2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合問題試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)((1,2))、((2,5))、((3,10))，則(f(x))的解析式為（）A.(x^2+1)B.(x^2+x)C.(x^2+x+1)D.(2x^2-x)解析：將三點(diǎn)代入函數(shù)式得方程組：[\begin{cases}a+b+c=2\4a+2b+c=5\9a+3b+c=10\end{cases}]解得(a=1)，(b=0)，(c=1)，即(f(x)=x^2+1)。答案：A2.函數(shù)(f(x)=-2x^2+4x+3)的最大值為（）A.5B.6C.7D.8解析：對(duì)稱軸為(x=-\frac{2a}=1)，代入得(f(1)=-2+4+3=5)。答案：A3.若二次函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+m^2-1)的圖像與(x)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則(m)的取值范圍是（）A.(m>1)B.(m<-1)C.(m\in\mathbb{R})D.無(wú)解解析：判別式(\Delta=4m^2-4(m^2-1)=4>0)，故無(wú)論(m)為何值，圖像與(x)軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)。答案：C4.函數(shù)(f(x)=x^2-4x+5)在區(qū)間([1,4])上的值域?yàn)椋ǎ〢.([1,5])B.([2,5])C.([1,2])D.([2,6])解析：對(duì)稱軸(x=2)，(f(2)=1)，(f(1)=2)，(f(4)=5)，值域?yàn)?[1,5])。答案：A5.已知二次函數(shù)(f(x))的圖像開口向下，且對(duì)任意(x)都有(f(2+x)=f(2-x))，則下列結(jié)論正確的是（）A.(f(1)<f(3))B.(f(1)>f(3))C.(f(1)=f(3))D.無(wú)法比較解析：由(f(2+x)=f(2-x))知對(duì)稱軸為(x=2)，則(f(1)=f(3))。答案：C6.函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)的圖像如圖所示，則(a)、(b)、(c)的符號(hào)為（）（圖像提示：開口向上，對(duì)稱軸在(y)軸右側(cè)，與(y)軸交于負(fù)半軸）A.(a>0)，(b>0)，(c>0)B.(a>0)，(b<0)，(c<0)C.(a<0)，(b>0)，(c<0)D.(a<0)，(b<0)，(c>0)解析：開口向上(\Rightarrowa>0)；對(duì)稱軸(x=-\frac{2a}>0\Rightarrowb<0)；與(y)軸交點(diǎn)(c<0)。答案：B7.若函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)在區(qū)間([t,t+2])上的最小值為2，則(t)的值為（）A.-1或1B.0或2C.-1或3D.0或1解析：對(duì)稱軸(x=1)，分三種情況討論：當(dāng)(t+2\leq1)（即(t\leq-1)）時(shí)，最小值(f(t+2)=(t+1)^2+2=2\Rightarrowt=-1)；當(dāng)(t\geq1)時(shí)，最小值(f(t)=(t-1)^2+2=2\Rightarrowt=1)；當(dāng)(-1<t<1)時(shí)，最小值(f(1)=2)，恒成立，但題目要求最小值為2，故(t=-1)或(1)。答案：A8.二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)滿足(f(x+1)-f(x)=2x)，且(f(0)=1)，則(f(x))的解析式為（）A.(x^2-x+1)B.(x^2+x+1)C.(x^2-2x+1)D.(x^2+2x+1)解析：由(f(0)=1\Rightarrowc=1)。又(f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+(a+b)=2x)，對(duì)比系數(shù)得(a=1)，(b=-1)。答案：A9.函數(shù)(f(x)=|x^2-4x+3|)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.([1,2]\cup[3,+\infty))B.((-\infty,1]\cup[2,3])C.([2,+\infty))D.((-\infty,2])解析：先求(y=x^2-4x+3)的零點(diǎn)(x=1)和(x=3)，圖像開口向上。絕對(duì)值函數(shù)將(x\in(1,3))部分翻折到上方，故遞增區(qū)間為([1,2]\cup[3,+\infty))。答案：A10.已知(f(x)=x^2-ax+1)，若對(duì)任意(x\in[1,2])，(f(x)\geq0)恒成立，則(a)的最大值為（）A.2B.(\frac{5}{2})C.3D.4解析：分離參數(shù)得(a\leqx+\frac{1}{x})，令(g(x)=x+\frac{1}{x})，在([1,2])上(g(x)_{\text{min}}=2)（當(dāng)(x=1)時(shí)），故(a\leq2)。答案：A二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.二次函數(shù)(f(x)=x^2-6x+5)的圖像與(x)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________。解析：令(f(x)=0)，解得(x=1)或(x=5)。答案：(1,0)，(5,0)12.函數(shù)(f(x)=-x^2+2x+8)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。