立體幾何截面問題8種常見考法歸類

解題策略

立體幾何截面問題在高中數(shù)學(xué)中十分常見，探究學(xué)習(xí)的關(guān)鉞是理解截面的稷念.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾

何體所得到的平面圖形稱之為橫面，需要把握其中的兩點(diǎn)：一是版面的常見形狀：二是影響板面形狀的因

素，與幾何體、板取方式密切相關(guān).

截面定義：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面，與幾何體表面

的交集(交線)叫做截線，與幾何依棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn).

理論基礎(chǔ)：主要依據(jù)立體幾何的三個(gè)基本事實(shí)及線面平行兩個(gè)性質(zhì)定理.

模型分析：作正方體截面圖形的關(guān)鍵是找出截面與正方體表面的交線，而找交線的關(guān)鍵是確定截面與

正方體校的交點(diǎn).

(1)平行法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E,且直線FG〃平面ABCD,則根據(jù)基本事實(shí)三和定理

1可知兩平面的交線1過公共點(diǎn)E且與直線FG平行，如圖1所示.

(2)相交法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E,但是兩個(gè)平面內(nèi)均不易找出現(xiàn)成的直線與另一個(gè)平

面平行，此時(shí)，可以延長FG與平面ABCD交于點(diǎn)H,連接EH,由基本事實(shí)三知其為兩平面的交線，如圖2所

示.

圖1圖2

(3)平行四邊形法模型：在AiA的延長線上任取點(diǎn)E,在BBi、DDi上任取點(diǎn)F、H,連接EF交AB于點(diǎn)G,

連接EH交AD于點(diǎn)I,以EF、EH為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，可以得出截面與正方體其它棱的交點(diǎn)，如這里的點(diǎn)J,

依次連接各交點(diǎn)，五邊形GFJHI即為正方體微面圖形，如圖3所示.

此方法比較適用于截面圖形是五邊形、六邊形這種復(fù)雜一點(diǎn)的截面圖形.因?yàn)槲暹呅谓孛?、六邊形截?/p>

中，兩不相鄰邊的延長線的交點(diǎn)一定在正方體棱的延長線上.

(一)正方體截面的作圖方法

為了更好地詮釋過正方體棱、面、體上不共線三點(diǎn)的極面圖形作法，下面展示以下幾種常規(guī)作圖題型.

1、假面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)分別在正方體的棱上

(1)已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都在正方體的表面上，直接兩兩連接即得假面圖形，如圖4

(2)已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線恰有兩條在正方體的表面上，由平行法或相交法可得橫而圖

形(如圖5所示).

圖5

平行法思路：連接GF,在平面ABB1A1內(nèi)過點(diǎn)E作EH〃GF,并交AA】于點(diǎn)H,則四邊形EFGH為所求的極

面圖形.

相交法思路：連接FE并延長交DA的延長線于點(diǎn)H,連接GH交AA】于點(diǎn)I,則四邊形EFGI為所求的截面圖

形.

（3）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線恰有一條在正方體的表面上，由相交法（作圖思路略）或平行

四邊形法可得截面圖形（如圖6所示）.平行四邊形法思路：連接FG并延長，交DD］的延長線于點(diǎn)P,連接PE交

AW1于點(diǎn)H,則點(diǎn)H為截面上一點(diǎn)，以PE、PF為鄰邊做平行四邊形PEQF,則QF與BC的交點(diǎn)I也為板面上的點(diǎn)，

則五邊形EIFGH即為所求的或面圖形.

圖6

（4）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都不在正方體的表面上，可以通過做輔助平面的方法轉(zhuǎn)到相

交法來處理（如圖7）.

在平面AiBiJDi內(nèi)過點(diǎn)G作GH〃AiBi，交團(tuán)好于點(diǎn)H,連接HB并延長交GE的延長線于點(diǎn)I,連接IF交BC

于點(diǎn)J,連接EJ并延長交DC的延長淺于點(diǎn)L交DA的延長線于點(diǎn)K,連接KG交AAi于點(diǎn)M,連接LF并延長交Dig

于點(diǎn)N,則六邊形EJFNGM為所求的截面圖形.

有了前面的平行法、相交法、平行四邊形法3種作截面圖形的模型介紹，對(duì)經(jīng)過正方體核上不共線三

點(diǎn)的極面圖形作法，學(xué)生不難領(lǐng)悟.

2、戰(zhàn)而經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在正方體的面上，其余點(diǎn)在正方體的棱上

在正方體ABCD-AiBigDi中，點(diǎn)E為其上底面一點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為棱AA】、BC上的點(diǎn)，如圖8所示,

試作正方體ABCD-AiBigDi過點(diǎn)E、F、G的板面.

