第5講一次方程（組）及其應(yīng)用目錄梳理知識脈絡(luò)探究方法秘籍培育核心素養(yǎng)第5講一次方程（組）及其應(yīng)用返回目錄梳理知識脈絡(luò)NO.1一次方程（組）的有關(guān)概念

1.

方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作方程的解，也叫根.2.

一元一次方程：只含有①

一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是②

1

的整式方程.3.

二元一次方程：含有③

兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是④

1

的整式方程.4.

二元一次方程組：方程組中有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1一個1

兩個1

一次方程（組）的解法

1.

一元一次方程的解法：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）系數(shù)化為1.2.

二元一次方程組的解法：（1）代入消元法；（2）⑤

加減消元法加減消元一次方程（組）的實際應(yīng)用

列一次方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題；（2）找等量關(guān)系；（3）設(shè)未知數(shù)；（4）列方程（組）；（5）解方程（組）；（6）作答第5講一次方程（組）及其應(yīng)用返回目錄探究方法秘籍NO.2

一次方程（組）的解和解法

【方法秘籍】將方程的解代入方程，得到關(guān)于字母的方程，再解這個關(guān)于字母的方程，求出字母的值.

一次方程（組）的解法例2課堂上老師出了一道題：

（1）小組學(xué)習(xí)時，老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)這么做：由②得x＝3y＋11，③將③代入①得2（3y＋11）＋y＝1，

解：（1）根據(jù)題意可知，同學(xué)使用了代入消元法解這個方程組，目的是把方程組從“二元”變?yōu)椤耙辉?，體現(xiàn)了消元的數(shù)學(xué)思想，故答案為：代入，消元.（2）請用另一種消元方法解這個方程組.

②×2得2x－6y＝22，③①－③得7y＝－21，解得y＝－3，

【方法秘籍】1.優(yōu)先選代入消元法的情況：（1）當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)是1或－1時；（2）當(dāng)一個方程的常數(shù)項為0時.2.

優(yōu)先選加減消元法的情況：方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)或成整數(shù)倍.

2.

解下列一次方程（組）：（1）（2024·新疆）2（x－1）－3＝x；解：（1）5；

一次方程（組）的應(yīng)用例3為紀(jì)念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗.某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍.（1）求豆沙粽和肉粽的單價；解：（1）設(shè)豆沙粽的單價為x元，肉粽的單價為2x元，由題意可得10x＋12×2x＝136，解得x＝4，∴2x＝8.答：豆沙粽的單價為4元，肉粽的單價為8元.（2）超市為了促銷，對購買粽子達20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）：顧客豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；

答：豆沙粽優(yōu)惠后的單價為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價為7元.②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計.A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過肉粽的一半.端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷量分別為（80－4m）包，（4m＋8）包，A，B兩種包裝的銷售總額為17

280元.求m的值.解：（2）②由題意可得[3m＋7（40－m）]×（80－4m）＋[3×（40－m）＋7m]×（4m＋8）＝17

280，

答：m的值為10.【方法秘籍】列方程或方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是弄清題意，在變化的關(guān)系中找出不變的量，得出等量關(guān)系.常采用“譯式法”“圖示法”或“列表法”列方程（組）.

3.

（2024·江西）如圖，書架寬84

cm，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚0.8

cm，每本語文書厚1.2

cm.（1）數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；解：（1）設(shè)書架上的數(shù)學(xué)書有x本，則語文書有（90－x）本，根據(jù)題意，得0.8x＋1.2（90－x）＝84，解得x＝60，∴90－x＝30.答：書架上的數(shù)學(xué)書有60本，語文書有30本.（2）如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？解：（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，則10×1.2＋0.8m≤84，解得m≤90.答：數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本.第5講一次方程（組）及其應(yīng)用返回目錄培育核心素養(yǎng)NO.3

解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，由題意，得400x－3

400＝300x－100，解得x＝33，∴400x－3

400＝9

800（錢）.答：合伙人數(shù)為33人，金價為9

800錢.2

3.

（2025·湖北）某商店銷售A，B兩種水果.A水果標(biāo)價14元/kg，B水果標(biāo)價18元/kg.（1）小明陪媽媽在這家商店按標(biāo)價買了A，B兩種水果共3

kg，合計付款46元.這兩種水果各買了多少千克？

答：甲種水果買了2

kg，乙種水果買了1

kg.（2）媽媽讓小明再到這家商店買A，B兩種水果，要求B水果比A水果多買1

kg，合計付款不超過50元.設(shè)小明買A水果m

kg.①若這兩種水果按標(biāo)價出售，求m的取值范圍；解：（2）①設(shè)小明買A水果m

kg，則小明買B水果（m＋1）kg，由題意得14m＋18（m＋1）≤50，解得m≤1.又m＞0，∴m的取值范圍為0＜m≤1.②小明到這家商店后，發(fā)現(xiàn)A，B兩種水果正在進行優(yōu)惠活動：A水果打七五折；一次購買B水果不超過1

kg不優(yōu)惠，超過1

kg后，超過1

kg的部分打七五折（注：“打七五折”指按標(biāo)價的75％出售）.若小明合計付款48元，求m的值.解：（2）②設(shè)小明買A水果m

kg，則小明買B水果（m＋1）kg，由題意得14×0.75m＋18×1＋18×0.75×（m＋1－1）＝48，解得m＝1.25.答：m的值為1.25.4.

（2024·河南）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐.這兩種食品每包質(zhì)量均為50

g，營養(yǎng)成分表如下.（1）若要從這兩種食品中攝入4

600

kJ熱量和70

g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？

答：應(yīng)選用A種食品4包，B種食品2包.（2）運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多.若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90

g，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？解：（2）設(shè)選用A種食品m包，則選用B種食品（7－m）包，根據(jù)題意得10m＋15（7－m）≥90