解析：開口向下，對(duì)稱軸(x=1)，遞減區(qū)間為([1,+\infty))。答案：([1,+\infty))13.若二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)滿足(f(1)=f(3)=0)，且(f(2)=2)，則(f(x)=)________。解析：設(shè)(f(x)=a(x-1)(x-3))，代入(f(2)=a(-1)(-1)=a=2)，故(f(x)=2x^2-8x+6)。答案：(2x^2-8x+6)14.已知函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+2m+1)，若對(duì)任意(x\in[0,2])，(f(x)>0)恒成立，則(m)的取值范圍是________。解析：對(duì)稱軸(x=m)，分三種情況：(m<0)時(shí)，(f(0)=2m+1>0\Rightarrowm>-\frac{1}{2}\Rightarrow-\frac{1}{2}<m<0)；(0\leqm\leq2)時(shí)，(f(m)=-m^2+2m+1>0\Rightarrow1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}\Rightarrow0\leqm\leq2)；(m>2)時(shí)，(f(2)=4-4m+2m+1=-2m+5>0\Rightarrowm<\frac{5}{2}\Rightarrow2<m<\frac{5}{2})。綜上，(m\in\left(-\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right))。答案：(\left(-\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right))三、解答題（本大題共6小題，共70分）15.（10分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)的圖像頂點(diǎn)為((2,3))，且經(jīng)過點(diǎn)((3,1))，求(f(x))的解析式。解析：設(shè)頂點(diǎn)式(f(x)=a(x-2)^2+3)，代入點(diǎn)((3,1))得(a(1)^2+3=1\Rightarrowa=-2)，故(f(x)=-2(x-2)^2+3=-2x^2+8x-5)。16.（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+1)（(a\in\mathbb{R})），求(f(x))在區(qū)間([0,2])上的最大值與最小值。解析：對(duì)稱軸(x=a)，分四種情況討論：當(dāng)(a\leq0)時(shí)，最大值(f(2)=5-4a)，最小值(f(0)=1)；當(dāng)(0<a\leq1)時(shí)，最大值(f(2)=5-4a)，最小值(f(a)=1-a^2)；當(dāng)(1<a<2)時(shí)，最大值(f(0)=1)，最小值(f(a)=1-a^2)；當(dāng)(a\geq2)時(shí)，最大值(f(0)=1)，最小值(f(2)=5-4a)。17.（12分）某商店銷售一種商品，每件成本為40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為(x)元（(40\leqx\leq80)）時(shí)，每天的銷售量為(y=-2x+200)件。（1）求每天的利潤(rùn)(W)與銷售單價(jià)(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：（1）利潤(rùn)(W=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2x^2+280x-8000)；（2）對(duì)稱軸(x=70)，(W(70)=-2(70)^2+280\times70-8000=1800)元。18.（12分）已知函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)（(a>0)），若(f(x))的圖像與(x)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(A(x_1,0))、(B(x_2,0))，且(x_1<x_2)，(f(0)=-3)，(f(1)=-4)，(f(2)=-3)。（1）求(f(x))的解析式；（2）求(|AB|)的長(zhǎng)度。解析：（1）由(f(0)=c=-3)，(f(1)=a+b-3=-4)，(f(2)=4a+2b-3=-3)，解得(a=1)，(b=-2)，故(f(x)=x^2-2x-3)；（2）令(f(x)=0)，解得(x_1=-1)，(x_2=3)，則(|AB|=|x_2-x_1|=4)。19.（14分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+m^2-1)，(g(x)=f(x)-kx)。（1）若(g(x))為偶函數(shù)，求(k)的值；（2）若對(duì)任意(x\in[1,3])，(g(x)\geq0)恒成立，求(k)的取值范圍。解析：（1）(g(x)=x^2-(2m+k)x+m^2-1)，偶函數(shù)(\Rightarrow)一次項(xiàng)系數(shù)為0，即(2m+k=0\Rightarrowk=-2m)；（2）(g(x)=x^2-(2m+k)x+m^2-1\geq0)，分離參數(shù)得(k\leqx+\frac{m^2-1}{x}-2m)，令(h(x)=x+\frac{m^2-1}{x}-2m)，求(h(x))在([1,3])上的最小值即可（需結(jié)合(m)的取值討論，此處略）。四、附加題（20分）20.已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)（(a>0)）的圖像與(x)軸交于(A)、(B)兩點(diǎn)，與(y)軸交于點(diǎn)(C)，且(|AB|=2)，(\triangleABC)的面積為3。（1）求(c)