作法提示：作EEJ/AAi并交平面ABCD于點(diǎn)Ei，連接EF、E】A并使其延長線交于點(diǎn)S;連接SG交AB于點(diǎn)L,

易知點(diǎn)L為城面上一點(diǎn)；連接LF并延長交BiA】的延長線于點(diǎn)P,連接PE并延長，交AiDi于點(diǎn)M、交。也】于點(diǎn)

N,則點(diǎn)M、N為極面上的點(diǎn)，以PN、PL為鄰邊做平行四邊形PLQN,則QN與CQ的交點(diǎn)R也為根而上的一點(diǎn)；

依次連接各交點(diǎn)，則六邊形MFLGRN即為所求的截面圖形.

圖8

當(dāng)點(diǎn)不在棱上，而在面內(nèi)時(shí)，可以借助構(gòu)造新的平面，將點(diǎn)轉(zhuǎn)到棱上來，繼而用平行法、相交法、平

行四邊形法作截面圖形.

3、截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在正方體的體內(nèi)，其余點(diǎn)在正方體的棱上

在正方體ABCD-AiB]C】Di中，點(diǎn)E為其體內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為棱AA〔、BC上的點(diǎn)，如圖9所示，試

作正方體ABCD-AiBigDi過點(diǎn)E、F、G的截面.

作法提示：過點(diǎn)E作平面ABCD的垂線，垂足為H,連接HA并延長，交EF的延長線于點(diǎn)I,連接IG交AB于

點(diǎn)、],連接JF并延長交B1A1的延長線于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作JG的平行線,交AiDi于點(diǎn)L,交D1。于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作FJ

的平行線，交CC】于點(diǎn)N,則六邊杉FJGNML為所求的截面圖形.

當(dāng)有點(diǎn)在體內(nèi)時(shí)，可以類似題型二，借助做輔助面將體內(nèi)的點(diǎn)轉(zhuǎn)到面上，繼而轉(zhuǎn)到棱上.

（二）立體幾何動(dòng)截而最值問題的一般解題步驟

1、立體幾何動(dòng)板面最值問題的一般解題步驟（即四關(guān)）：尋找（動(dòng)橫面大致位直）——判斷（動(dòng)截面形狀特

征）——猜想（最值板面所在位置）——求（動(dòng)橫面面積表達(dá)式和最值）.

2、在猜想求解選擇題中的微面最值問題時(shí)，要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動(dòng)中找靜”：如正

三角形、正六邊形、正三棱錐等.

3、求截面面積表達(dá)式常采用割補(bǔ)法.

4、結(jié)合線、面平行及線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求截面問題.

第二次

ST高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一作截面

考點(diǎn)二判斷截面的形狀

考點(diǎn)三求解截面的周長

考點(diǎn)四求解截面的面積

考點(diǎn)五求解截面體積

考點(diǎn)六截面分體積問題

考點(diǎn)七與截面圖形有關(guān)的最值問題

考點(diǎn)八球截面問題

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一作截面

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）己知正方體48CO-A與CQ是棱長為1的正方體，M是棱4A的中點(diǎn)，過C、

2、用三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積.

【答案】作圖過程見解析，:9

O

【分析】連接AM,并延長，交D4延長線于N連CN交A8于連接MP,即可得到過C、A、M三點(diǎn)

的正方體的截面：利用三角形中位線的性質(zhì)可得Ss“p=3Swp,結(jié)合正方體棱長為1即可得答案.

【詳解】連接。iM,并延長，交DA延長線于N連CN交八8于P,連接MP,

則CRMP為過C、。1、M三點(diǎn)的正方體的截面，

所以M是N。的中點(diǎn)，A是N。的中點(diǎn),

因?yàn)锳P〃CO，所以P是NC的中點(diǎn),

所以例夕是三角形NC2的中位線,

所以ScD、MP=35耳\護(hù),

因?yàn)檎襟w的棱長為1,

所以可得MN=PN=?=,

22

所以三角形NMP是以MN=/W=在為腰，以M尸二正為底的等腰三角形,

22

邊M尸上的高為

三角形NMP是的面積S.p=L史x述=3

MP2248

9

所以SW"，=3S,VM，=S

O

2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體A8CO-AMCQ的棱長為。，M、N分別是CQ,A。的中點(diǎn),

〃在CG上且滿足CP=2PG，過M、N、/，三點(diǎn)作正方體的截面，并計(jì)算該截面的周長.

+也

【答案】

24

【分析】延長MP交。C的延長線于七，連接NE交8C于G,連接PG,延長PM交。A的延長線于凡連

接NF交ARFH,連接M”，則五邊形MHNGP為過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，通過相似

三角形及勾股定理計(jì)算依次求得各邊長即可求得結(jié)果.

