高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

學(xué)霸養(yǎng)成筆記與

高分提檔嚴(yán)選題

第一章函數(shù)極限連續(xù)...........................................（D

第二章一元函數(shù)微分學(xué)............................................（9）

第三章一元函數(shù)積分學(xué)...........................................（17）

*

第四章常微分方程...............................................（26）

第五聿多元函數(shù)微分學(xué)............................................（32）

第六章二重積分.................................................（40）

第七章無(wú)窮級(jí)數(shù).................................................（48）

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何及多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用........（57）

第九章多元積分學(xué)及其應(yīng)用......................................（63）

練習(xí)題答案與解析.................................................（71）

第一章函數(shù)極限連續(xù)

1.函數(shù)/(x)=-rtanarc、''是

(A)單調(diào)函數(shù).(B)周期函數(shù).

(C)偶函數(shù).(D)無(wú)界函數(shù).

2.下列四個(gè)函數(shù)中

(1)j*sin-(2)---sin.⑶罟三(4)xsinx.

XXX

在區(qū)間(0.+8)上有界的共有

(A)l個(gè).(B)2個(gè).(03個(gè).(D)4個(gè).

3.設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是

(B)|V(0dc

4.設(shè)有數(shù)列列」與｛乂｝?以下結(jié)論正確的是

(A)若limz.y.=0,則必有l(wèi)im1.=0或limy.=0.

(B)若.則必=8或］imy.=8.

(C)若”.y.有界,則必有，與乂都行界.

(D)若工.義無(wú)界?則必有二無(wú)界或八無(wú)界.

.設(shè)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

5?-hPmz”.-

(A)limx,-8與limy,=8至少有一個(gè)成立.

<?"*8?9WM

與()，.)中至少有一個(gè)為無(wú)界變餓.

-------------------:

(C)若《1.)是無(wú)窮小量，則必為無(wú)界變量.

(D)若limz.=。H8,則(“)必為無(wú)窮大最.

6.設(shè)數(shù)列.怙」對(duì)任意的正整數(shù)〃滿足*46.&。e，則

(A)數(shù)列Q/?也)均收斂，且lima.=lim瓦.

■T*一?——

(B)數(shù)列(a/,也)均發(fā)散，且hma..lim6.=+8.

(C)數(shù)列｛%').2.)具有相同的斂散性.

(D)數(shù)列<明),伯?｝具有不同的斂散性.

7.設(shè)如6工〉=0,則下列命跑中正確的個(gè)數(shù)為

⑴1而無(wú)嬰科=1.

*-o(p｛x)

(2)lim(l+夕(”))六=c.

(3)若/(工。=A,則lim△亥Ag(?乳一=人

(4)若-A?Mlim/(^(x)).A.

(A)0個(gè).(B)2個(gè).(C)3個(gè).《D)4個(gè).

&極限lim——廣二1_1工A工0的充要條件是

xx

(A)a>L(B)o^1.

(C)a>0.《D)與a無(wú)關(guān).

9.已知lim-I，%+工/⑺=l,則lim"C⑷=

■7X?-H>X

(A)l.(B)2.(03.(D)4.

10.設(shè)/(x>連續(xù)，他［勺,=2?且當(dāng)z-0時(shí)I；'/⑺山是工的〃階無(wú)窮小，則n等于

(A)3.(B)4,(05.(D)6.

”?已知當(dāng)《rf0時(shí)J(z)=arctanxsinor與g(x)=bx\n，a+劣是等價(jià)無(wú)窮小，則

(A)a=b=I.(B)a=2,6=

w

(C)a=1?6=-y.(D)a=t,b=-

2?9

12.已知當(dāng)I-0時(shí)?函數(shù)"工)=3sinx-sin3工與c一是等價(jià)無(wú)窮小?則

(Mk?-1?c=?4.(B)A=l.c=-4.

(C)k==3,c=4.(DM=3,c=-4.

13.當(dāng)N-0+時(shí)，下列無(wú)窮小量中最高階的無(wú)窮小總是

(A)(B)tanx-sinx.

(C)|sin?d/.(D)J：0'sin+疝.

14.函數(shù)/(x)=r)的"在［-x,x］上的第一類間斷點(diǎn)是工=

x(e*-e)

(A)0.(B)l.(C)-(D)f.

