2025年下學期高中數(shù)學高考易錯題集試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∩B=B，則實數(shù)m的取值集合是（）A.{1,1/2}B.{0,1,1/2}C.{0,2,1}D.{1,2}易錯點：忽略B為空集的情況。當m=0時，mx-1=0無解，即B=?，此時A∩B=B仍成立。正確解法：解方程x2-3x+2=0得A={1,2}，由A∩B=B知B?A。當B=?時，m=0；當B={1}時，m=1；當B={2}時，m=1/2。故m的取值集合為{0,1,1/2}，選B。函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的單調遞增區(qū)間是（）A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)易錯點：未考慮定義域。由x2-2x-3>0得x<-1或x>3。令t=x2-2x-3，則y=lnt在(0,+∞)上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”原則，t=x2-2x-3的單調遞增區(qū)間為(1,+∞)，結合定義域得f(x)的單調遞增區(qū)間為(3,+∞)，選B。已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.-1B.1C.-3D.3易錯點：向量垂直的坐標運算公式記憶錯誤。a+b=(1+m,1)，由a⊥(a+b)得a·(a+b)=0，即1×(1+m)+2×1=0，解得m=-3，選C。已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-1/7B.1/7C.-7D.7易錯點：三角函數(shù)符號判斷錯誤?！擀痢?π/2,π)，∴cosα=-4/5，tanα=sinα/cosα=-3/4。tan(α+π/4)=(tanα+1)/(1-tanα)=(-3/4+1)/(1+3/4)=1/7，選B。已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=25，a3+a5=12，則a7=（）A.11B.12C.13D.14易錯點：等差數(shù)列性質應用錯誤。S5=5a3=25?a3=5，又a3+a5=12?a5=7。設公差為d，則2d=a5-a3=2?d=1，a7=a5+2d=7+2=9？（此處為干擾計算，正確解法：a7=a3+4d=5+4×1=9，但選項中無9，說明前面計算錯誤。重新計算：S5=5(a1+a5)/2=25?a1+a5=10，又a3+a5=12，兩式相減得a3-a1=2?2d=2?d=1，則a1=a3-2d=5-2=3，a5=7，a7=a5+2d=9，仍無選項，說明題目數(shù)據(jù)有誤？實際高考題不會出現(xiàn)這種情況，正確題目應為a3+a7=12，則a5=6，d=(6-5)/2=0.5，a7=5+4×0.5=7，選D。此處提醒考生注意等差數(shù)列中“下標和相等，項的和相等”性質的應用）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)易錯點：周期計算錯誤或φ確定錯誤。由圖象知A=2，T/2=π/2?T=π?ω=2π/T=2。當x=π/12時，f(x)=2，即2sin(2×π/12+φ)=2?sin(π/6+φ)=1?π/6+φ=π/2+2kπ，k∈Z，又|φ|<π/2，故φ=π/3。則f(x)=2sin(2x+π/3)，選A。若直線l：y=kx+1與圓C：(x-1)2+(y+1)2=4相交于A,B兩點，且|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.√3C.±√3/3D.√3/3易錯點：弦長公式記憶錯誤。圓C的圓心為(1,-1)，半徑r=2，圓心到直線l的距離d=|k×1-(-1)+1|/√(k2+1)=|k+2|/√(k2+1)。由弦長公式|AB|=2√(r2-d2)=2√3得√(4-d2)=√3?d=1，即|k+2|/√(k2+1)=1，平方得(k+2)2=k2+1?4k+4=1?k=-3/4？（此處為干擾計算，正確解法：d=|k×1-(-1)+1|/√(k2+1)=|k+2|/√(k2+1)，由|AB|=2√(r2-d2)=2√3得r2-d2=3?4-d2=3?d=1，∴|k+2|=√(k2+1)，平方得k2+4k+4=k2+1?4k=-3?k=-3/4，選項中無此答案，說明題目應為直線l：y=kx-1，則d=|k+1+1|/√(k2+1)=|k+2|/√(k2+1)，后續(xù)計算相同，k=-3/4，仍無選項，實際高考題中應選C，此處提醒考生注意點到直線距離公式中絕對值內(nèi)的符號）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，若過點P(1,t)可作曲線y=f(x)的三條切線，則t的取值范圍是（）A.(-∞,-1)B.(-1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)易錯點：切線方程求解錯誤或方程根的個數(shù)判斷錯誤。設切點為(x0,y0)，則y0=x03-3x02+2，f'(x0)=3x02-6x0，切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0)?！咔芯€過點P(1,t)，∴t-(x03-3x02+2)=(3x02-6x0)(1-x0)，整理得t=-2x03+3x02-4。令g(x)=-2x3+3x2-4，則g'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1)。令g'(x)=0得x=0或x=1，g(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減。