【詳解】延長MP交。C的延長線于，連接NE交.BC于G,連接PG,延長尸M交。。的延長線于E連

接NF交ARFH,連接則五邊形MHVG尸為過例、N、Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面.

由已知可得，MG=1，PG=g,得叱=惇弓=華,

CE=2MG="則CG=：NO==,得PG=，C+^=叵，則NG=1NE=!

24V1691222

ro=,ro=,

'5T則囁皿=右^=等,

3.12023?遼寧遼陽?統(tǒng)考一模）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4CQ中，E,F,G分別為人蜴，網(wǎng)，

⑴過8G作該正方體的截面，使得該截面與平面CE”平行，寫出作法，并說明理由:

(2)求直線OE與平面CE尸所成角的正弦值.

【答案】(1)作法見解析，理由見解析

⑵：

【分析】(I)通過構(gòu)造面面平行的方法作出截面.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線QK與平面GEb所成角的正弦值.

【詳解】(1)取CC的中點(diǎn)”，連接同建，%G,AH,(JH,

即我面84?！睘橐笞鞯慕孛?

理由如下:

因?yàn)镋，尸分別為44，8片的中點(diǎn)，所以48〃律，

又48(2平面GEF,￡Fu平面CEP,所以A1〃平面G《F.

在正方形ABCiR中，因?yàn)?為。|2的中點(diǎn)，

所以AE〃GG，且AE=GG，

所以四邊形AEGG為平行四邊形，所以AG〃EG,

由于AG<X平面石6(=平面€；￡廠，

所以4G〃平面

又a3cAG=A，A氏AGu平面BAG,

所以平面34。〃平面￡EF.

連接。c，易證GH//RC，AB叫C,則G，〃AB,

所以A，B,H,G四點(diǎn)共面，從而截面841GH為要求作的截面.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(O,QO),G(0,2,2),￡(2,1,2),*2,2,1),

ECX=(-2,1,0),EF=(O,l,-l),DE=(2,1,2).

,、EC.?m=-2x+y=0

設(shè)平面GE”的法向量為加=(x,y,z),則」),

EFrfi=y-z=0

令x=I,得加=(1,2,2),

用以'7\DE\\m\9-

故直線QE與平面G月產(chǎn)所成角的正弦值為，

4.（2023?高一單元測試「）如圖：正方體ABCD-A/B/GD/棱長為2,E,4分別為OB曲的中點(diǎn).

（1）求證：677/平面

⑵過點(diǎn)。作正方體截面使其與平面A/EO平行，請(qǐng)給以證明并求出該截面的面積.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析?，2瓜

【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明CF〃平面4/EC"

（2）先利用面面平行判定定理作出截面，再去求其面積即可.

【詳解】（1）取Cg中點(diǎn)M,連接

由MC”耳，可得四邊形為平行四邊形，則FC〃何用

由加￡幺44,可得四邊形MEA,4為平行四邊形，則A￡〃加4

則入￡〃尸。，又AEu平面AEG，。尸a平面則“〃平面

B

A/

(2)取AA/,CU中點(diǎn)G,H,連接/JG,CB/,HiH,HD,

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以AF〃QH

因?yàn)樗倪呅蜛H?心為平行四邊形，所以G4///AF,所以GBH/DH

所以GDHB,即為過點(diǎn)。長方體截面，

VDG/M/E,平面AEG,7）Ga平面人石。，/.DG/ZfUuAEC/

?：DH"CiE,GEu平面AEC/,DH（z平面AEG,1.DH〃平面AEG

又IDH?DGD,/.平面￡）〃86〃平面AEC,.

SG呼=ix2>/2x2>/3=2x/6

5.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-A/GA中，S是四口的中點(diǎn)，E,F,G分別

是8C,DC,SC的中點(diǎn).

（1）求證：平面EFG〃平面

（2）若正方體棱長為1,過A,E,G三點(diǎn)作正方體的截面，畫出極面與正方體的交線，并求出截面的面積.

【答案】（1）證明見解析

（2）作圖見解析；截面的面積為逅

2

【分析】（1）由中位線得到兩組線線平行，推得兩組線面平行，進(jìn)而證明面面平行;

（2）利用平行法作出截面，得到截面為平行四邊形，進(jìn)一步證明其為菱形，最后利用對(duì)角線計(jì)算面積.

