300C.400D.500某導(dǎo)彈發(fā)射基地需計算彈道軌跡，已知導(dǎo)彈初速度為v?，發(fā)射角為θ，忽略空氣阻力時射程公式為R=v?2sin2θ/g（g=10m/s2）。若v?=200m/s，要使射程達(dá)到3600m，則發(fā)射角θ的正弦值為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.9某軍事地圖比例尺為1:50000，圖上兩地距離為3cm，則實際距離為（）A.1.5kmB.15kmC.150kmD.1500km我軍某部進(jìn)行戰(zhàn)術(shù)演練，需將8名士兵分配到3個作戰(zhàn)小組，每個小組至少2人，則不同的分配方案有（）A.210種B.280種C.350種D.420種某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，軌道半徑為r，周期為T，地球質(zhì)量M滿足GMm/r2=m(2π/T)2r。若衛(wèi)星軌道半徑變?yōu)?r，則周期變?yōu)椋ǎ〢.√2TB.2TC.2√2TD.4T現(xiàn)代戰(zhàn)爭中信息戰(zhàn)的核心是電子對抗。若敵方雷達(dá)發(fā)射頻率為f的電磁波，我方戰(zhàn)機(jī)以速度v接近雷達(dá)，則接收到的反射波頻率f'滿足f'=f(c+v)/(c-v)（c為光速）。當(dāng)v=340m/s，c=3×10?m/s，f=10?Hz時，f'與f的差值約為（）A.2.27×103HzB.2.27×10?HzC.2.27×10?HzD.2.27×10?Hz我國陸地邊界線總長約為（）萬千米A.2.2B.2.3C.2.4D.2.5某海防哨所需計算監(jiān)視區(qū)域的覆蓋范圍。若哨所海拔為h，地球半徑為R，則可視距離d=√(2Rh+h2)。當(dāng)h=50m，R=6400km時，d約為（）A.25kmB.32kmC.40kmD.50km某密碼系統(tǒng)采用二進(jìn)制編碼，若明文由A、B、C三個字符組成，對應(yīng)編碼為00、01、10，加密規(guī)則為“每位取反”，則明文“ACB”的密文為（）A.110100B.111001C.011011D.100001二、填空題（每題5分，共30分）某潛艇在海平面下100m處，海水密度ρ=1.03×103kg/m3，重力加速度g=9.8m/s2，則潛艇受到的壓強(qiáng)為________Pa（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）。我軍某部進(jìn)行夜間射擊訓(xùn)練，命中率為0.8，若連續(xù)射擊3次，則至少命中2次的概率為________。北斗導(dǎo)航系統(tǒng)采用三角形定位原理。若三顆衛(wèi)星A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,0,0)、(2,0,0)、(1,√3,0)，某終端到三顆衛(wèi)星的距離分別為√5、√5、2，則終端坐標(biāo)為________。某軍事倉庫需設(shè)置密碼鎖，密碼由6位數(shù)字組成，首位不為0，且任意相鄰兩位數(shù)字之和為奇數(shù)，則密碼總數(shù)為________。某導(dǎo)彈發(fā)射車沿坡度i=1:√3的斜坡行駛100m，則上升的高度為________m。某加密算法將明文x（0≤x<26）加密為密文y=(3x+5)mod26，則明文“7”對應(yīng)的密文為________。三、解答題（共60分）（12分）某海防雷達(dá)站發(fā)現(xiàn)北偏東60°方向，距離20km處有不明船只。（1）建立平面直角坐標(biāo)系，以雷達(dá)站為原點，正東方向為x軸正方向，寫出船只的坐標(biāo)；（2）若該船只沿南偏東30°方向勻速行駛，速度為10km/h，求1小時后船只的位置坐標(biāo)；（3）若我軍快艇從雷達(dá)站出發(fā)，以20km/h的速度追擊，沿什么方向能最快追上船只？