2025年下學期高中數(shù)學與自然災(zāi)害預(yù)警模型試卷一、選擇題（每題5分，共60分）地震預(yù)警系統(tǒng)通過監(jiān)測地震波的傳播速度實現(xiàn)提前預(yù)警。已知縱波（P波）速度為6km/s，橫波（S波）速度為3.5km/s，某監(jiān)測站接收到P波與S波的時間差為20秒，則震中距監(jiān)測站的距離約為（）A.140kmB.168kmC.210kmD.240km某地區(qū)近10年夏季臺風登陸次數(shù)分別為：2，3，1，0，2，3，1，2，4，2。若用數(shù)學模型預(yù)測下一年臺風登陸概率，最適宜采用的方法是（）A.線性回歸B.滑動平均C.指數(shù)平滑D.二項分布洪水預(yù)警中常用的“水位-流量關(guān)系曲線”符合函數(shù)模型Q=kH3（Q為流量，H為水位，k為常數(shù)）。當水位H=2m時流量Q=16m3/s，則k的值為（）A.1B.2C.4D.8泥石流災(zāi)害預(yù)警需綜合考慮降雨量、坡度、植被覆蓋率等因素。若某區(qū)域泥石流發(fā)生概率P與日降雨量x（mm）的關(guān)系為P=1-e^(-0.02x)，當日降雨量為50mm時，發(fā)生概率約為（）A.63%B.73%C.86%D.91%在地震烈度評估中，某建筑物的破壞指數(shù)D與地面加速度a（m/s2）的關(guān)系滿足D=0.2a+0.1。若該建筑破壞指數(shù)閾值為0.9，則對應(yīng)的地面加速度預(yù)警值為（）A.3m/s2B.4m/s2C.5m/s2D.6m/s2某氣象站記錄的月均氣溫數(shù)據(jù)呈周期性變化，周期為12個月，若采用傅里葉級數(shù)擬合，需至少保留的諧波項數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4臺風路徑預(yù)測模型中，某臺風中心坐標（x,y）隨時間t（小時）變化滿足x=10t+20，y=-8t+50，則該臺風移動方向為（）A.東北B.東南C.西北D.西南干旱預(yù)警中的標準化降水指數(shù)（SPI）通過Gamma分布計算。若某區(qū)域SPI=-1.5，對應(yīng)的干旱等級為（）A.輕度干旱B.中度干旱C.嚴重干旱D.極端干旱某水庫的蓄水量V（萬m3）與入庫流量Q（m3/s）的關(guān)系為V=∫??Q(τ)dτ，若Q(t)=200+50sin(πt/12)，則24小時內(nèi)的總蓄水量變化為（）A.4800萬m3B.5200萬m3C.5760萬m3D.6240萬m3在滑坡預(yù)警中，坡體位移s（cm）與時間t（天）的關(guān)系為s=0.01t2+0.1t+0.5，當位移速率達到0.5cm/天時，對應(yīng)的預(yù)警時間為（）A.15天B.20天C.25天D.30天某地區(qū)地震震級M與釋放能量E（焦耳）的關(guān)系為lgE=11.8+1.5M，若一次6級地震與一次5級地震的能量比約為（）A.10:1B.32:1C.100:1D.316:1風暴潮預(yù)警中，海平面高度h（m）與風暴潮增水Δh（m）、天文潮h?（m）的關(guān)系為h=h?+Δh。若Δh=0.8sin(πt/6)，h?=1.2+0.6cos(πt/12)，則24小時內(nèi)的最大海平面高度為（）A.2.0mB.2.4mC.2.8mD.3.2m二、填空題（每題6分，共30分）某城市建立內(nèi)澇預(yù)警模型，當1小時降雨量超過50mm且地表坡度大于15°時觸發(fā)預(yù)警。若用邏輯運算符表示該條件為：______。用時間序列分析預(yù)測干旱持續(xù)天數(shù)，已知前3天的標準化降水指數(shù)分別為-1.2，-1.5，-1.8，采用3期移動平均法預(yù)測第4天的值為______。地震P波和S波的傳播速度分別為v?、v?，若某觀測點記錄到P波與S波的到時差為Δt，則震中距d的計算公式為______。某區(qū)域地質(zhì)災(zāi)害易發(fā)性評價采用層次分析法，指標權(quán)重向量為[0.3,0.2,0.5]，指標得分向量為[80,70,90]，則綜合評價值為______。