2025年下學期高中數(shù)學與體積視頻數(shù)學技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知正方體的棱長為2，利用體積視頻技術(shù)觀察其內(nèi)切球與外接球的體積比，結(jié)果為（）A.1:√3B.1:3√3C.1:3D.1:9在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，通過動態(tài)體積演示可知三棱錐A?-BCC?的體積為（）A.8/3B.4/3C.2/3D.1/3利用視頻解析技術(shù)研究橢圓x2/25+y2/16=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積，需使用的積分表達式為（）A.π∫???(16-16x2/25)dxB.π∫???(25-25y2/16)dyC.π∫???(25-25y2/16)dyD.π∫???(16x2/25-16)dx在體積可視化系統(tǒng)中，已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為√5，則其體積與表面積的數(shù)值比為（）A.1:2B.2:3C.3:4D.4:5利用3D視頻技術(shù)觀察半徑為R的球體被平面截得的小圓半徑為r，若截面距離球心距離為d，則下列體積關(guān)系正確的是（）A.球冠體積與剩余部分體積比為(d:R)B.當d=R/2時，小部分體積為7πR3/12C.當r=R/2時，兩部分體積差為πR3/2D.截面面積與球表面積比為(r2:4R2)在空間直角坐標系中，視頻演示顯示由曲面z=x2+y2，平面z=4所圍成的幾何體體積為（）A.4πB.8πC.16πD.32π利用體積掃描技術(shù)測得某不規(guī)則幾何體的三視圖數(shù)據(jù)如下：正視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖是底邊長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的圓，則該幾何體體積為（）A.(π+4)/3B.(2π+3)/3C.π+2D.2π/3+4/3在棱臺體積動態(tài)演示中，已知上底面面積為4，下底面面積為9，高為3，若保持上下底面相似比不變，高變?yōu)樵瓉淼?倍，則體積變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢.2倍B.4倍C.6倍D.8倍視頻技術(shù)顯示某圓錐的母線長為5，側(cè)面積為15π，現(xiàn)將此圓錐通過平行于底面的平面截成一個小圓錐和一個圓臺，若小圓錐體積是原圓錐體積的1/8，則截得的圓臺體積為（）A.12πB.14πC.16πD.18π在空間直角坐標系中，由不等式組0≤x≤2，0≤y≤2，0≤z≤2所確定的正方體區(qū)域內(nèi)，隨機取一點P(x,y,z)，通過視頻模擬可知點P滿足x2+y2+z2≤4的概率為（）A.π/8B.π/6C.π/4D.π/3利用體積可視化軟件觀察到某幾何體由半個球體和一個正四棱錐組成，球的半徑為2，正四棱錐的底面與半球的底面重合，且頂點在半球球面上，則該組合體體積為（）A.16π/3+16/3B.8π/3+32/3C.16π/3+32/3D.8π/3+16/3在動態(tài)體積實驗中，將底面半徑為1，高為3的圓柱形容器裝滿水，然后傾斜容器使水面恰好經(jīng)過容器底面的一條直徑，此時容器內(nèi)剩余水的體積為（）A.3π-√3/2B.3π-3√3/2C.π+√3D.2π+√3/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）利用視頻測量技術(shù)測得某棱錐的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱長均為√7，則該棱錐的體積為______。在體積積分演示中，由曲線y=x2，y=√x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積為______。視頻解析顯示某幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是底邊長為4，高為3的等腰三角形，俯視圖是邊長為4的正方形，則該幾何體的體積為______。在體積對比實驗中，甲、乙兩個幾何體的三視圖完全相同，其中甲是三棱錐，乙是四棱錐，已知甲的體積為6，則乙的體積最大值為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）某視頻教學系統(tǒng)展示了如下問題：在棱長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F分別是棱A?D?、D?C?的中點。（1）求證：EF//平面ACD?；（2）求三棱錐D-EFC的體積。18.