15.函數(shù)/(x)=J1+｝的無(wú)窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

(A)0.(B)l.(02.(D)3.

16-函數(shù)八工)=H的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

(A)0.(B)l.(02.<D)3.

17.已知函敷/(z)-(工'+,(”一】)在(-8,+8)上有一個(gè)可去間斷點(diǎn)和一個(gè)跳躍間

e-4-6

斷點(diǎn)，則

(A)a=1,6=—1.(B)d=0,6=1.

(C)a+0,6(D)a=0.6=—e.

18.設(shè)/(x)=lim等工一^，則f(工)

?e4-x4-1

(A)僅有一個(gè)可去間斷點(diǎn).(B)僅有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn).

(C)有兩個(gè)可去間斷點(diǎn).(D)有兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn).

19.lim與一塔典聲

I(arcsinx)

20.已知lim4■，則a

Ivl+zarctanx0

21.已知曲線y=f(力在點(diǎn)(0,0)處的切線過(guò)點(diǎn)(1,2)?則也(cos工.

22?極限lim,_____

-°Lln(x+/14-x1r)ln(l+x)

23.設(shè)〃為正整數(shù)，則lim

(x-l)(x-2),**(x-n)

24.求極限lim(E9±6+由)’

25.設(shè)，=(1+5)(]T.)…0+卞)，則他工」-------

26.極限lim￡+避+…+近=.

…y/n(\+2+…+〃)

27.確定常數(shù)a?,使工?。時(shí)〃工)=/一]±廿為工的三階無(wú)窮小.

1十批

28.當(dāng)/―0時(shí),1—cosx?cos2x?cos3x與ax"為等價(jià)無(wú)窮小?求〃與a的值.

29.已知limLL*軍)才二^=a(aKC),求a和〃的值.

Ix

30.確定常數(shù)。?6c的值?使lim##票-=c(c^O).

Irln(l4-r).

3】.求極限lim([1…—f---r-j-)?

2\ln(]+工)sinx/

32.求極限lim廠開(kāi)，普電'.

xln(l十力

33.求極限lim儂！+產(chǎn)”)一甲143評(píng)工)

…xsin,x

I—1)-z]df

34.求極限lim上----------：-----..

35.求下列極限

⑴1而(兇土&)土,⑵]而(以+

n/

(3)lim(?tan-；(4)limtan*(++2).

36.求F列極限

(1)lim(x4-V14-x?>>：(2)lim(xi-1)6.

，?―

37.已知函數(shù)/(才)在工=0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且!師(學(xué)壬+?竺)=2,試求/(0)./(0)及

陽(yáng)？/(工)+e,'

40.求極限limn-f-1

1r不k

x#0.

41.求函數(shù)fGr)的間斷點(diǎn)并指出類SL

x=0

42.設(shè)義工)=lim:學(xué)甘必在(―8,+8)內(nèi)連續(xù)，試確定常數(shù)。和6.

-x+1

43,設(shè)義外是區(qū)間［0,+8)上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù),S/a)-J"/(z)(k(n

1,2,…)，證明數(shù)列g(shù).)的極限存在.

44.設(shè)“=&，3i=，3+2z?，n-1,2,…，證明數(shù)列《r?)收斂并求它的極限.

45.設(shè)數(shù)列｛工力滿足g=1,二=巴上］儲(chǔ)=1,2,…)，試證limz.-72.

46.設(shè)函數(shù)八幻-lnz+-.

(1)求八公的最小值：

(2)設(shè)數(shù)列｛二)滿足In二十一匚VI.證明limz.存在，并求此極限.

工加

47.設(shè)aI>0,工小=ln(l4-x.)(n.1,2,…)，

證明i(D｛zJ收斂并求極限limz.，

⑵計(jì)算四(受產(chǎn)及皿一占卜

48.設(shè)/(x)在［0,2a］Q>0)上連續(xù)?且/(0)=/(2G,求證存在f6［0，。］，使

/($)=仆+。).

49.設(shè)義外在［。力］上連續(xù)5€0,幻,">0G=1,2產(chǎn)?1)，且?>?-1，試證至少存在

一點(diǎn)EW0,5」便/(f)=ti/(X|)+”5)+…+7g.