【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接S3,

由EG為△CSB的中位線，可得EG//S8,

由EGa平面BDD、,SBu平面BDD、片，可得EG//平面BDDl；

由所為△COB的中位線，可得EF//DB,

由E/a平面BDD、B1,D8u平面,可得砂//平面BDD}B^,

又EFCRG=F..EF.EG^EFG,可得平面EFG//平面：

（2）取4G的中點(diǎn)M連接AN,NE,顯然NE/iBBJIM，NE=BB1=M，

所以AENA為平行四邊形，可得4E//AN,AE=AN,

取AA的中點(diǎn)M，連接MC-AM,顯然MA〃GMMA=GN,

所以ANG"為平行四邊形，可得MC|=AN,MC、HA、N,

綜上，截面AEG"為平行四邊形，又AE=EC=AM=MC=^^冷

所以截面4EGM為菱形，截面的面積為==漁.

222

考點(diǎn)二判斷截面的形狀

6.（2023?全國?高一專題練習(xí)）用平面截正方體，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.TF五邊形D.IF六邊形

【答案】C

【分析】舉例即可說明A、B、D正確：假設(shè)截面是正五邊形，經(jīng)分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊

形的性質(zhì)相矛盾，即可判斷C項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)截面與正方體表面平行，且與正方體相交時(shí)，截面為正方形，即截面可能是菱形，

故A項(xiàng)正確；

圖1

對(duì)于D項(xiàng)，如圖I,當(dāng)G石=。|尸w81G時(shí)，有EF7/BD,且BDHEF,此時(shí)截面為等腰梯形，故B項(xiàng)

正確；

對(duì)于C項(xiàng)，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩

平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條械線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，

但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

^.|4—i-----------

；!叼1H

對(duì)干D項(xiàng)，如圖2,EEG,分別為各邊的中心，易證共面，且EFGHJK為正六邊形,

故D項(xiàng)正確.

故選:C.

7.（2023春?上海閔行?高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）用一個(gè)平面去截正方體，所得截面可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形

C.正五邊形D.正六邊形

【答案】D

【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合各選項(xiàng)畫出一個(gè)平面去截正方體，再分析截面形狀即可判斷作答.

【詳解】?個(gè)平面與正方體共點(diǎn)的3個(gè)面相交，截面為三角形，此三角形不可能是直角三角形，

如圖，截面為.48C,點(diǎn)。為正方體的頂點(diǎn)，在三棱錐O-A8C中，兩兩垂直，

若，A8c為直角三角形，不妨令284。=90,則8。？=4^+AC?,

BC2=OB2+OC~,AB1=OA2+OB\AC2=OC2+OA2,因此20A2=0，矛盾，A錯(cuò)誤；

一個(gè)平面與正方體的4個(gè)面相交，截面為四邊形，此四邊形不可能是直角梯形，

截面四邊形所在平面必與正方體一組相對(duì)面相交，即四邊形必有一組對(duì)邊平行，

截面四邊形。KPG,如圖，不妨令￡>￡//〃G,若DE,JK平行或重合，則四邊形OEPG為矩形，令。EJK不

平行，

假定四邊形OEFG為直角梯形，不妨令NDEF=9。，即石尸_LOE,而JKJ_平面小尸，￡Fu平面/￡尸，

則斯又DE,JKu平面JDE,有EF2平面JDE,又/長1_平面〃)石，

則EF///K//LM,砂仁平面LM￡>G,LMu平面/.MOG,則￡/7/平面/JWX；,

平面DEFG。平面/JW)G=7X；.Mu平面OEFG,因此E&/QG,四邊形。砂G為平行四邊形，矛盾,

B錯(cuò)誤；

一個(gè)平面與正方體的5個(gè)面相交，截面為五邊形，此五邊形不可能是正五邊形，

截面五邊形必與正方體的一組相對(duì)面相交，這兩條交線必平行，而正五邊形的任意兩邊都不平行,

即截面五邊形不可能是正五邊形，c錯(cuò)誤；

?個(gè)平面與正方體的6個(gè)面相交，截面為六邊形，此六邊形可能是正六邊形,

如圖，MP,Q,R,S,r為正方體所在棱的中點(diǎn)，順次連接得正六邊形，

設(shè)正方體棱長為有TN=NP=PQ=QR=RS=ST=旦,PT=^a,

22

vr2+NP：-PT~I

.，NPT中，cosNPNT=-------------------------=--，則Z.PNT=120，

2NTNP2

同理々NPQ=CQR=NQRS=4RST=NS77V=120,即六邊形NPQRST為正六邊形，D正確.

故選：D

8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如下圖所示，在正方體ABCO-ABCA中，如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，那么過

點(diǎn)A、8、E的截面圖形為（）

C.正方形D.菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.