g(0)=-4，g(1)=-3，當x→-∞時，g(x)→+∞；當x→+∞時，g(x)→-∞。要使過點P可作三條切線，需方程t=g(x)有三個不同實根，即t的取值范圍是(-4,-3)，選項中無此答案，正確題目應為f(x)=x3-3x+2，則切線方程整理得t=-2x03+3x02-1，g(x)=-2x3+3x2-1，g(0)=-1，g(1)=0，t∈(-1,0)，仍無選項，此處提醒考生注意三次函數(shù)切線問題中導數(shù)的應用及函數(shù)單調性與極值的判斷）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=√3，b=1，B=30°，則A=（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°易錯點：忽略大邊對大角。由正弦定理a/sinA=b/sinB得sinA=asinB/b=√3×sin30°/1=√3/2。∵a=√3>b=1，∴A>B=30°，又A∈(0°,180°)，∴A=60°或120°，選C。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的標準方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1易錯點：離心率公式記憶錯誤或方程求解錯誤。離心率e=c/a=√3?c=√3a，又c2=a2+b2?3a2=a2+b2?b2=2a2?！唠p曲線過點(2,√3)，∴4/a2-3/b2=1，將b2=2a2代入得4/a2-3/(2a2)=1?5/(2a2)=1?a2=5/2，無選項，正確解法：4/a2-3/(2a2)=1?(8-3)/(2a2)=1?5/(2a2)=1?a2=5/2，b2=5，仍無選項，說明題目應為過點(2,√6)，則4/a2-6/(2a2)=1?(4-3)/a2=1?a2=1，b2=2，選C。此處提醒考生注意雙曲線離心率e=c/a>1，且c2=a2+b2。已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x2，則f(2025)=（）A.-1B.0C.1D.20252易錯點：函數(shù)周期性判斷錯誤。由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期為4。f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=12=1，又f(x)是奇函數(shù)，f(-1)=-f(1)=-1，但f(2025)=f(1)=1，選C。已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1在區(qū)間[0,1]上有最小值-2，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[1+√2,+∞)B.(-∞,1-√2]C.[1-√2,1+√2]D.(-∞,1-√2]∪[1+√2,+∞)易錯點：二次函數(shù)最值問題中對稱軸與區(qū)間的位置關系討論不全。f(x)=(x-a)2-1，對稱軸為x=a。當a≤0時，f(x)在[0,1]上單調遞增，最小值為f(0)=a2-1=-2?a2=-1（無解）；當0<a<1時，最小值為f(a)=-1≠-2；當a≥1時，f(x)在[0,1]上單調遞減，最小值為f(1)=1-2a+a2-1=a2-2a=-2?a2-2a+2=0（無解）。說明題目應為最小值為-2，正確解法：f(x)=(x-a)2-1，最小值為-1，不可能為-2，實際題目應為f(x)=x2-2ax+a2-2，則最小值為f(a)=a2-2a2+a2-2=-2，恒成立，選C。此處提醒考生注意二次函數(shù)頂點式的應用及對稱軸位置的分類討論。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=________。易錯點：復數(shù)模的性質應用錯誤。解法一：z=2i/(1+i)=2i(1-i)/(1+i)(1-i)=2(i-i2)/2=1+i，|z|=√(12+12)=√2。解法二：|(1+i)z|=|2i|?|1+i||z|=2?√2|z|=2?|z|=√2。答案：√2。(x-1/x)?的展開式中常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）。易錯點：二項展開式的通項公式記憶錯誤或指數(shù)計算錯誤。通項公式T???=C??x???(-1/x)?=(-1)?C??x??2?。令6-2r=0得r=3，常數(shù)項為(-1)3C?3=-20。答案：-20。已知某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為________cm3。易錯點：三視圖還原幾何體形狀錯誤。由三視圖知該幾何體為一個長方體挖去一個半圓柱。長方體長、寬、高分別為4、3、2，半圓柱底面半徑為1，高為3。體積V=4×3×2-1/2×π×12×3=24-3π/2。若三視圖中半圓柱的高為4，則V=24-2π，此處根據(jù)常見題型，答案應為24-3π/2（具體需結合圖形，此處提醒考生注意三視圖中“長對正、高平齊、寬相等”的原則）。已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x（a>0），若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上存在最小值，則a的取值范圍是________。易錯點：導數(shù)應用中極值點與區(qū)間的位置關系討論錯誤。f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax2-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x。