森林火災(zāi)蔓延速度v（m/min）與風速u（m/s）的關(guān)系為v=0.5u+2，當風速從2m/s增至4m/s時，蔓延速度增加______%。三、解答題（共60分）（12分）某地區(qū)近20年夏季暴雨日數(shù)統(tǒng)計如下表，用數(shù)學方法分析該地區(qū)暴雨發(fā)生的趨勢特征。年份2005200620072008200920102011201220132014日數(shù)3245364758年份2015201620172018201920202021202220232024日數(shù)697108119121013（1）計算暴雨日數(shù)的年平均增長率；（2）建立線性回歸模型y=at+b（t為年份-2004，y為日數(shù)），并預(yù)測2025年暴雨日數(shù)。（14分）某河流流域建立洪水預(yù)警系統(tǒng)，收集到歷史最大洪峰流量Q（m3/s）與流域面積A（km2）、年最大降雨量P（mm）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：樣本A（km2）P（mm）Q（m3/s）150012008002800150015003600130010004100016002000（1）假設(shè)Q與A、P滿足多元線性關(guān)系Q=β?+β?A+β?P，用最小二乘法估計回歸系數(shù)；（2）若該流域面積為700km2，年最大降雨量1400mm，預(yù)測洪峰流量。（14分）地震預(yù)警系統(tǒng)中，某臺站記錄的地面加速度時程曲線為a(t)=10sin(2πt)（t∈[0,1]秒）。（1）計算加速度峰值a_max及出現(xiàn)時間t_max；（2）計算0-1秒內(nèi)的速度增量Δv（提示：v=∫a(t)dt）；（3）若建筑結(jié)構(gòu)的速度閾值為5m/s，判斷是否觸發(fā)預(yù)警。（20分）某沿海城市建立風暴潮-天文潮耦合預(yù)警模型，已知：天文潮h?(t)=1.5+0.8cos(πt/6)（t為小時，0≤t≤24）風暴潮增水h?(t)=1.2e^(-0.1(t-12)2)警戒水位為3.0m（1）繪制24小時內(nèi)海平面高度h(t)=h?(t)+h?(t)的變化曲線（需標注關(guān)鍵節(jié)點）；（2）計算h(t)的最大值及出現(xiàn)時間；（3）確定預(yù)警時段（h(t)≥3.0m的持續(xù)時間）。四、建模應(yīng)用題（共100分）（40分）某山區(qū)縣擬構(gòu)建泥石流災(zāi)害預(yù)警模型，現(xiàn)有數(shù)據(jù)包括：歷史泥石流事件對應(yīng)的1小時降雨量（x?）、坡度（x?）、植被覆蓋率（x?）災(zāi)害發(fā)生標記（y=1為發(fā)生，y=0為未發(fā)生）（1）設(shè)計Logistic回歸模型y=1/(1+e^(-(β?+β?x?+β?x?+β?x?)))，說明各參數(shù)的物理意義；（2）若通過訓(xùn)練得到β?=-5，β?=0.1，β?=0.05，β?=-0.03，計算當x?=60mm，x?=30°，x?=40%時的發(fā)生概率；（3）分析植被覆蓋率每提高10%，泥石流發(fā)生概率的變化幅度。（60分）綜合實踐題：某中學位于地震多發(fā)區(qū)，需設(shè)計簡易地震預(yù)警裝置，要求：（1）利用單擺原理測量地面水平加速度（單擺擺長L=1m，最大擺角θ≤5°），推導(dǎo)加速度a與擺角θ的關(guān)系公式；（2）設(shè)計數(shù)據(jù)采集方案，需記錄的物理量包括______、、；（3）若預(yù)警閾值設(shè)定為擺角θ=3°，計算對應(yīng)的地面加速度值（g=9.8m/s2）；（4）指出該裝置可能的誤差來源及改進措施。參考答案及評分標準（略）命題說明：試卷融合高中數(shù)學核心知識（函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、概率統(tǒng)計、線性代數(shù)）與災(zāi)害預(yù)警場景，覆蓋地震、洪水、臺風、泥石流等典型災(zāi)害類型；題目設(shè)計注重數(shù)學建模