第05講橢圓及其性質(zhì)（模擬精練+真題演練）1．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】由題意，，即，可得，則.故選：C2．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)不相切的球與一個(gè)圓錐面都相切，若一個(gè)平面在圓錐內(nèi)部與兩個(gè)球都相切，則平面與圓錐面的交線是以切點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．如圖所示，這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用．用平行光源照射一個(gè)放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影區(qū)域內(nèi)（含邊界）有一點(diǎn)，若平行光與桌面夾角為，球的半徑為，則點(diǎn)到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，如圖所示，則，所以到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為：，，，故選：D3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱(chēng)為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：（）的蒙日?qǐng)A為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：D4．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對(duì)稱(chēng)軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．5．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）P為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A，B，C，D，若，則P到x軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】中，令得，令得，不妨設(shè)，，，，則A，B為橢圓的焦點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又，，由橢圓定義可知，P點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，其中，故，，所以P為橢圓上一點(diǎn)，由，解得，則，故P到x軸的距離為．故選：D6．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18【答案】D【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和4，其對(duì)角線長(zhǎng)為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長(zhǎng)方形為正方形，邊長(zhǎng)為，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．7．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．故選：C．8．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由，得．可知，又知，所以，則為直角，由題意，點(diǎn)恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，，設(shè)，則，在直角三角形中，，解得，從而，所以.故選：D．9．（多選題）（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線C的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線C．曲線C不可能為圓D．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的橢圓【答案】AD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦距為的雙曲線，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在y軸上，焦距為的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線表示圓，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD10．（多選題）（2023·云南·校聯(lián)考二模）已知橢圓，為C的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，若交C點(diǎn)于點(diǎn)Q，則（

）A．周長(zhǎng)為8 B．C．面積為 D．【答案】AD【解析】由題意，在橢圓中，，不妨設(shè)在軸上方，則，，所以，故B錯(cuò)；的周長(zhǎng)為，A正確；設(shè)，在中，得，所以，D正確；，所以，故C不正確，故選：AD．11．（多選題）（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．【答案】ACD【解析】如圖所示：∵橢圓的離心率為，∴不妨設(shè)橢圓．∵的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，∴為等邊三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，∴．故C項(xiàng)正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得．由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，∴．故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，聯(lián)立，消去y得：，則，由韋達(dá)定理得，所以，故D項(xiàng)正確．故選：ACD12．（多選題）（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，故的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故?dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，故最大面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD13．（多選題）（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的左側(cè)），記面積為S，則（

）A． B．時(shí)，C．S的最大值為 D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】由題知，，，設(shè)，則，對(duì)于A，根據(jù)橢圓的定義，，故A正確；對(duì)于B，，故，因?yàn)椋?，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即所以，面積為，即的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，因?yàn)?，所以，由點(diǎn)在橢圓C得，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以面積為，故D正確；故選：ABD.14．（多選題）（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線y＝m與C交于A，B兩點(diǎn)（A在y軸右側(cè)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，四邊形ABF1F2為矩形C．若，則D．存在實(shí)數(shù)m使得四邊形ABF1O為平行四邊形【答案】ABD【解析】由橢圓與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，故A正確；當(dāng)時(shí)，可得，又，則，則四邊形為矩形，故B正確；設(shè)，則，若，則，又，聯(lián)立消元得，解得，故C錯(cuò)誤；若四邊形為平行四邊形，則，即的橫坐標(biāo)為即可，代入橢圓方程可得，故當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，故D正確．故選：ABD．15．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則是的角平分線，所以，又因?yàn)椋?，設(shè)，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：16．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】設(shè)為半焦距，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，整理得，所以，得，又，所?故答案為：17．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)闉榈膬?nèi)切圓圓心，則，顯然是銳角，當(dāng)且僅當(dāng)最大時(shí)，最大，且最大，又，即有最小，在橢圓中，，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)，即為正三角形時(shí)，取得最大值，取最大值，所以的最大值為.故答案為：18．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┲睆綖?的球放地面上，球上方有一點(diǎn)光源P，則球在地面上的投影為以球與地面的切點(diǎn)F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.若橢圓的長(zhǎng)軸為，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】依題意，平面截球O得球面大圓.如圖，是球O大圓的外切三角形，其中，切圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)，顯然，而，則，又，則，由圓的切線性質(zhì)知.在中，，則，于是得橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即.又F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，令橢圓的半焦距為c，即，因此，所以橢圓的離心率.故答案為：19．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點(diǎn)重合，邊過(guò)的中心，若邊上中線過(guò)點(diǎn)，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為.【答案】【解析】如圖：邊過(guò)的中心，所以為的中點(diǎn)，則為邊上的中線，邊上中線過(guò)點(diǎn)，所以兩中線的交點(diǎn)為，即為的重心，所以，即，則，所以，所以，所以，所以.故答案為：.20．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)平面上點(diǎn)B滿足，過(guò)與平行的直線交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.【解析】（1）由題設(shè)及，不妨設(shè)，所以，，解得或（舍去），從而，直線的方程為，整理得，原點(diǎn)到直線的距離為，將代入整理得，即，所以離心率.（2）由（1）問(wèn)可設(shè)橢圓方程為，則，因?yàn)?，所以為平行四邊形，所以直線過(guò)點(diǎn)，則斜率為，則設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得，顯然，則，則，解得（負(fù)值舍去），所以，所以橢圓方程為.1．（2022?甲卷）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設(shè)，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．2．（2021?新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．6【答案】【解析】，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為9．故選：．3．（2021?乙卷）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，則，，故，，，又對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故只需要滿足，即，則，所以，又，故的范圍為，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，又，所以，即，故不滿足題意，綜上所述的的范圍為，，方法二：根據(jù)題意，有，設(shè)，，則，也即，不妨設(shè)，則，，，也即，，，也即，，，從而可得，，從而離心率的取值范圍為，，故選：．4．（2021?乙卷）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】【解析】是橢圓的上頂點(diǎn)，所以，點(diǎn)在上，設(shè)，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13．【解析】橢圓的離心率為，不妨可設(shè)橢圓，，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，△為等邊三角形，過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，設(shè)直線方程為，，，，，將其與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，解得，的周長(zhǎng)等價(jià)于．故答案為：13．6．（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，且，，則的方程為．【答案】．【解析】設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，由，，相減可得：，則，設(shè)直線的方程為：，，，，，，，，，，解得，，，化為：．，，解得．的方程為，即，故答案為：．7．（2021?甲卷）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為．【答案】8．【解析】因?yàn)?，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積為．故答案為：8．8．（2021?浙江）已知橢圓，焦點(diǎn)，，．若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)，且軸，則該直線的斜率是．【答案】．【解析】直線斜率不存在時(shí)，直線與圓不相切，不符合題意；由直線過(guò)，設(shè)直線的方程為，直線和圓相切，圓心到直線的距離與半徑相等，，解得，9．（2021?上海）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)作拋物線交橢圓于，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是．【答案】．【解析】設(shè)，，則拋物線，直線，聯(lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又所以，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故答案為：．10．（2020?上海）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且滿足，求直線的方程是．【答案】．【解析】橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且滿足，可知直線的斜率為，所以直線的方程是：，即．故答案為：．11．（2023?北京）已知橢圓的離心率為，、分別為的上、下頂點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，．（1）求的方