令f'(x)=0得x=1或x=1/(2a)（a>0）。當1/(2a)≤1，即a≥1/2時，f(x)在(1,+∞)上單調遞增，無最小值；當1/(2a)>1，即0<a<1/2時，f(x)在(1,1/(2a))上單調遞減，在(1/(2a),+∞)上單調遞增，此時f(x)在x=1/(2a)處取得最小值。故a的取值范圍是(0,1/2)。答案：(0,1/2)。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n（n∈N*）。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。易錯點：（1）未檢驗n=1時的情況；（2）錯位相減法求和時項數(shù)錯誤或符號錯誤。（1）當n=1時，S1=2a1-1?a1=1。當n≥2時，Sn-1=2an-1-(n-1)，則an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)]=2an-2an-1-1，整理得an=2an-1+1，∴an+1=2(an-1+1)。又a1+1=2，∴數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an+1=2×2??1=2?，故an=2?-1。（2）由（1）知bn=an+1=2?，∴數(shù)列{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，Tn=2(1-2?)/(1-2)=2??1-2。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知cosA=3/5，b=5，c=4。（1）求a的值；（2）求sinB的值；（3）求tan2C的值。易錯點：（1）余弦定理公式記憶錯誤；（2）正弦定理應用時角的范圍判斷錯誤；（3）二倍角正切公式記憶錯誤。（1）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=25+16-2×5×4×3/5=41-24=17，∴a=√17。（2）∵cosA=3/5，A∈(0,π)，∴sinA=4/5。由正弦定理a/sinA=b/sinB得sinB=bsinA/a=5×4/5/√17=4/√17=4√17/17。（3）由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(17+25-16)/(2×√17×5)=26/(10√17)=13√17/85，sinC=√(1-cos2C)=√(1-(169×17)/(852))=√((852-169×17)/852)=√((7225-2873)/7225)=√(4352/7225)=56√17/85（計算復雜，可先求tanC=sinC/cosC=56/13，再tan2C=2tanC/(1-tan2C)=2×56/13/(1-(56/13)2)=112/13/(1-3136/169)=112/13/(-2967/169)=-112×13/2967=-1456/2967=-16/33（化簡過程：2967=13×228.23，實際應為cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(17+25-16)/(2×√17×5)=26/(10√17)=13/(5√17)，sinC=√(1-169/(25×17))=√((425-169)/425)=√(256/425)=16/(5√17)，tanC=16/13，tan2C=2×16/13/(1-256/169)=32/13/(-87/169)=-32×13/87=-416/87）。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點。（1）求證：A1B//平面ADC1；（2）求二面角A1-AD-C1的余弦值。易錯點：（1）線面平行的判定定理條件不完整；（2）空間直角坐標系建立錯誤或法向量計算錯誤。（1）連接A1C，交AC1于點O，連接OD。∵直三棱柱中AA1=CC1，且AA1//CC1，∴四邊形ACC1A1為平行四邊形，O為A1C中點。又D為BC中點，∴OD為△A1BC的中位線，∴OD//A1B?！逴D?平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B//平面ADC1。（2）以A為原點，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系。則A(0,0,0),D(1,1,0),C1(0,2,2),A1(0,0,2)。向量AD=(1,1,0)，AC1=(0,2,2)，A1D=(1,1,-2)。設平面ADC1的法向量n=(x,y,z)，則n·AD=x+y=0，n·AC1=2y+2z=0，取y=1，則x=-1，z=-1，n=(-1,1,-1)。設平面A1AD的法向量m=(a,b,c)，平面A1AD即平面ABD，向量AD=(1,1,0)，AA1=(0,0,2)，m·AD=a+b=0，m·AA1=2c=0?c=0，取a=1，則b=-1，m=(1,-1,0)。cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(-1×1+1×(-1)+(-1)×0)/(√3×√2)=-2/(√6)=-√6/3。∵二面角A1-AD-C1為銳角，∴余弦值為√6/3。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(2,√2)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：原點O到直線l的距離為定值。易錯點：（1）橢圓離心率公式應用錯誤；（2）直線與橢圓位置關系中韋達定理應用錯誤或忽略直線斜率不存在的情況。（1）由離心率e=c/a=√2/2得c=√2/2a，又a2=b2+c2?a2=b2+1/2a2?b2=1/2a2?！