第七章

證明3平行線的證明第2課時(shí)平行線的性質(zhì)

知識(shí)關(guān)聯(lián)

探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測(cè)知識(shí)關(guān)聯(lián)上節(jié)課我們通過(guò)推理證得了平行線的判定定理,回想要證明兩條直線平行,有哪些方法?平行線又具有哪些性質(zhì)呢？已知:如圖,直線AB∥CD,∠1和∠2是直線AB,CD被直線EF截出的同位角.求證:∠1=∠2.探究與應(yīng)用

【探究1】

兩直線平行,同位角相等證明:假設(shè)∠1≠∠2,那么我們可以過(guò)點(diǎn)M作直線GH,使∠EMH=∠2,如圖所示.根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”,可知GH∥CD.又因?yàn)锳B∥CD,這樣經(jīng)過(guò)點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說(shuō)明∠1≠∠2的假設(shè)不成立,所以∠1=∠2.已知:如圖,直線l1∥l2,∠1和∠2是直線l1,l2被直線l截出的內(nèi)錯(cuò)角.求證:∠1=∠2.探究與應(yīng)用

【探究2】

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.分析:由條件l1∥l2可以得到哪些角的等量關(guān)系,這些等量關(guān)系中的角與∠1,∠2有什么聯(lián)系?證明:∵l1∥l2(已知),∴∠1=∠3(兩直線平行,同位角相等).又∵∠2=∠3(對(duì)頂角相等),∴∠1=∠2(等量代換).想一想:通過(guò)前面的證明你能得到什么結(jié)論?【概括新知】定理兩條平行直線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等.

簡(jiǎn)述為:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.探究與應(yīng)用

【探究2】

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.類似地還可以證明:定理兩條平行直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

簡(jiǎn)述為:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).已知:如圖所示,直線a∥b,∠1和∠2是直線a,b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證:∠1+∠2=180°.證明:∵a∥b(已知),∴∠3=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).又∵∠1+∠3=180°(平角的定義),∴∠1+∠2=180°(等量代換).【應(yīng)用】例已知:如圖,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直線a,b,c被直線d截出的同位角.求證:b∥c.探究與應(yīng)用

【探究2】

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等分析:由條件b∥a,c∥a可以得到哪些等量關(guān)系?為了證明b∥c需要怎樣的等量關(guān)系?證明:∵b∥a(已知),∴∠2=∠1(兩直線平行,同位角相等).∵c∥a(已知),∴∠3=∠1(兩直線平行,同位角相等).∴∠2=∠3(等量代換).∴b∥c(同位角相等,兩直線平行).想一想:通過(guò)上面的證明你還能得到什么結(jié)論?【概括新知】定理平行于同一條直線的兩條直線平行.【回顧·反思】(1)回顧前面的證明過(guò)程,你認(rèn)為完成一個(gè)命題的證明,需要哪些主要環(huán)節(jié)?(2)對(duì)于證明思路的分析,你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)?探究與應(yīng)用

【探究2】

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等探究與應(yīng)用

【探究2】

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等證明文字?jǐn)⑹鲱惷}的一般步驟:第一步:先根據(jù)命題的條件即已知事項(xiàng),畫(huà)出圖形,再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出符號(hào),還要根據(jù)證明的需要在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào),以便于敘述或推理過(guò)程的表達(dá).第二步:根據(jù)條件、結(jié)論,結(jié)合圖形,寫出已知、求證.把命題的條件化為幾何符號(hào)語(yǔ)言寫在已知中,命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)語(yǔ)言寫在求證中.第三步:經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過(guò)程.一般情況下,分析的過(guò)程不要求寫出來(lái),有些題目中,已經(jīng)畫(huà)出了圖形,寫好了已知、求證,這時(shí)只要寫出“證明”一項(xiàng)就可以了.

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)1.如圖,直線m∥n,直線m和直線n分別經(jīng)過(guò)三角尺的一個(gè)銳角頂點(diǎn)和直角頂點(diǎn),已知∠1=55°,則∠2的度數(shù)為 (

)A.35°

B.45°

C.55°

D.1252.如圖,AB∥CD,BC∥DE,∠B=135°,則∠D的度數(shù)為 (

)A.40°

B.45°

C.50°

D.55°課堂小結(jié)與檢測(cè)AB

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)3.推理填空.如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,FG⊥AB于點(diǎn)G,ED∥BC.求證:∠1=∠2.證明:∵CD⊥AB,FG⊥AB(已知),∴∠CDB=∠FGB=90°(①

),

∴CD∥②

(③

),

∴④

=∠3(⑤

).

又∵DE∥BC(已知),∴⑥

=∠3(⑦

),

∴∠1=∠2(⑧

).

課堂小結(jié)與檢測(cè)垂直的定義GF同位角相等，兩直線平行∠2兩直線平行，同位角相等∠1兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等等量代換

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)4.如圖,已知AB∥CD,∠BAD+∠C=180°.(1)求證:AD∥EC;(2)若CE⊥AE于點(diǎn)E,∠C=160°,求∠FAB的度數(shù).課堂小結(jié)與檢測(cè)（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD，∵∠BAD+∠C=180°，∴∠ADC+∠C=180°，∴AD∥EC；（2）解：∵CE⊥AE，∴∠E=90°，∵AD∥EC，∴∠E=∠DAF=90°，∠C+∠ADC=180°，∵∠C=160°，∴∠ADC=20°，∴∠BAD=∠ADC=20°，∴∠FAB=∠DAF-∠BAD=70°．反證法是從命題結(jié)論的反面出發(fā),通過(guò)推理論證,得到與學(xué)過(guò)的基本事實(shí)相矛盾的結(jié)論,從而說(shuō)明假設(shè)不成立,而結(jié)論成立.方法|課堂檢測(cè)|已知:如圖7-3-10,直線a∥b,∠1和∠2是直線a,b被直線