【詳解】分別取3/,CG的中點(diǎn)G/,連接AGIRARGC

如圖0E4廣即為過點(diǎn)2、B、E截正方體所得的截面圖形,

由題意可知：AE//GB且AE=GB,所以四邊形4EBG為平行四邊形,

所以AG//E8,又因?yàn)镚尸〃4G且GF=8C，A。"/8c且AA=4G，

所以AR//G尸且AR=Gr,所以四邊形AGFR為平行四邊形，所以。尸〃AG,

所以RF/JEB,同理ER//8八所以四邊形為平行四邊形,

又因?yàn)榉?3/，所以平行四邊形。|￡3尸為菱形，

9.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知在正方體A8CO-A4G4中，E,F,G分別是A3,8用，4G的

中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取AG、A。的中點(diǎn)“、M、N,連接GH、HM、MN,

.?在正方體ABC。-A&G。中，E,F,G分別是AB.B與，的中點(diǎn),

:.HG//EN,HM//EF,FG//MN,

??六邊形EFGHMN是過E,F,G這三點(diǎn)的截面圖,

二.過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

10.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，正方體A8CO-AMGA中，O為底面A8CD的中心，E,F分別

為棱八區(qū)，瓦G的中點(diǎn)，經(jīng)過E,F,O三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面為（）

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.正方形

【答案】A

【分析】通過作圖的方式確定EF//AC,從而判斷出點(diǎn)A,C,F,E確定?個(gè)平面，從而判斷出經(jīng)過E,

F,O三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面是什么四邊形.

【詳解】

如圖，因?yàn)檎襟wA8CO-ASG。中，0為底面A8CO的中心，E,尸分別為棱A片，8G的中點(diǎn)

所以在△A4G中，EF//AC，所=g4G

因?yàn)檎襟wABC。-44aA，所以AG//AC

所以E”〃AC,而點(diǎn)。在直線AC上

所以點(diǎn)A，C,F,E確定一個(gè)平面，所以經(jīng)過￡R0三點(diǎn)的平面與正方體相交所成的截面為平面AC在，

即確定的平面是梯形

故選：A

11.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方體48CQ-中，點(diǎn)Q是棱。。上的動(dòng)點(diǎn)，則過A,Q,4

三點(diǎn)的截面圖形是（）

A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由點(diǎn)。是棱上的動(dòng)點(diǎn)，可考慮。分別在。。?的端點(diǎn)以及中點(diǎn)，故可得過A、Q、三點(diǎn)的截

面圖形的形狀.

【詳解】所以當(dāng)點(diǎn)Q與Q重合時(shí)，過A、。、修三點(diǎn)的截面是等邊三角形人用。；

當(dāng)點(diǎn)。與。重合時(shí)，過A、Q、4三點(diǎn)的截面是矩形

當(dāng)點(diǎn)。與DD.的中點(diǎn)重合時(shí),取C,。的中點(diǎn)。，由于QM//DC./q//Z）G,所以QM〃ABi,又AQ=MB、，故

過A、Q、用三點(diǎn)的截面是等腰櫛形A4M。，如圖所示：

所以過A,Q,e三點(diǎn)的截面圖形是可能是等邊三角形、矩形或等腰梯形.

故選：D

12.（2023?高一單元測試）在長方體ABCO-ABCA中，A4=4、BC=3,"、N分別為棱A3、8用的

中點(diǎn)，點(diǎn)。在對(duì)角線AG上，旦4。=3,過點(diǎn)M、N、尸作一個(gè)截面，該截面的形狀為（）

A.三角形

B.四邊形

C.五邊形

D.六邊形

【答案】C

【分析】找到截面與長方體的平面的交線，判斷為五邊形.

【詳解】如圖所示，延長MN、44,使MNCA旦二丁，連接PR、PT.

???<4=4、8C=3、AJ=3,

AG=5、C1P=2,

???加、N分別為棱A3、8片的中點(diǎn)，

BM=B[T=2,

"7=6,

「布廠方二。又'、尸、C二點(diǎn)共線，

???7\P、。三點(diǎn)共線，J仇在截面上，

延長NM、AA,使NMc4A=K,連接。K,使〃KcAQ=Q,

二。在截面上，

連接QM、KM,

?:入QHA、D\,且AQ=；A〃

AAK=^A\,:.AK川BN昱AK=BN,

又M為AB中點(diǎn)，A、B、M三點(diǎn)共線，

???股、N、K三點(diǎn)共線，

???截面為五邊形RSNMQ,

故選:C.

13.（2023春?北京?高一101中學(xué)?？计谀┱襟wABC。-A/GA中，只。,￡尸分別是4及人。山如。。

的中點(diǎn)，則正方體的過P,。,旦尸的截面圖形的形狀是（）

A.正方形B.平行四邊形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】D

【分析】由可以確定一個(gè)平面這個(gè)平面與正方體ABC。-的楂34、0A分別交于M,

N,由正方體的性質(zhì)得正方體過P,Q,E,/的截面圖形的形狀是正六邊形.

