第一章勾股定理1探索勾股定理第1課時(shí)探索勾股定理能力提升精練1探索勾股定理1.如圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC,則AD的長(zhǎng)為(

)

A.6 B.7 C.8 D.9

2.小明將一張長(zhǎng)為20cm,寬為15cm的長(zhǎng)方形紙片(AE>DE)剪去了一角,剩余部分如圖所示,量得AB=3cm,CD=4cm,則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為(

)A.5cm B.12cm C.16cm D.20cm【解析】如圖,延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)F,則△BFC是直角三角形,根據(jù)勾股定理,得BC2=BF2+FC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,所以BC=20,故剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為20cm.故選D.3.[2021山東濟(jì)南章丘區(qū)期末]有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的大正方形,經(jīng)過(guò)1次“生長(zhǎng)”后,在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形,其中,三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形,再經(jīng)過(guò)1次“生長(zhǎng)”后,形成的圖形如圖所示.如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去,它將變得“枝繁葉茂”,那么“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是(

)A.2022 B.2021 C.2020 D.1【解析】如圖,由題意,得S正方形A=1.由勾股定理,得S正方形B+S正方形C=S正方形A=1,所以“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2;由勾股定理,得S正方形E+S正方形D=S正方形B,S正方形F+S正方形G=S正方形C,所以S正方形E+S正方形D+S正方形F+S正方形G=S正方形B+S正方形C=S正方形A=1,所以“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3;同理,可得“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4······“生長(zhǎng)”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021+1=2022.故選A.4.[2021江蘇宿遷調(diào)研]如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連接PC,則線段PC長(zhǎng)度的最小值是

.

5.易錯(cuò)題在△ABC中,AB=15,AC=13,BC邊上的高AD=12,則BC的長(zhǎng)為

.

【解析】①當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí),如圖1,根據(jù)勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,CD2=AC2-AD2=132-122=25,所以BD=9,CD=5,所以BC=BD+CD=9+5=14;②當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí),如圖2,由①得BD=9,CD=5,所以BC=BD-CD=9-5=4.綜合①②,得BC的長(zhǎng)為14或4.6.[2021廣東佛山禪城區(qū)期末]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20cm,AC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),連接PB,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)BC=

cm;

(2)當(dāng)PA=PB時(shí),求t的值.【解析】

(1)12在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=20cm,AC=16cm,所以BC2=AB2-AC2=202-162=122,所以BC=12cm.(2)由題意,得PA=tcm,則PB=t

cm,PC=(16-t)cm.在Rt△PCB中,∠PCB=90°,所以PC2+BC2=PB2,即(16-t)2+122=t2,解得t=12.5.7.[2021江蘇無(wú)錫期中]小王剪了兩張直角三角形紙片,分別進(jìn)行了如下的操作:操作一

如圖1,小王拿出一張直角三角形紙片,將

Rt△ABC

折疊,使斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)A與B重合,折痕為DE.(1)若AC=6cm,AB=10cm,則△ACD的周長(zhǎng)為

cm;

(2)若∠CAD∶∠BAD=1∶4,則∠B的度數(shù)為

;

操作二

如圖2,小王拿出另一張直角三角形紙片,將直角邊AC沿AD折疊,使它落在斜邊AB上,且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合.若AC=9cm,AB=15cm,請(qǐng)求出CD的長(zhǎng).【解析】

操作一

(1)14在Rt△ABC中,∠C=90°,所以BC2+AC2=AB2,即BC2+62=102,所以BC=8cm.由折疊的性質(zhì),得AD=BD,所以△ACD的周長(zhǎng)為AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14(cm).(2)40°設(shè)∠CAD=x,則∠BAD=4x,由折疊的性質(zhì),得∠B=∠BAD=4x.因?yàn)椤螧+∠CAD+∠BAD=90°,即4x+x+4x=90°,所以x=10°,所以∠B=40°.操作二

在Rt△ABC中,∠C=90°,所以BC2=AB2-AC2=152-92=144,所以BC=12cm.由折疊的性質(zhì),可知CD=DE,AE=AC=9cm,∠DEA=∠C=90°.因?yàn)锳B=15cm,所以BE=AB-AE=6cm.設(shè)CD的長(zhǎng)為xcm,則BD=(12-x)cm,DE=CD=xcm.因?yàn)椤螪EB=180°-∠DEA=90°,所以DE2+BE2=BD2,即x2+62=(12-x)2,解得x=4.5.故CD的長(zhǎng)為4.5cm.8.在△ABC中,∠BAC=90°,分別以Rt△ABC的三邊為直徑作半圓.(1)若這三個(gè)半圓在BC的兩側(cè)(如圖1所示),半圓的面積分別為S1,S2,S3,