舞B@二

弱涔二型女柳泰

函敷微限遑續(xù)

學(xué)儲(chǔ)養(yǎng)成之糾錯(cuò)與反思

--............?.???-?7????????????<????->????'???????????..??????—<????????????????,???????????????????????*?**?????????

，錯(cuò)題序號(hào)，錯(cuò)題原因分析與正確方法

①“也最沒(méi)￥41

②湛JL過(guò)此具?塞

③計(jì)”?候

④楨心溫**)

⑤依導(dǎo)軍尸Q

■錯(cuò)題序號(hào),錯(cuò)器原因分析與正?方法

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

1.設(shè)義工)在N=0處連續(xù)，則人工)住1=0處可導(dǎo)的充分條件是

(A)lim/⑺？二二)存在.(B)lim他(】*?)一出,存在.

(C)lim八立二Z(Q存在.(D)lim/八上)存在.

In>-?工

2,設(shè)人工)?""三'’'則在點(diǎn)工=0處函數(shù)八公

0?z,0.

(A)不連續(xù).(B)連續(xù)但不可導(dǎo).

(C)可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù).(D)可導(dǎo)且導(dǎo)致連續(xù).

3.設(shè)函數(shù)y-/(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)?且lim—"-=1.則人］)在點(diǎn)n=0處

(A)不可導(dǎo).(B)可導(dǎo)且/(0)=0.

(C)可導(dǎo)且/(0)=-2.<D)可微且dy|_.=2(Lr.

4.若八外在點(diǎn)工。處的左,右導(dǎo)數(shù)都存在?則/<x)在點(diǎn)打處

(A)可導(dǎo),(B)連緣(C)不可導(dǎo).(D)不一定連續(xù).

5.已知/(x)在工=0處連續(xù)?且4-c*^-2,則/(0)

，?。

(A)不存在.(B)等于In2.(C)等于2.(D)等于In2-1.

r/<>>

6.設(shè)/J)有連續(xù)一階導(dǎo)致，八0)?0.若當(dāng)1-。時(shí)/(z)d/與4工，為等價(jià)無(wú)窮小?則

/(0)等于

(A)0.(B)L<02.⑴)1

7.函數(shù)/(#=x/1(/-1)+sin"-2|不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

(A>0.(B)1,(C)2.(D)3.

8./(z)=Hm萬(wàn)不，|?+1不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

<A>0.(B)l.(02.(D)3.

9.已知"］)在上二0處連續(xù)=I?則下列結(jié)論

H/(X)

0)/(0)存在.且，(0)=0.②/"(0)存在?且,(0)=2.

③/G)在工=0處取得極小值.④八外在I=0的某鄰域內(nèi)連續(xù).

中正確的個(gè)數(shù)為

(A)l.(B)2.(03.(D)4.

10,設(shè)函數(shù)/(/)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù).其導(dǎo)函數(shù)的圖形

如圖1所示,則人工)有

(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).

(B>兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).

(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).

(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).圖I

II.設(shè)函數(shù)八.r1|l3-1)|的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〃?則

(A)m=I?1.(B)m01??=2.

(C)m=2,n=*3.(D)m=3.”-2.

12.函數(shù)/(x)/run/):dr的極值點(diǎn)為

(A)x-2為極小值點(diǎn).(B)J=2為極大值點(diǎn).

(C)x=1為極小值點(diǎn).(0)x=1為極大值點(diǎn).

13.設(shè)函數(shù)/Q)有二階段函.Wim=0?lim)夕，一1二2021.#|

(A)/《0)是八G的極大值.

(B)/(0)是/(x)的極小值.

(C)(0,/(0))是曲線y=人］)的拐點(diǎn).

(D>/(0)不是/(.r)的極值?(0?/(0))也不是曲線)，=/(x)的拐點(diǎn).

14.設(shè)函數(shù)/(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且八0)=0./(0)>0./(0)<0.則

(A)x=0是|/(.r)|的極值點(diǎn),但(0?/(0))不是曲線y=|八”)|的拐點(diǎn).

(B)工=0不是八1”的極值點(diǎn),但(0?/(0))是曲線y=的拐點(diǎn).

(C)i=0是|人］"的極值點(diǎn)?且《0.八0))是曲線yJ|/(?1的拐點(diǎn).

⑴)工=0不是八I)的極值點(diǎn).且(0,/(0))不是曲線y=［八］)|的拐點(diǎn).