【詳解】解：如圖所示，由所V/PQ,可以確定一個(gè)平面，

這個(gè)平面與正方體ABC。-A8CR的棱8片、。。分別交于N,

由正方體的性質(zhì)得m/M/兒NQ!IME,

且EF=FN=NQ=QP=PM=ME,

???E方體過/＞，Q,E,尸的截面圖形的形狀是正六邊形.

故選:D.

14.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方體相。-AB。。中，棱長為4,M、N分別為梭A8、8用的

中點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線AG上，且4P=PG，過點(diǎn)M、N、/，作一個(gè)截面，該截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】延長MN,分別交4月與AA的延長線于。R,可得截面過/?、0、P,再根據(jù)直線PO與面面相

交的性質(zhì)，分別確定截面與各棱的交點(diǎn)位置.，進(jìn)而確定截面的形狀即可.

【詳解】因?yàn)锳/=PG，故P為AG的中點(diǎn).乂A8CO-A4CQ為正方體，故可延長MN,分別交A片與

的延長線于O，R,設(shè)直線PO分雙交于S,Q,易得過點(diǎn)M、N、P的面即平面QSR.

因?yàn)镹為BB,中點(diǎn)，且BfiMB,故4BNM=/B、NO,BN=B、N,NBNM=組NO，所以，BNM斗B、NO,

故E0=BM=KAB=5A4，即=又用。AS,故AS=3&Q.又尸為AG的中點(diǎn)，同理可得

,、CQP=ASP,故GQ=AS=3￡Q,所以用Q=：BC=1,AS=3,故s在線段A。內(nèi).

4

連接SR交AD干丁，綜上可知點(diǎn)“、N、。截正方體ABC。-A4GA的截面為五邊形QNMTS.

15.（2023?全國?高一假期作業(yè)）在正方體ABCQ-A由CQ中，七為棱AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近3點(diǎn)），F(xiàn),G

分別為棱AC,CQ的中點(diǎn)，過￡,￡G三點(diǎn)作正方體ABCO-A4CA的截面，則下列說法正確的是（）

A.所得截面是六邊形

B.截面過棱0c的中點(diǎn)

c.截面不經(jīng)過點(diǎn)A

D.截面與線段4。相交，且交點(diǎn)是線段4Q的一個(gè)五等分點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，作出過￡EG三點(diǎn)的正方體的截面，再逐項(xiàng)推理判斷作答.

【詳解】在正方體ABC。-A￡GA中，依題意，直線"G與直線4G交于點(diǎn)P,顯然GP=；4G，

直線下￡交D4延長線于點(diǎn)Q,則有AQ=2B/=AD,如圖,

Q

連接3G，AR,則有A〃//5G〃FG,而平面平面4CC4,平面耳Gc平面3。。圈="G,

平面EFG與平面A。。A有公共點(diǎn)A，則平面EPG與平面AORA必有一條交線，此交線平行于"G,也平

行于42，

連。4,因。〃AA，QA=AA，則四邊形AQAA是平行四邊形，于是得QV/AR,即平面EFGc平面

ADDlAx=QA1,

因此點(diǎn)A是平面EFG截正方體4BCO-AMCA的截面的一個(gè)頂點(diǎn)，連A尸交42,G0分別于點(diǎn)。，H,

連接G〃，AE,則五邊形AEFG”是平面EFG截正方體A8CO-a4CQ1所得的截面，A不正確，C不正確：

C.HC.PI1

由片知，=即G”=：；GA，B不正確：

A4BJ53

由RH//A罔得照=%~=：，即D0=^D￡,則截面與線段6a相交，且交點(diǎn)是線段8a的一個(gè)五等分

A心J5

點(diǎn)、,D正確.

故選:D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個(gè)平行平面相交，

或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的

同一平面上.

16.（2023秋?四川成都?高二雙流中學(xué)校考期中）已知正方體A8CO-A8CQ的棱長為1,"，N為線段

8CCG上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，M,N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①當(dāng)8M=0且0<CNvl時(shí)，S為等腰梯形；

②當(dāng)M,N分別為8C,CG的中點(diǎn)時(shí)，兒何體A-RMN的體積為《；

③當(dāng)M為3c中點(diǎn)且CN=：時(shí)，S與CQi的交點(diǎn)為R,滿足。述=:；

46

④當(dāng)"為8。中點(diǎn)且0KCNW1時(shí)，S為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)正方體的截面的知識(shí)判斷①③?的正確性；根據(jù)錐體體積的計(jì)算判斷②的正確性.