（12分）我軍某部進(jìn)行后勤保障演練，需將一批物資從A地運(yùn)往B地，有公路和水路兩種運(yùn)輸方式：公路：路程120km，汽車載重5噸/輛，速度60km/h，每輛車運(yùn)費(fèi)800元水路：路程200km，輪船載重20噸/艘，速度40km/h，每艘船運(yùn)費(fèi)3000元現(xiàn)有物資100噸，要求4小時內(nèi)運(yùn)達(dá)，且汽車數(shù)量不超過10輛。（1）設(shè)汽車x輛，輪船y艘，列出x,y滿足的約束條件；（2）如何安排運(yùn)輸工具，使總運(yùn)費(fèi)最低？最低運(yùn)費(fèi)為多少？（12分）某軍事通信采用二進(jìn)制糾錯碼，信息位為3位，校驗位為1位，編碼規(guī)則為：校驗位等于信息位中1的個數(shù)mod2（偶校驗）。（1）寫出所有合法編碼；（2）若接收方收到編碼“1011”，判斷是否出錯，若出錯請修正；（3）若某編碼在傳輸中恰好1位出錯，求糾錯成功的概率。（12分）某導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射程R（單位：km）與發(fā)射角θ（0<θ<π/2）的關(guān)系為R=v?2sin2θ/g，其中v?為初速度，g=9.8km/s2。（1）若v?=1km/s，求最大射程及對應(yīng)的發(fā)射角；（2）若目標(biāo)距離為80km，求發(fā)射角θ的取值范圍；（3）若v?可在[0.8,1.2]km/s內(nèi)調(diào)節(jié)，求射程R的取值范圍。（12分）某密碼系統(tǒng)采用矩陣加密，將明文（x,y）加密為密文（x',y'）=（x+2y,3x+4y）。（1）求加密矩陣的逆矩陣；（2）若密文為（7,17），求對應(yīng)的明文；（3）證明：該加密矩陣的行列式為-2，且對任意明文（x,y），加密后密文（x',y'）滿足x'2-xy-y2=2(x2-xy-y2)。參考答案及解析一、選擇題B2.A（距離=ct/2=3×10?×2×10??/2=3×10?m）3.A（3d≡1mod20，d=7）4.B5.D（3600=2002sin2θ/10，sin2θ=0.9）6.A（3×50000=150000cm=1.5km）7.D（分組為2,2,4或2,3,3，方案數(shù)=C?2C?2C??/A?2+C?2C?3C?3=210+280=490，注：原題選項可能有誤，修正后應(yīng)為490種）8.C（T∝r3/2，(2r)3/2=2√2r3/2）9.A（f'=f(c+v)/(c-v)≈f(1+2v/c)，Δf=2fv/c=2×10?×340/3×10?≈2266Hz）10.A11.B（d=√(2×6400000×50)=√640000000=80000m=80km，注：原題選項可能有誤，修正后應(yīng)為80km）12.B二、填空題1.01×10?（p=ρgh=1.03×103×9.8×100≈1.01×10?）0.896（C?2×0.82×0.2+C?3×0.83=0.384+0.512=0.896）(1,1,0)（設(shè)坐標(biāo)(x,y,0)，列方程x2+y2=5，(x-2)2+y2=5，(x-1)2+(y-√3)2=4，解得x=1,y=1）5×5?=15625（首位5種，其余位5種）50（sinθ=1/2，高度=100×1/2=50）26（(3×7+5)=26≡0mod26，注：原題可能需調(diào)整為y=(3x+5)mod26，結(jié)果為0）三、解答題（1）(10√3,10)km；（2）(10√3+5√3,10-5)=(15√3,5)km；（3）北偏東30°方向（1）5x+20y≥100，120/60x+200/40y≤4，x≤10，x,y∈N；（2）汽車4輛，輪船4艘，運(yùn)費(fèi)15200元（1）0000,0011,0101,0110,1001,1010,1100,1111；（2）出錯，修正為1010；（3）3/4（1）Rmax=102.04km（θ=45°）；（2）θ∈[arcsin0.39