15,設(shè)義工)滿足，(0)=O，(z)+[/G)了?工'，則

是人工)的極大值.

是人])的極小值.

(C)(0./(0?是曲線s=/(x)的拐點(diǎn).

(D)/(0)不是人力的極值，(0也不是曲線y=/(工)的拐點(diǎn).

16,曲線、=三二二的漸近線條數(shù)為

(A)l.(B)2.<03.(D)4.

17.曲線y=4^7的漸近線條數(shù)為

(A)0.(B)l.(02.(D)3.

18.設(shè)曲線y=/(x)與y=d—z在點(diǎn)(1,0)處有公共切線,則limn/X-=______

L??n-r4

(上一D(z-2)???(工一n)

19.已知人工)

(1+l)(x4-2)-(z-f-n)

工.

20.曲線「NJ。E在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

y=?ln(2-x:)

21.對(duì)數(shù)螺線r-d在點(diǎn)"溥)-W，￡)處的切線的直角坐標(biāo)方程為.

22.設(shè)函數(shù)/G"]1、―/(八幻)產(chǎn)虎=________.

儂一1,NVI,"<-

23.設(shè)》二人])的反函數(shù)是1=且/Gt)-+則，(1)-.

24.函數(shù)y=Iln(l-2])在1=0處的n(n>2)階導(dǎo)數(shù)y<->(0)=.

25.設(shè)/(z)=n：三二;,則f->(z)=.

26.函數(shù)/(z)-ln|(x-l)(z-2)-(z-n)|的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

27.巳知方程工4+2爐一3工‘一4工+a=0有兩個(gè)重根,則。=.

28.已知方程3x*-8/-6,+24工+a=0有四個(gè)不相同的實(shí)根,則a的取值范圉為

29.設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)Jim土孑??2.F(z)■「〃\工一￡)&.當(dāng)7-0時(shí)尸(工)一

I>XTJ?

1x:與任'為等價(jià)無(wú)窮小，其中常數(shù)b#0.A為某正整數(shù).求A與6的值及/(0),/(0).

31.設(shè)八八二階可導(dǎo)，且=?⑺7⑺?求富及磬.

lx?/（<）,業(yè)dy*

32.設(shè)…⑺由"二：二確定，求虬.母匚

33.設(shè)函數(shù)F（z）=1"（*）&?其中/（x）是連續(xù)函數(shù)，且/（0）=2.

（1）求，（工力

（2）討論”（工）的連續(xù)性.

34.設(shè)義工）連續(xù)必工）=[/（刀）也，且lim-A（A為常效）.求/（工），并討論，（工）在

工=0處的連續(xù)性.

35.設(shè)函數(shù)由方程2y—29+2工〉一/一1所確定，試求y=y（”）的駐點(diǎn)，并判別它是否為

極值點(diǎn).

36.巳知曲線L的方程為I"="+:a20）.

（y=〃-t1

（1）討論L的凹凸性,

（2）過(guò)點(diǎn)（一1,0）引L的切線，求切點(diǎn)（工。,"）,并寫(xiě)出切線的方程,

（3）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于z（工。的部分）及z軸所圍成的平面圖形的面積.

37.試確定方程-z=sinz的實(shí)根個(gè)數(shù).

38.試確定方程二b,市=/一"的實(shí)根個(gè)數(shù).

39.試確定方程e，=axl（a>0）的實(shí)根個(gè)數(shù).

40.試確定方程lnx-￡t的實(shí)根個(gè)數(shù).

4】?試證：當(dāng)工》。時(shí)工）.

42.設(shè)工>0,證明i2sinz-Fex-e-x>4x.

43.設(shè)工>0,常數(shù)a>e.證明Q+工尸<a-'.

44.設(shè)eVaV6?證明dV必<b2,

Inb

45.設(shè)/(z)和g(外在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)J(0)=/(I)=-lJ7(x)dx>y,

試證至少存在一點(diǎn)￡￡(0,1),使+，《￡)】/《?—用=1.

46.設(shè)/G),gG)在［0,1］上連續(xù)，在(0,D內(nèi)可導(dǎo)，且(/《幻小=3「人工)業(yè)，試證存在

(0,1),使得，(包?，凌)［/(府一/?)1.

