2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與數(shù)字?jǐn)⑹录夹g(shù)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，則cosC的值為（）A.-1/4B.1/4C.-1/2D.1/2已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a在向量b方向上的投影為（）A.11/5B.11√5/5C.10/√5D.10/5某學(xué)校高一年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人。為了解學(xué)生的身高情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，則樣本中女生的人數(shù)為（）A.20B.30C.15D.25已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則該函數(shù)的最小正周期和振幅分別為（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2若直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，公差d=2，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（）A.n2B.n2+nC.2n2-nD.2n2+n已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(-∞,1)D.(2,+∞)二、填空題（共5題，每題6分，共30分）若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)_____。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____。在區(qū)間[0,π]上，函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最大值為_(kāi)_____。某公司有員工100人，其中具有本科及以上學(xué)歷的有70人，具有高級(jí)職稱的有20人，既具有本科及以上學(xué)歷又具有高級(jí)職稱的有15人，則既不具有本科及以上學(xué)歷又不具有高級(jí)職稱的人數(shù)為_(kāi)_____。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，若對(duì)于任意x∈[1,3]，都有f(x)≥m成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_____。三、解答題（共6題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-2。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（12分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要消耗甲材料1kg、乙材料2kg，可獲得利潤(rùn)50元；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要消耗甲材料2kg、乙材料1kg，可獲得利潤(rùn)60元。該工廠現(xiàn)有甲材料100kg、乙材料120kg，問(wèn)如何安排生產(chǎn)才能使利潤(rùn)最大化？最大利潤(rùn)是多少？（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（12分）數(shù)字?jǐn)⑹录夹g(shù)應(yīng)用題：某數(shù)學(xué)教師為了講解"函數(shù)的單調(diào)性"這一知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)互動(dòng)式數(shù)字故事。故事背景設(shè)定在一個(gè)虛擬的王國(guó)，王國(guó)的氣溫隨時(shí)間變化，學(xué)生需要通過(guò)觀察氣溫變化曲線來(lái)理解函數(shù)的單調(diào)性概念。（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)氣溫變化函數(shù)模型，要求包含增函數(shù)、減函數(shù)和常函數(shù)三種類型，并說(shuō)明每個(gè)函數(shù)的定義域和值域。（2）利用數(shù)字?jǐn)⑹录夹g(shù)，設(shè)計(jì)三個(gè)互動(dòng)問(wèn)題，幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的定義。每個(gè)問(wèn)題應(yīng)包含問(wèn)題描述、互動(dòng)方式和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。（3）結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求，分析這種數(shù)字?jǐn)⑹陆虒W(xué)方式在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面的優(yōu)勢(shì)。四、數(shù)字?jǐn)⑹聦?shí)踐題（共2題，共100分）（50分）數(shù)據(jù)可視化敘事設(shè)計(jì)：某城市2024年的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)如下表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)）：月份PM2.5濃度（μg/m3）PM10濃度（μg/m3）空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)1月85120152月75105183月6090224月4575255月356028（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，選擇合適的數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)擬合、統(tǒng)計(jì)分析等），預(yù)測(cè)該城市2025年6月的空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)。要求寫(xiě)出模型建立的過(guò)程和預(yù)測(cè)結(jié)果。（2）利用數(shù)字?jǐn)⑹录夹g(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)可視化作品，展示該城市空氣質(zhì)量的變化趨勢(shì)。要求包含至少三種可視化圖表（如折線圖、柱狀圖、散點(diǎn)圖等），并說(shuō)明每種圖表的設(shè)計(jì)思路和信息傳達(dá)重點(diǎn)。（3）結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，分析空氣質(zhì)量與人們?nèi)粘Ｉ畹年P(guān)系，提出至少三條改善空氣質(zhì)量的建議，并說(shuō)明每條建議的數(shù)學(xué)依據(jù)。（50分）數(shù)學(xué)建模敘事創(chuàng)作：某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)長(zhǎng)方形的花壇，要求花壇的面積為200平方米，且長(zhǎng)比寬多10米。（1）建立花壇長(zhǎng)和寬的數(shù)學(xué)模型，求出花壇的長(zhǎng)和寬。（2）利用數(shù)字?jǐn)⑹录夹g(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)互動(dòng)式數(shù)學(xué)建模過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷"問(wèn)題提出-模型建立-模型求解-模型檢驗(yàn)"的完整過(guò)程。要求包含以下要素：情境創(chuàng)設(shè)：設(shè)計(jì)一個(gè)與校園環(huán)境相關(guān)的故事背景，引出花壇修建問(wèn)題；互動(dòng)環(huán)節(jié)：設(shè)置至少三個(gè)決策點(diǎn)，讓學(xué)生在建模過(guò)程中進(jìn)行選擇（如模型假設(shè)的選擇、求解方法的選擇等）；反饋機(jī)制：對(duì)學(xué)生的每個(gè)選擇給出即時(shí)反饋，解釋選擇的合理性和可能的改進(jìn)方向；成果展示：設(shè)計(jì)一個(gè)可視化界面，展示學(xué)生完成的數(shù)學(xué)建模成果。（3）根據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中關(guān)于數(shù)學(xué)建模能力的要求，分析該數(shù)字?jǐn)⑹伦髌吩谂囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)方面的作用。五、開(kāi)放創(chuàng)新題（共1題，共50分）（50分）跨學(xué)科數(shù)字?jǐn)⑹略O(shè)計(jì)：結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的"三角函數(shù)"知識(shí)和物理學(xué)中的"簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)"知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)跨學(xué)科數(shù)字?jǐn)⑹伦髌贰＃?）構(gòu)建一個(gè)故事框架，將三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律融入故事情節(jié)中。要求故事具有連貫性和趣味性，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。（2）設(shè)計(jì)至少兩個(gè)互動(dòng)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)調(diào)整參數(shù)（如振幅、頻率、初相位等）來(lái)觀察三角函數(shù)圖像和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)軌跡的變化。每個(gè)實(shí)驗(yàn)應(yīng)包含實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、參?shù)設(shè)置、觀察內(nèi)容和結(jié)論總結(jié)。（3）根據(jù)現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)，提出該數(shù)字?jǐn)⑹伦髌房赡艿募夹g(shù)實(shí)現(xiàn)方案，包括所需要的硬件設(shè)備、軟件工具和開(kāi)發(fā)平臺(tái)，并分析其在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用前景。六、編程與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)題（共1題，共50分）（50分）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：利用編程語(yǔ)言（如Python）實(shí)現(xiàn)一個(gè)"分形幾何"生成器。（1）選擇一種典型的分形圖形（如科赫曲線、謝爾賓斯基三角形等），寫(xiě)出其生成原理的數(shù)學(xué)描述，包括迭代公式和終止條件。（2）使用偽代碼描述該分形圖形的生成算法，要求包含函數(shù)定義、循環(huán)結(jié)構(gòu)和遞歸調(diào)用等基本編程元素。（3）設(shè)計(jì)一個(gè)互動(dòng)界面，允許用戶調(diào)整分形圖形的參數(shù)（如迭代次數(shù)、顏色等），并實(shí)時(shí)顯示生成結(jié)果。說(shuō)明界面設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)依據(jù)和用戶體驗(yàn)考慮。（4）結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的"數(shù)列"和"極限"知識(shí)，分析分形圖形的自相似性和維度概念，撰寫(xiě)一份簡(jiǎn)短的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，