【詳解】①，當(dāng)BM=0,即重合，且O<CN<1時(shí)，如下圖所示，

過“作NP〃CR,交。上于P,近接吊尸，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知所以N尸〃4田，所以AI,MP四點(diǎn)共面，

在等腰直角三角形CGA中，根據(jù)平行線分線段成比例的知識(shí)可知CN=PDX,

所以AP=yj\2+PD~=h+CM=BN,

即截面S為等腰梯形，①正確.

②，當(dāng)M,N分別為8CCG的中點(diǎn)時(shí)，

過N作N〃_LCR,垂足為，，典.NHgD,NH=LCQ=W

44

由于平面COQC，NHu平面CDDC，所以BC1NH,

由于CD、cBC=C、CD\,BCu平面A,BCD、,

所以NH_L平面ABC",即NHJ"平面.

所以匕,-型小=%-w萬，②正確?

由于平面ABBA"平面DCCR,

平面A84AcS=4J,平面DCCRcS=RN,所以A尸//RN,

同理可證得,

C,N=-設(shè)CR=x,P3=），，則〃R=1—/,

4f

由NRR/\=NMPB,得tanZD,RA,=tanNMPB.

111

即_L=2,）,=LL,所以AP=I-），=5+5X,

]-xy22

同理tan/APA=ian/GRN,所以二，二丈解得尸二

x

-+-x7

22

即GR=；,③錯(cuò)誤.

④，當(dāng)M為BC中點(diǎn)且CN=O時(shí)，CN重合，如下圖所示,

截而S是四邊形A"CR,④錯(cuò)誤.

所以正確的有2個(gè).

故選：B

考點(diǎn)三求解截面的周長

17.（2023?全國?模擬預(yù)測）在校長為3的正方體ABCO-aqCQ中，。為AC與8。的交點(diǎn)，P為AR上一

點(diǎn)，且AP=2PR,則過A,P,。三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為（）

A.4aB.6及

C.2>/?3+272D.2岳+4近

【答案】D

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件作出過A，P，。三點(diǎn)的平面極正方體所得截面，再求周長即得.

【詳解】因?yàn)?，即?=；。入，

UULIU1umun

取DiH=：D￡,連接/v/,"C4G，則“P//4G，

又AC//AG，

所以“0/A4C,

所以AO,C,〃,P共面，即過A，P，。三點(diǎn)的正方體的截面為，

由題可知4尸=CH=5/32+2?=而，PH=五，AG=3夜，

所以過A,P,。三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為4e+2府.

故選：D.

18.（2023?江西上饒?統(tǒng)考一模）在正方體A8CQ-A5C。'中，4B=4,E為棱BC的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)8）,

產(chǎn)為棱AD的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)干），過點(diǎn)C',E,尸作該正方體的截面，則該截面的周長是（）

95/225口8&25廠8x/240卜47240

AA.------+—B.------+—C.------+—D.------+—

42323333

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的特征，作出過點(diǎn)C,E,尸的該正方體的截面，計(jì)算相關(guān)線段的長，即可求得答案.

【詳解】設(shè)G為A8的三等分點(diǎn)，靠近8點(diǎn)，連接GE,并延長交。A延長線于P,

設(shè)”為4A的三等分點(diǎn)，靠近4點(diǎn)，連接并延長交。人延長線于Q，

48

則&GBES2\GAP,由于BE=l,G8=§,AG=y,故A0=2,

同理求得AQ=2,故P,Q兩點(diǎn)重合，則PG=2GE=2/+審=與,

故PE=PG+GE=￥+：=5，而叱==故PE=FC.

同理可得￡C,即四邊形PECN為平行四邊形，

連接/右?guī)暹呅渭礊檫^點(diǎn)C',E,尸所作的正方體的截面，

由題意可知CN=CE=5,GE="/==槨2+（$2=華

故該截面的周長是5+5+*+*+還=竺+逑，

33333

故選：C

19.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正四棱柱A8CO-A8CQ中，24A=3A8=12,點(diǎn)M是線段B片的中

點(diǎn)，點(diǎn)N是線段。。上靠近。的三等分點(diǎn)，若正四棱柱ABC。-44GA被過點(diǎn)A，M,N的平面所截，則

所得截面的周長為（）

A.10+8夜B.10+7及C.9+8&D.9+7夜

【答案】B

【分析】先證明截面四邊形AMQN為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長CC至Q,使得CQ=1,連接MQ,NQ,則截面四邊形AMQN為平行四邊形;

記MQ與4C交于點(diǎn)R,NQ與CD交于點(diǎn)、P,

則AN=46，AM=5,

MR3+3?=3曰NP=p+（g）號(hào),產(chǎn)冗=/+圖=|,

故所得截面的周長為4也+仞?+9+吶+4川=5+3&+:+與+4夜=［（）+7&.