47,設(shè)八外在［-2,2］上二階可導(dǎo)，且I/(x)IV1,又［八0)了+［/(0)了=4.證明在

(-2.2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&使，(6+/(&=0.

48.設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［。,川上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且/(x)>0.若極限

1而八2壬一.存在，證明:

1x-a

(1)在Q存)內(nèi)人力>0,

(2)在Q,b)內(nèi)存在點(diǎn)卻使*---=77e\1

J/(x)dx八日

(3)在Q,6)內(nèi)存在與(2)中W相異的點(diǎn)+使，")(〃一/)=^￡/<x)dx.

49.設(shè)/(x),g(z)在［。,6］上連續(xù)，在(。,力內(nèi)可導(dǎo)?且g(a)=g(6)=l,/(x)#0.試證存

在￡岬6Q,b),使得，聾

50.設(shè)函數(shù)八外在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且八0)=0,/(1)-1

證明:存在￡W(0.1),,6償/)，使得/⑷+八獻(xiàn)―+力

51.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=/(I).試證存在E和平滿足0VWV

"<1,使//(0+/(獻(xiàn)=0?

52.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)-0./(1)-。，若/(x)在［0,1］上的

最大值為M>0,證明存在兩個(gè)不同的點(diǎn)力?馬6(0,1),使得

1_］_n

77T?)―M

其中〃是大于1的整數(shù).

53,設(shè)義工)在［0,1］上二階可導(dǎo)J(0)=/(I)=0,max/(x)-2.試證存在￡￡(0,1)使

?o<i

得r(e)16.

54.設(shè)/(外在［0,2］上二階可導(dǎo)，且|/(z)|<1.|r(x)|41,證明8

I/(X)|<2(0(工42).

學(xué)贈(zèng)養(yǎng)成之總結(jié).

學(xué)?人人凌",威力學(xué)?傳出的分力是盆本的條件，體要比給入會(huì)學(xué)，金/內(nèi)用時(shí)向，■，做是，■448.

一勖總結(jié)

二刷總納

三刷總結(jié)

一無(wú)畫(huà)數(shù)網(wǎng)》舉

學(xué)期養(yǎng)成之糾錯(cuò)與反思

，錯(cuò)題原因分析與正確方法

①”識(shí)上發(fā)牙3

②溫見(jiàn)過(guò)此委是殳

③計(jì)算氣遙

④工心（才修■.漏命仲）

iO攜導(dǎo)不

打

錯(cuò)題序號(hào)}■錯(cuò)題原因分析與正■方法

????????4?*****?*??????*??*?????****

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

學(xué)躲養(yǎng)成之制遨計(jì)劃

的哀時(shí)網(wǎng)無(wú)成打v

水耳的■。占比

□

□

□

1.若/⑺的導(dǎo)函數(shù)是sm九則/(x)有一個(gè)原函數(shù)為

(A)1+sinx.(B)l—sinx.(014-cosx.(D)l-

(cosz?x0?Jsin—?xy0.

2.設(shè)/<x)-g(x>=工則在(-8+8)上

(sinx?x<0.

0?T=0,

(A)/(x)與小工)都存在原函數(shù).

與g(z)都不存在原函數(shù).

(C)/(x)存在原函數(shù)?g(x)不存在原函數(shù).

不存在原函數(shù)?隊(duì)1)存在原函數(shù).

3,巳知:m設(shè)嗎

-⑺山(04工(2),則F(z)為

0&工V1.0《工V】?

1。42.1<x<2.

—xl.0《*V1,0<x<1,

(C)<3

x-1,14.y2.ICx<2.

4.設(shè)/<x)一?:'、則F(x)=f/(/)dz在工=。處

丁+o.x>0,J?

(A)極限存在但不連續(xù).(B)連續(xù)但不可導(dǎo).

(C)可號(hào).(D)是否可導(dǎo)與。的取值有關(guān).

(A^/Cx1).(B)一工/(/)?

(C)2z/(x:).(D)-2x/(xJ).

7.設(shè)/(工)連續(xù).且存在常數(shù)a.滿足5/+40=1/⑺市.當(dāng)x-*0時(shí).ar/Q)與"tanz一上>

是等價(jià)無(wú)窮小,則

(A)i?=3,c=4.(B)A=2.c=-4.

(C)￡=l.c30.(D)&-1,c=-90.