（12分）利用體積掃描技術(shù)測得一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）：（1）畫出該幾何體的直觀圖；（2）若視頻顯示該幾何體由一個圓柱和一個半球組成，且圓柱底面半徑與半球半徑相等，求該幾何體的表面積和體積。19.（12分）在視頻實驗中，有一個底面半徑為2，高為4的圓錐形容器，現(xiàn)以3cm3/s的速度向容器內(nèi)注水：（1）寫出容器內(nèi)水面高度h與注水時間t的函數(shù)關(guān)系；（2）當水面高度為2cm時，求水面上升的速度。20.（12分）在空間直角坐標系中，已知點A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，視頻技術(shù)顯示這些點構(gòu)成一個正四面體。（1）求該正四面體的體積；（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；（3）求點A到平面BCD的距離。21.（12分）利用體積可視化軟件研究橢球體x2/a2+y2/b2+z2/c2=1（a,b,c>0）：（1）類比橢圓面積公式S=πab，猜想橢球體體積公式并證明；（2）若a=3，b=2，c=2，求該橢球體體積；（3）將此橢球體沿z軸方向壓縮為原來的1/2，求所得幾何體體積。22.（12分）在動態(tài)體積演示實驗中，有一個底面半徑為R，高為H的圓柱形容器，現(xiàn)放入一個半徑為r的實心球：（1）若球完全浸沒在水中，求溢出水的體積；（2）若R=3，H=5，r=2，判斷球是否完全浸沒，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若向容器內(nèi)注水至剛好淹沒球體，求所需水量。參考答案與評分標準一、選擇題B2.A3.A4.B5.D6.B7.D8.B9.B10.B11.A12.B二、填空題√314.3π/1015.1616.9三、解答題17.（1）證明：連接A?C?，在△A?C?D?中，E、F分別為A?D?、D?C?中點，∴EF//A?C?...（2分）又A?C?//AC，∴EF//AC...（3分）∵EF?平面ACD?，AC?平面ACD?，∴EF//平面ACD?...（5分）（2）解：V_D-EFC=V_E-DFC=1/3S_△DFC·DD?...（7分）S_△DFC=1/2×DC×DD?=1/2×a×a=a2/2...（8分）∴V_D-EFC=1/3×a2/2×a=a3/6...（10分）18.（1）直觀圖略...（4分）（2）解：設(shè)半徑為r，則圓柱高h=3r...（6分）表面積S=2πr2+2πr·h+2πr2=2πr2+6πr2+2πr2=10πr2...（8分）體積V=πr2h+2/3πr3=3πr3+2/3πr3=11/3πr3...（12分）19.（1）解：設(shè)t時刻水面高度為h，此時水面半徑為r，由相似比得r/R=h/H，即r=h/3...（2分）體積V=1/3πr2h=1/3π(h/3)2h=πh3/27...（4分）由V=3t得πh3/27=3t，∴h=(81t/π)^(1/3)...（6分）（2）對h=(81t/π)^(1/3)求導得dh/dt=27/(πh2)...（9分）當h=2時，dh/dt=27/(4π)cm/s...（12分）20.（1）解：V=1/6|向量AB·(向量AC×向量AD)|=1/6|2×2×2|=4/3...（4分）（2）向量AB=(2,0,0)，向量CD=(0,-2,2)...（6分）cosθ=|AB·CD|/(|AB||CD|)=0/(2×2√2)=0，∴θ=90°...（8分）（3）平面BCD方程：x+y+z=2...（10分）距離d=|0+0+0-2|/√3=2√3/3...（12分）21.（1）猜想V=4/3πabc...（2分）證明：用定積分，取z為積分變量，截面面積S(z)=πab(1-z2/c2)...（4分）V=∫?c^cS(z)dz=2∫?^cπab(1-z2/c2)dz=4/3πabc...（6分）（2）V=4/3π×3×2×2=16π...（8分）（3）壓縮后方程為x2/9+y2/4+z2/1=1，體積V'=4/3π×3×2×1=8π...（12分）22.（1）溢出水體積等于球體積V=4/3πr3...（3分）（2）球的直徑2r=4，容器高H=5>4，若球完全浸沒，需水深至少4...（5分）容器底面半徑R=3>r=2，∴球能完全放入，且H=5>2r=4，故完全浸沒...（7分）（3）所需水量=容器底面積×水深-球體積...（9分）=πR2·2r-4/3πr3=π×9×4-4/3π×8=36π-32π/3=76π/3...（12分）命題說明本試卷以高中數(shù)學體積知識為核心，融合視頻數(shù)學技術(shù)應(yīng)用，體現(xiàn)以下特點：內(nèi)容全面性：覆蓋空間幾何體體積計算、定積分應(yīng)用、動態(tài)體積問題等知識點，注重知識體系的完整性。技術(shù)融合度：將傳統(tǒng)體積計算與現(xiàn)代視頻技術(shù)結(jié)合，如體積可視化、動態(tài)演示、3D建模等，體現(xiàn)數(shù)學與信息技術(shù)的融合。能力梯度化：試題難度呈階梯式分布，基礎(chǔ)題占60%，