2025年下學期高中數(shù)學收斂與發(fā)散試卷一、選擇題（每題5分，共60分）下列數(shù)列中，收斂的是（）A.(a_n=n)B.(a_n=(-1)^n)C.(a_n=\frac{n+1}{n})D.(a_n=2^n)若級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p})收斂，則(p)的取值范圍是（）A.(p>1)B.(p\geq1)C.(p<1)D.(p\leq1)下列級數(shù)中發(fā)散的是（）A.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n})B.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n})C.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}})D.(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n)數(shù)列(a_n=\sin\frac{n\pi}{2})的斂散性為（）A.收斂于0B.收斂于1C.發(fā)散D.收斂于-1若(\lim_{n\to\infty}a_n=0)，則級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)（）A.一定收斂B.一定發(fā)散C.可能收斂也可能發(fā)散D.斂散性無法判斷用比值判別法判斷級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n})的斂散性，結(jié)果為（）A.收斂B.發(fā)散C.無法確定D.條件收斂下列函數(shù)在(x\to\infty)時收斂的是（）A.(f(x)=x^2)B.(f(x)=\frac{1}{x})C.(f(x)=\sinx)D.(f(x)=e^x)級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2})的斂散性為（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無法判斷若數(shù)列(a_n)和(b_n)均發(fā)散，則數(shù)列(a_n+b_n)（）A.一定發(fā)散B.一定收斂C.可能收斂也可能發(fā)散D.斂散性與(a_n,b_n)無關(guān)下列說法正確的是（）A.收斂數(shù)列一定有界B.有界數(shù)列一定收斂C.發(fā)散數(shù)列一定無界D.無界數(shù)列一定收斂用比較判別法判斷級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)})的斂散性，可與下列哪個級數(shù)比較（）A.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n})B.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})C.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}})D.(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n)函數(shù)(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1})在(x\to1)時的極限為（）A.2B.1C.0D.不存在二、填空題（每題5分，共30分）若數(shù)列(a_n=\frac{2n^2+1}{n^2-3})，則(\lim_{n\to\infty}a_n=)________。級數(shù)(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n})的和為________。若級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}q^n)收斂，則(q)的取值范圍是________。數(shù)列(a_n=\frac{\sinn}{n})的極限為________。判別級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)})的斂散性：________（填“絕對收斂”“條件收斂”或“發(fā)散”）。(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=)________。三、解答題（共60分）（10分）判斷數(shù)列(a_n=\frac{n^2}{e^n})的斂散性，若收斂，求其極限。解析：由于(e^n)的增長速度遠快于多項式函數(shù)(n^2)，因此當(n\to\infty)時，(a_n\to0)。用洛必達法則驗證：設(f(x)=\frac{x^2}{e^x})，則[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}\stackrel{\text{洛必達}}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}\stackrel{\text{洛必達}}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0]故數(shù)列收斂，極限為0。（12分）用比較判別法判斷級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1})的斂散性。解析：由于(n^2+1>n^2)，則(\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2})。已知(p)-級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})（(p=2>1)）收斂，由比較判別法可知，原級數(shù)收斂。（12分）判斷級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{n^2+1})的斂散性，若收斂，說明是絕對收斂還是條件收斂。解析：（1）先判斷絕對收斂性：考慮正項級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1})。由于(\frac{n}{n^2+1}\sim\frac{1}{n})（當(n\to\infty)時），而(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n})發(fā)散，故原級數(shù)非絕對收斂。（2）再用萊布尼茨判別法判斷條件收斂：(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0)；令(f(x)=\frac{x}{x^2+1})，則(f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}<0)（當(x>1)時），故數(shù)列(\frac{n}{n^2+1})單調(diào)遞減。因此，原級數(shù)條件收斂。（14分）求極限(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n})。解析：利用重要極限(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e)，令(t=\frac{n}{2})，則(n=2t)，當(n\to\infty)時，(t\to\infty)。[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n}=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{6t}=\left[\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^6=e^6]（12分）設函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\a,&x=0\end{cases})，若(f(x))在(x=0)處連續(xù)，求(a)的值。解析：函數(shù)在(x=0)處連續(xù)的充要條件是(\lim_{x\to0}f(x)=f(0))。由于(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1)，因此(a=1)。四、綜合應用題（20分）某公司投資一項理財產(chǎn)品，第1年收益為10萬元，此后每年的收益是上一年的(\frac{9}{10})，同時每年需扣除固定成本3萬元。（1）求該公司前(n)年的總收益(S_n)；（2）判斷當(n\to\infty)時，總收益(S_n)是否收斂，若收斂，求其極限值。解析：（1）每年的收益構(gòu)成首項(a_1=10)，公比(q=\frac{9}{10})的等比數(shù)列，前(n)年收益總和為：[S_n'=\sum_{k=1}^n10\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}=10\cdot\frac{1-\left(\frac{9}{10}\right)^n}{1-\frac{9}{10}}=100\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^n\right]]扣除成本后的總收益為：[S_n=S_n'-3n=100\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^n\right]-3n]（2）當(n\to\infty)時，(\left(\frac{9}{10}\right)^n\to0)，但(3n\to\infty)，因此(S_n\to-\infty)，故總收益發(fā)散。知識點總結(jié)收斂與發(fā)散的核心定義：數(shù)列收斂：存在常數(shù)(L)，使得(\lim_{n\to\infty}a_n=L)；級數(shù)收斂：部分和數(shù)列(S_n=\sum_{k=1}^na_k)收斂。常用判別法：數(shù)列：夾逼準則、單調(diào)有界準則、洛必達法則；級數(shù)：比較法、比值法、根值法、萊布尼茨判別法（交錯級數(shù)）。重要結(jié)論：若級數(shù)收斂，則通項極限必為0（逆命題不成立）；(p)-級數(shù)(\sum\frac{1}{n^p})當(p>1)時收斂，當(p\leq1)時