8.設(shè)a”=:，1+/dj■?則極限limna.等于

(A)(l+e)^+1.(BW+JH-L

(0(1+e'/+】.(D)(14-e)^-l.

9.勝EJ(1+M)0+二)…(1十?)等于

(A)|lnJjdx.(B)2jInxdr.

(OaPlnd+xidr.(D)jjn2(l+x)dx.

?

=|^cos(5inx)dr,則

10.設(shè)L■?sin(5inx)dr./:

(A)/,V1VL(B)l</,</,.

(C)/：<1<J,.(D”.</：<!.

11設(shè)./npInsin=I*Incotxdx,K=[*Incosidr,則1?J?K的大小關(guān)系為

(A)/<J<K.(B)/<K<J.

(C)J</<K.(D)K<J</.

12.設(shè)/.=jJsinid工(G-1,2,3)?則有

(A)/t</,<八.(B)/,</,<L,

(C)/;<h<(D)/2<h</..

13.曲線y=sin*x(O《x)與工軸圍成的圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

(A)(B)乎.(C)yx1.(D)

"J工':Hl3dx=-----------,

15|ar^inx^=

I，J(xVz),^"——一,

17.設(shè)/(z)是連續(xù)函數(shù)，且-工-1,則/(7)=?

18.設(shè)f(z)是連續(xù)函數(shù),且人工)=工+可:fa)d/，則/(工)=.

19.[-------皿..?

(2-x1)

20.JVxcosJxdx=.

21.JJcosG+Je-f，ck]sin:zdx=,1

22.Jx/cos1工—cos'dx■,

23.設(shè)a>0,則]xV2ax-x^dx=.

24.設(shè)/(z)=工一J/(工)cos工dx,則/(x)-,

25.設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，且J；“Ddc=3"-”，/(￡)&，則/(z)=

26.世1[V^T+y^r+…+=----------

27+COS:+J1+cos勺++J1+cos管)

limfe_,

28.sinnxdx

—J。

29,設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，且=(1+工'＞一1,則］JGOdx=

日

30.若|/")ck='?則IZil；衛(wèi)2&r=e

3i.r-=^

J，(x-4-7)X/7^2------------

32.函數(shù)y=在區(qū)間?空上的平均值為_(kāi)______.

一工。LLL.

33.由曲線yi+：?/=2及y=2所國(guó)圖形的面積S—.

34.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為「Ne-Q>0）.則該曲線上相應(yīng)于0從。變到2k的一段/與股軸

所附成的圖形的面積為.

35.（數(shù)學(xué)三不要求）曲戲》=Jjan冏的弧氏s一

36.（數(shù)學(xué)三不要求）一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于工軸的區(qū)間［0.1］上?若我線密度p=-f+A+1,則

該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)*=.

計(jì)算!驚dr.其中/（*>=］皿產(chǎn)也

38?計(jì)W積分|：

arctaMI+r)山du

39.求極限lim

40.設(shè)八r）為非負(fù)連續(xù)函數(shù)?■/（.1］/（工一力力-如。?求/J）在［0?熱匕的平均值.

4】.設(shè)/Q）在工=。的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)?且/（a）*0.求極限limQ二萬(wàn)/Q）一「/…

L.IJIC/□/

42.函數(shù)/（I）在［0?+8）上可導(dǎo)?八0）=0.旦其反函數(shù)為小/）‘若「（，一工）山

rln（1十/）?求/（x）.

13.設(shè)函數(shù)S(r)=jICOMHdr.

(1)當(dāng)〃為正格數(shù)?且，/V5+1)猶時(shí).證明2n&S("<2(n+1)：

(2)求lini,'二’.

44.(1)比較]：IIn”[ln(14-：)]'ck與jr"|inxId/(n=1,2,…)的大小，說(shuō)明理由i

(2)記u.■1|In：|[ln(l+x)]"d:(n=1,2,…)，求極限limu*.

Jo?-**

45.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足

/⑴=4廣工e(工)dx(k>1).

證明至少存在一點(diǎn)SG(0,】)，使得，《①=

46.設(shè)函數(shù)/(z)在［0,3］上連續(xù)?在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2/(0)-J*/(x)dx=/(2)+/(3).

(1)證明存在"6(0,2),使得府獻(xiàn)■/(0),

(2)證明存在WW(0,3),使得，(0?0.