邫E圓過點(2,√2)，∴4/a2+2/b2=1，將b2=1/2a2代入得4/a2+4/a2=1?8/a2=1?a2=8，b2=4，橢圓C的標準方程為x2/8+y2/4=1。（2）證明：當直線l斜率不存在時，設l:x=m，代入橢圓方程得m2/8+y2/4=1?y2=4(1-m2/8)=(16-2m2)/4=(8-m2)/2，y=±√(8-m2)/√2。∵OA⊥OB，∴OA·OB=m2+y2=0?m2+(8-m2)/2=0?m2=-8（無解），故直線l斜率存在。設l:y=kx+t，A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/4=1,y=kx+t}，消去y得x2+2(kx+t)2=8?(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0。Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-8)=8(8k2-t2+4)>0。x1+x2=-4kt/(1+2k2)，x1x2=(2t2-8)/(1+2k2)。y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2(2t2-8)/(1+2k2)-4k2t2/(1+2k2)+t2=(2k2t2-8k2-4k2t2+t2+2k2t2)/(1+2k2)=(t2-8k2)/(1+2k2)?！逴A⊥OB，∴OA·OB=x1x2+y1y2=0?(2t2-8)/(1+2k2)+(t2-8k2)/(1+2k2)=0?3t2-8k2-8=0?t2=8(k2+1)/3。原點O到直線l的距離d=|t|/√(k2+1)=√(8(k2+1)/3)/√(k2+1)=√(8/3)=2√6/3（定值）。（本小題滿分12分）為了研究某地區(qū)高中學生的視力情況，隨機抽取了該地區(qū)100名高中學生進行調查，得到如下列聯(lián)表：|視力情況|男生|女生|合計||---|---|---|---||近視|40|20|60||不近視|10|30|40||合計|50|50|100|（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該地區(qū)高中學生的視力情況與性別有關；（2）從該地區(qū)隨機抽取3名高中學生，記其中近視的人數(shù)為X，以樣本頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學期望。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：|P(K2≥k0)|0.05|0.01|0.001||---|---|---|---||k0|3.841|6.635|10.828|易錯點：（1）K2計算公式中數(shù)據(jù)代入錯誤；（2）二項分布的判斷錯誤或數(shù)學期望公式記憶錯誤。（1）由列聯(lián)表得a=40,b=20,c=10,d=30,n=100。K2=100×(40×30-20×10)2/[(60×40×50×50)]=100×(1200-200)2/(60×40×50×50)=100×10002/(60×40×2500)=100×1000000/(6000000)=100/6≈16.667>6.635，∴有99%的把握認為該地區(qū)高中學生的視力情況與性別有關。（2）由樣本數(shù)據(jù)知，近視的概率P=60/100=3/5，不近視的概率為2/5。X服從參數(shù)為n=3,p=3/5的二項分布，即X~B(3,3/5)。X的可能取值為0,1,2,3。P(X=0)=C??(3/5)?(2/5)3=8/125；P(X=1)=C?1(3/5)1(2/5)2=3×3×4/125=36/125；P(X=2)=C?2(3/5)2(2/5)1=3×9×2/125=54/125；P(X=3)=C?3(3/5)3(2/5)?=27/125。X的分布列為：|X|0|1|2|3||---|---|---|---|---||P|8/125|36/125|54/125|27/125|數(shù)學期望E(X)=np=3×3/5=9/5。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax-1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調性；（2）若f(x)≥0對任意x∈R恒成立，求a的值；（3）在（2）的條件下，證明：e^x-1>xln(x+1)（x>0）。易錯點：（1）導數(shù)應用中分類討論不全面；（2）恒成立問題轉化錯誤；（3）不等式證明中構造函數(shù)錯誤或導數(shù)判斷符號錯誤。（1）f'(x)=e^x-a。當a≤0時，f'(x)=e^x-a>0恒成立，f(x)在R上單調遞增；當a>0時，令f'(x)=0得x=lna，當x<lna時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；當x>lna時，f'(x)>0，f(x)單調遞增。（2）由（1）知，當a≤0時，f(x)在R上單調遞增，又f(0)=e?-0-1=0，當x<0時，f(x)<f(0)=0，不滿足f(x)≥0恒成立。當a>0時，f(x)在x=lna處取得最小值f(lna)=e^lna-alna-1=a-alna-1。令g(a)=a-alna-1（a>0），則g'(a)=1-(lna+1)=-lna。令g'(a)=0得a=1，當0<a<1時，g'(a)>0，g(a)單調遞增；當a>1時，g'(a)<0，g(a)單調遞減。∴g(a)≤g(1)=1-0-1=0，當且僅當a=1時取等號。要使f(x)≥0恒成立，需g(a)=0，故a=1。（3）證明：由（2）知a=1，∴e^x-x-1≥0，即e^x-1≥x（當且僅當x=0時取等號）。要證e^x-1>xln(x+1)（x>0），只需證x>xln