2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與圖像壓縮技術(shù)試卷一、選擇題（每題5分，共60分）數(shù)字圖像中存在的空間冗余，本質(zhì)上反映了像素間的哪種數(shù)學(xué)關(guān)系？A.獨立性B.相關(guān)性C.隨機(jī)性D.周期性以下哪種圖像壓縮算法主要依賴傅里葉變換將空域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號？A.JPEGB.PNGC.GIFD.LZW若某灰度圖像的像素灰度值服從正態(tài)分布N(128,25)，則其信息熵H的范圍是：A.H<6bit/pixelB.6≤H<7bit/pixelC.7≤H<8bit/pixelD.H≥8bit/pixel小波變換在圖像壓縮中相比傅里葉變換的優(yōu)勢是：A.僅能處理靜態(tài)圖像B.時間-頻率局部化能力更強(qiáng)C.計算復(fù)雜度更低D.無需量化步驟某256×256像素的RGB圖像（每個通道8位），經(jīng)無損壓縮后數(shù)據(jù)量為150KB，則壓縮比約為：A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1Huffman編碼中，若某符號出現(xiàn)概率為0.5，則其最優(yōu)碼字長度為：A.1bitB.2bitsC.3bitsD.與其他符號概率相關(guān)以下哪種現(xiàn)象不屬于有損壓縮導(dǎo)致的圖像失真？A.方塊效應(yīng)B.細(xì)節(jié)模糊C.色彩偏移D.數(shù)據(jù)丟失二維離散余弦變換（DCT）的變換核矩陣中，左上角元素對應(yīng)圖像的：A.高頻分量B.中頻分量C.低頻分量D.噪聲分量行程編碼（RLE）對以下哪種圖像壓縮效率最高？A.自然風(fēng)景照B.文字掃描件C.醫(yī)學(xué)CT圖像D.遙感衛(wèi)星圖像設(shè)某圖像子塊的DCT系數(shù)矩陣為[\begin{bmatrix}100&5&2\3&0&0\1&0&-1\end{bmatrix}]，采用“Z”字形掃描后，非零系數(shù)的數(shù)量為：A.3B.4C.5D.6人類視覺系統(tǒng)（HVS）對哪種頻率分量的敏感度最低？A.0-5HzB.5-20HzC.20-50HzD.>50Hz以下哪種壓縮標(biāo)準(zhǔn)同時支持靜態(tài)圖像和視頻壓縮？A.JPEG2000B.H.265C.MPEG-4D.AVIF二、填空題（每空3分，共30分）圖像壓縮技術(shù)中，刪除時間冗余可通過運動估計實現(xiàn)，常見于視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)如_______。設(shè)某圖像的灰度概率分布為P(0)=0.4，P(1)=0.6，則其信息熵H=_______bit/pixel（保留兩位小數(shù)）。JPEG壓縮中，量化步驟通過_______矩陣將DCT系數(shù)取整，該矩陣的設(shè)計依據(jù)是_______特性。分形圖像壓縮的理論基礎(chǔ)是_______，其壓縮比通?？蛇_(dá)_______以上。彩色圖像的三種基本冗余類型是：空間冗余、和。算術(shù)編碼相比Huffman編碼的優(yōu)勢是_______，缺點是_______。三、解答題（共60分）（12分）已知8×8圖像子塊的灰度值矩陣如下（取值范圍0-255）：[\begin{bmatrix}128&130&132&134&136&138&140&142\129&131&133&135&137&139&141&143\130&132&134&136&138&140&142&144\131&133&135&137&139&141&143&145\132&134&136&138&140&142&144&146\133&135&137&139&141&143&145&147\134&136&138&140&142&144&146&148\135&137&139&141&143&145&147&149\end{bmatrix}]（1）計算該子塊的灰度均值μ和方差σ2；（2）說明為何該子塊經(jīng)DCT變換后高頻系數(shù)易趨近于零。（15分）某二值圖像（像素值0或1）的一行像素序列為：0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0。（1）采用行程編碼（RLE）壓縮該序列，寫出編碼結(jié)果；（2）若0出現(xiàn)的概率P(0)=0.6，1出現(xiàn)的概率P(1)=0.4，計算Huffman編碼的平均碼長；（3）比較RLE與Huffman編碼對該序列的壓縮效率。（18分）結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析JPEG壓縮算法的關(guān)鍵步驟：（1）簡述8×8子塊劃分的數(shù)學(xué)依據(jù)；（2）推導(dǎo)1D-DCT的變換公式[F(u)=\alpha(u)\sum_{x=0}^{7}f(x)\cos\left(\frac{(2x+1)u\pi}{16}\right)]中α(u)的取值規(guī)則；（3）解釋量化后為何需要“Z”字形掃描。（15分）某衛(wèi)星遙感圖像分辨率為1024×1024像素，每個像素12位，需通過帶寬為2Mbps的信道傳輸。（1）計算原始圖像數(shù)據(jù)量及無壓縮傳輸時間；（2）若采用壓縮比為20:1的有損壓縮，求實際傳輸速率及壓縮后圖像的大致信噪比（PSNR）范圍；（3）列舉兩種可進(jìn)一步減少傳輸時間的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法。四、綜合應(yīng)用題（共50分）（25分）圖像壓縮中的數(shù)學(xué)建模與優(yōu)化（1）建立圖像壓縮比CR與信噪比PSNR的關(guān)系模型，說明為何二者通常呈負(fù)相關(guān)；（2）設(shè)某圖像壓縮系統(tǒng)的CR-PSNR曲線為PSNR=40-0.5CR（CR范圍5-30），求CR=10時的PSNR值，并判斷該圖像質(zhì)量等級（優(yōu)秀/良好/一般/較差）；（3）若采用率失真優(yōu)化（RDO）算法，當(dāng)信道帶寬限制CR≤20時，求最大PSNR及對應(yīng)的量化參數(shù)調(diào)整策略。（25分）小波變換在醫(yī)學(xué)圖像壓縮中的應(yīng)用（1）對比Haar小波與Daubechies小波的變換核函數(shù)差異，說明為何后者更適合CT圖像壓縮；（2）某1024×1024醫(yī)學(xué)圖像經(jīng)5層小波分解后，低頻子帶尺寸為多少？若僅保留低頻子帶和前3層高頻子帶，壓縮比約為多少？（3）結(jié)合臨床診斷需求，設(shè)計一種基于感興趣區(qū)域（ROI）的非均勻量化方案，并用數(shù)學(xué)公式描述量化步長的空間分布。五、證明題（10分）證明：對于任意概率分布{P(x_i)}，Huffman編碼的平均碼長(\overline{L})滿