47.設(shè)/(x)在［0,a］Q>0)上連續(xù)，且J：fG)dx=0.

試證存在￡6(0,0),使得八0一。―/(f).

48.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)?證明存在?€(0,1),使1/(力出=

0

若又設(shè)/(x)>o且單調(diào)減少，則這種e是唯一的.

49.設(shè)y=/(x)是區(qū)間［0,1］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).

(1)試證存在Zoe(0,1)，使得在區(qū)間［0，xJ上以/(X.)為離的矩形面積，等于在區(qū)間

［xo.l］上以y=/<x)為曲邊的曲邊梯形面枳卜

(2)又設(shè)義工)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/GO>一空2,證明(D中的“。是唯一的?

50.設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且/(0)=0,試證至少存在一點(diǎn)f6［0,1］，使

/(f)=2￡/(x)dx.

5L設(shè)函數(shù)八外在［一上連續(xù)，在工工0處可導(dǎo)，且，(0)工0.

(1)證明：對(duì)任意工W(0.Q,至少存在(0,1),使得

，，3也+,"/(力市=x［/(ftr)-/(-&)］?

(2)求極限lim8

52.設(shè)/(x)在［0,2R上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且Z(x)>0,證明：

J/(x)cosxdx20.

53.設(shè)函數(shù)八外在區(qū)間［0.1］上可導(dǎo)，且|廣(幻IVM,證明，

54.設(shè)八外滿足/⑴=h/（x）=門(mén)尢^（*2）?試證業(yè)”（外存在且不超過(guò)1+：.

55?（數(shù)學(xué)三不要求）-容器的內(nèi)俯是由圖中曲線繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成

的曲面.該曲線由+爐=2_y（y》1）與^+式:15）連

接而成.

（1）求容器的容積,

<2）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出.至少需要做多少功？

（長(zhǎng)度單位:m.通力加速度為gm/V,水的密度為lO^g/m1）.

圖2

56.《數(shù)學(xué)三不要求）設(shè)曲線L的方程為y=:/-4卜工（14z&e）.

（I）求L的弧長(zhǎng)：

（2）設(shè)D是由曲線L.直線工=l?/-e及工軸所圈成的平面圖形,求D的形心的橫坐標(biāo).

57.求曲線y=3—工；一1I與工軸圍成的封閉圖形線宜線>=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積.

58.設(shè)有拋物線r：y=。-6/（。>04>0）,試確定常數(shù)。,6的值，使得

（】）r與直線y=X+】相切,

（2）r與工軸所圖圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積最大.

59.設(shè)曲線y二｝與真線,=上及y=2所闈區(qū)域?yàn)镈.

（1）求區(qū)域D分別繞*軸和y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積,

（2）求區(qū)域D分別繞“=2和y=2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體枳.

60.求曲線y=?與t［線y=/所南區(qū)域D繞直線y=工旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

61.設(shè)平面域D由曲線廠-（1+cos8）所圍成?試求

（1）區(qū)域D的面積,

（2）區(qū)域D繞極軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

學(xué)用養(yǎng)成之總結(jié)

學(xué)■人人火A,成為學(xué)■傳山的?力是冬本的條件,作裳比川人會(huì)爭(zhēng)利用酎同?■，做■?俄再華??

一砌總鰭

二刷總結(jié)

三副混鰭

學(xué)需養(yǎng)成之糾錯(cuò)與反思

,錯(cuò)題序號(hào)■錯(cuò)題原因分析與正確方法

①》識(shí)#.遭拿罐

⑦沒(méi)地見(jiàn)比裳?更

③計(jì)算幡遙

④來(lái)件》

⑤護(hù)牛小尸記

顯

第三41一元豆取枳分單

第章常微分方程

學(xué)霸群成之刷題計(jì)劃

開(kāi)0時(shí)回先成打V

水平的■?占上

M-W□

墓二鼎□

第三副□

1.已知函數(shù)y=3(外在任意點(diǎn)處的增景△》=/答十°?且當(dāng)41-0時(shí),。是2的高階

無(wú)窮小,y(Q)-ic,則MD等于

(A)2x.(B)n.(C)et.(D)xet

2.方程y"+2:/+y=3NC-的特解形式為

(A)Are*\(BXAr+B)e-\

(CXAr+B)xe-\<D)(Ar+B)x2e-\

3.具有特解Moe-'，x=2"er.?=3J的三階常系數(shù)齊次線性做分方程是

(A)>*―/-y，+y-0.(B)v*+y*-y，-y=0.

