2025年下學期高中數(shù)學發(fā)現(xiàn)技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.1B.2C.3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(2,5)已知向量a=(1,2)，向量b=(m,3)，若a⊥(a-b)，則m的值為（）A.5B.6C.7D.8已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a7=10，則S9=（）A.45B.50C.90D.100已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)的值為（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學競賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，則函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)，則橢圓C的方程為（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π，且f(π/3)=√3，則φ的值為（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)=x2-2x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)，則|z|=________。已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，公比q=2，則S5=________。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，若|AB|=8，則線段AB的中點到準線l的距離為________。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≤5的解集為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足a=2，b=3，cosC=1/4。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-1(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC，D為AB的中點。（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；（2）若AA1=AC=2，求二面角A1-CD-C1的余弦值。（本小題滿分12分）某學校為了了解學生的數(shù)學學習情況，從高二年級隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√2，且過點(2,√3)。（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求m2-2k2的值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。參考答案及評分標準一、選擇題D2.B3.C4.A5.A6.B7.B8.A9.C10.A11.B12.C二、填空題√1014.3115.416.[-3,2]三、解答題解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/4=10，所以c=√10。（5分）（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-cos2C)=√15/4，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×√15/4/√10=√6/4。（10分）解：（1）當n=1時，S1=2a1-1，解得a1=1。當n≥2時，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n-1。（6分）（2）由（1）得bn=log2an=log22n-1=n-1，所以Tn=0+1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2。（12分）（1）證明：因為AA1⊥底面ABC，CD?底面ABC，所以AA1⊥CD。因為AC=BC，D為AB的中點，所以CD⊥AB。又AB∩AA1=A，所以CD⊥平面A1ABB1。（6分）（2）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，D(1,1,0)，A1(2,0,2)。所以向量CD=(1,1,0)，向量CA1=(2,0,2)，向量CC1=(0,0,2)。設(shè)平面A1CD的法向量為n=(x,y,z)，則n·CD=0，n·CA1=0，即x+y=0，2x+2z=0，令x=1，則y=-1，z=-1，所以n=(1,-1,-1)。平面C1CD的法向量為m=(1,-1,0)。所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(1+1+0)/√3×√2=√6/3，所以二面角A1-CD-C1的余弦值為√6/3。（12分）解：（1）由頻率分布直方圖得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（3分）（2）平均數(shù)=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5。設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=73.33。（7分）（3）成績在[80,90)的學生有25人，成績在[90,100]的學生有15人，所以至少有1人成績在[90,100]的概率P=1-C252/C402=1-300/780=480/780=8/13。（12分）解：（1）由題意得e=c/a=√2，c2=a2+b2，所以b2=a2。又雙曲線過點(2,√3)，所以4/a2-3/a2=1，解得a2=1，所以b2=1，所以雙曲線C的方程為x2-y2=1。（6分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2-y2=1，y=kx+m}，消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-1=0。因為直線與雙曲線交于兩點，所以1-k2≠0，Δ=4k2m2+4(1-k2)(m2+1)=4(m2+1-k2)>0，即m2+1>k2。由韋達定理得x1+x2=2km/(1-k2)，x1x2=-(m2+1)/(1-k2)。因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入韋達定理得(1+k2)(-(m2+1))/(1-k2)+km×2km/(1-k2)+m2=0，化簡得-m2-1-k2m2-k2+2k2m2+m2-m2k2=0，即-m2-1-k2=0，所以m2+2k2=1，即m2-2k2=1-4k2。（12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=-(2ax-1)(x+1)/x。當a≤0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當a>0時，令f'(x)=0，得x=1/(2a)。當0<x<1/(2a)時，f'(x)>0；當x>1/(2a)時，f'(x)<0，所以f(x)在(0,1/(2a))上單調(diào)遞增，在(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞減。（6分）（2）由（1）知，當a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意。當a>0時，f(x)的最大值為f(1/(2a))=ln(1/(2a))-a(1/(2a))2+(2-a)(1/(2a))=-ln(2a)-1/(4a)+1/a-1/2=-ln(2a)+1/(4a)-1/2。要使f(x)有兩個零點，