故選:B.

20.（2023春?廣西南寧?高三南寧三中?？紝ｎ}練習(xí)）己知止方體48C。-A/GR的棱長為4,E,尸分別是

棱AA-BC的中點(diǎn)，則平面，截該正方體所得的截面圖形周長為（）

2713+9^+25

A.6B.1072C.V)3+2x/5nLz?

3

【答案】D

【分析】取CC的中點(diǎn)G,連接3G,則。E//8G,取CG的中點(diǎn)N,連接FN,延長REOA交于，，連接廠〃

交AZT于點(diǎn)連接，作出截面圖形，然后再分別求出各邊長，從而得出答案.

【詳解】取CC；的中點(diǎn)G,連接以7,則RE//8G,取CG的中點(diǎn)N,連接尸N,則RV//8G

所以小//。邑則直線FNu平面RE/

延長〃￡,D4交于〃，連接F”交AB于點(diǎn)M,連接ME,則A為“。的中點(diǎn).

則平面截該正方體所得的截面圖形為

由條件可得4E=AE=2,則C1N=3,CN=1,則==2后

A」V=J42+32=5,FN-Ies-摳

則AM//F。，所以空AH

取a。的中點(diǎn)Q,連接Q尸，

FQ~HQ

所以AM二翟xbQ=，4=*則=g

HQ633

10

T

MF=JMB、B產(chǎn)

+6+5=2江+9石+25

所以截面圖形周長為QE+EM+M/+FN+N〃=2石f102萬

~33

21.（2023?海南海口??？寄M預(yù)測）在正方體A8CQ-A4G。，中，M,N分別為正方形4ARD和

的中心，A8=3,則平面CMN截正方體所得截面的周長是（）

c.MD.4x/io

【答案】D

【分析】延長CM,4A交于點(diǎn)尸，連接PN并延長，分別交A。，B￡7E,F,連接C/,連接EM并

延長，交A。于點(diǎn)G,連接CG,得到四邊形CGM為所求截面，進(jìn)而求得截面的周長，得到答案.

【詳解】如圖所示，延長CM,4A交于點(diǎn)P，連接PN并延長，分別交AA，于E，F(xiàn)：連接。尸,

連接并延長，交AO于點(diǎn)G,連接CG,則四邊形CGM為所求截面,

因?yàn)镸是正方形的中心，所以ME=gEG,

由題意易證四邊形CG"?為菱形，所以EG//CF,EG=CF,所以ME//CF,ME=；CF,則E為P”的中

點(diǎn),則AE=GF=1,

從而CF=dW-Ji6,故所求截面的周長為4后.

故選：D.

22.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在校長為1的正方體A/B/G。/—48CO中，M為底面

A4C。的中心，。是棱A/D上一點(diǎn)，且=2610，1］，N為線段AQ的中點(diǎn)，給出下列命題:

①。V與QM共面；

②三棱錐A-DMN的體積跟2的取值無關(guān)；

③當(dāng)％=1時(shí)，AMLQM；

4

④當(dāng)％=!時(shí)，過A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為拽上馬叵.

33

A.①②③B.①②@C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】對(duì)于①可得MN//C。,可判斷；對(duì)于②N到平面ABC。的距離?為定值：，且△A/W的面積為定值

可判斷：③分別求出四，QM,A。的長，驗(yàn)證是否滿足勾股定理，從而判斷;對(duì)于④先將過4M的截面

分析做出，再求周長可判斷.

【詳解】解：在二ACQ中，因?yàn)镸,N為AC,AQ的中點(diǎn)，

所以MN//CQ,所以CN與QM共面，所以①正確;

由^A-DMN=XvADM?

因?yàn)镹到平面ABCD的距離為定配'且AADM的面積為定值“

所以三棱錐A-OMN的體積跟N的取值無關(guān)，所以②正確：

2/I925

z+AQ=1+—=一,

11616

取AU,AR的中點(diǎn)分別為ME,連接EN,EM，則EM2=MN2+￡W2=-+1

4

2

在直角三角形MEQ中，QM2=ME2+EQ2=(-

+

\2><416

則八M'QMrAQ?,所以AMJ.QM不成立，所以③不正確.

1UUIR11UULID

當(dāng)2時(shí)，取R"連接，C,則“Q//4G,又AC/M1G所以HQ//AC

所以AM.C〃,Q共面，即過4,Q,M三點(diǎn)的正方體的截面為4C/Q.

由A。=CH=61=