(C)y。-6y"+1—6y=0.(D)y*—2>*—y'+2y=0.

4.微分方程，-4y'+8y=en(l-Fcos2x)的特解可設(shè)為y'=

(A)Ae"+e:*(Bcos2x+Csin2x).(B)Are:,+e：t(Bcos2x4-Csin2x).

：

(C)A/H-xen(Bcos2xCsin2N>.(D)Are7j4xer(Bcos2x4-Csin2x>.

5.函數(shù)y-Gd+GL?+N-滿足的一個(gè)激分方程氈

(A)y"—y'—2y-3xe\(B)yM—>?,—2y=3e*.

(C)y"+y'—2y=3NC\(D)y"+『一2y=3c\

6,在下列微分方程中.以y=Gd-Geos2z+C㈤n2r(Q?G為任意常數(shù)〉為通解的是

(A)y"+y"—4y'—4y=0.(B)y'+y*+4y'+4y-0.

《C*.一$一\y+4y=?0.(D)>>—y"+4y'—4y=0.

7.微分方程Z-A:>=e-十/"。>0)的椅解形式為

(A)d(eu+m.(B)ar(eu(C)j(?eu+加“).(D)x2(aeu+乩如).

8.方程xlnxdy-F(>—Inx)dx=0滿足初始條件N|.7=1的特解為.

9.微分方程(y+￡)dx—2xdy=0滿足=￡的特解為_(kāi)______

0

10.方程(1+『e*業(yè)+6-工)力=o的通解為.

11.已知方程/+”'+與=0的通解為、=。4+0。-"，則方程/+”'+分=，

滿足初始條件>(o)=o,義0)=4的特解為?

12.方程y"+y=i+cos工的通解為?

13.設(shè)函數(shù)y(x)滿足/+(工-1)，+Yy=/,且y(0)=1.若limd三)「產(chǎn)=0,則。=

x

14.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程/一4/+3y=2M的通解為.

15.三階常系數(shù)線性齊次減分方程/-2/+/—2y=0的通解為.

16.(僅數(shù)學(xué)三要求)差分方程2,i+10>,-5上-0的通解為.

17.(僅數(shù)學(xué)三要求)差分方程—2M=4(3+02*的通解為?

18.設(shè)函數(shù)y=y(z)滿足微分方程/-3y'+2y=2e“，且其圖形在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲

線y=U-1+1在該點(diǎn)的切線重合,求函數(shù)y=>(x).

19.已知”=3,”=3+工”，力-3+1是某二階線性非齊次方程的三個(gè)特解，求該微分方

程及通解.

20.求微分方程/+(工+戶)/■。的通解.

21.設(shè)函數(shù)/(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足

2)1(工—”⑺出+也

求/(x)的表達(dá)式.

22,設(shè)人公連續(xù)，且滿足J：f(D出=工+(，/0—。出,求人工).

23.設(shè)義編為連續(xù)函數(shù)，且滿足

/(x)=e*+?<，［/(￡)了市?

試求/(x).

24.函數(shù)人外在［0,+8)上可導(dǎo)，/(0)=1,且滿足等式

/(x)+/(x)-=0.

(1)求導(dǎo)數(shù)，(公，

(2)證明：當(dāng)工》0時(shí)，不算式『&/(幻《1成立.

25.設(shè)/(x)連續(xù)，且/(：)-J(d+/)/(，z，+fjdxdy+d(￡20),求/(x).

26,設(shè)義外在(-8,+8)上有定義，r(0)=2,對(duì)任意的工有八工+y)=e\f(y)+

<f(z)，求/(x).

27.設(shè)/(x)在［1,+8)上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，八1)-0./(1)=1,且n=+丁)八/+

?)滿足爵+言=0,求八外在口，+8)上的最大值.

28.設(shè)函數(shù)w(x,y)的全微分du-［e，+re)］ydx+/G)dy,其中/具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，

且/(0)=4,/(0)=3,求/(x)及u(x*>).

29.求過(guò)原點(diǎn)的曲線y=y(”)，使曲線上任一點(diǎn)P的法線段PQ(