2025年上學期高二數(shù)學解三角形綜合試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，A=30°，則此三角形解的情況是（）A.一解B.兩解C.無解D.無法確定已知△ABC中，a=√3，b=1，B=30°，則角A的大小為（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=5，c=2，cosA=2/3，則b=（）A.√2B.√3C.2D.3某觀測站C在目標A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路上的B處有一人正沿公路向A走去，走20km到達D處，此時測得CD=21km，則此人距離A還有（）A.5kmB.10kmC.15kmD.20km在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=4，b=5，c=6，則cosC=（）A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2已知△ABC的面積為√3，b=2，c=2，則角A的大小為（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°一艘船以20海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔C在北偏東30°方向上，則B處與燈塔C的距離為（）A.10海里B.20海里C.20√3海里D.30海里在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形已知△ABC中，a=2，b=3，c=4，則△ABC的面積為（）A.3√15/4B.3√15/2C.√15/4D.√15/2某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進1000米后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為（）A.500(√3+1)米B.500√3米C.500(√2+1)米D.500√2米在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=√2，b=2，sinB+cosB=√2，則角A的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.150°二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=60°，b=1，S△ABC=√3，則a=________．已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，則△ABC的內切圓半徑r=________．如圖，為測量河對岸兩點A，B之間的距離，在岸邊選取C，D兩點，測得CD=200m，∠ACD=45°，∠ADC=60°，∠BCD=30°，∠BDC=60°，則AB=________m．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2=b2+bc+c2，則角A=________．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=1/3．（1）求c的值；（2）求sinA的值．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面積．（12分）如圖，在山腳C處測得山頂A的仰角為45°，沿著坡角為30°的斜坡前進1000米到達D處，在D處測得山頂A的仰角為60°，求山的高度AB．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB=3/5，a=7，且→AB·→BC=-21．（1）求c的值；（2）求sinA的值．（12分）某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA+sinC=psinB（p∈R），且ac=1/4b2．（1）當p=5/4，b=1時，求a，c的值；（2）若角B為銳角，求p的取值范圍．參考答案及評分標準一、選擇題B2.C3.C4.D5.C6.A7.D8.B9.D10.A11.A12.A二、填空題√1314.115.100√616.120°三、解答題（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/3=9，∴c=3；（5分）（2）由cosC=1/3得sinC=2√2/3，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，即2/sinA=3/(2√2/3)，解得sinA=4√2/9．（10分）（1）由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=1/2，A=60°；（6分）（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc，即12=16-3bc，解得bc=4/3，∴S△ABC=1/2bcsinA=1/2×4/3×√3/2=√3/3．（12分）設DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，設AB=x，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADE中，∠ADF=60°，設DF=y，則AF=√3y，BF=DE=CDsin30°=500，BD=CDcos30°=500√3，∵BC=BE+EC=DF+BDcos30°=y+500√3×√3/2=y+750=x，AB=AF+BF=√3y+500=x，解得x=500(√3+1)．（12分）（1）→AB·→BC=accos(π-B)=-accosB=-21，∵cosB=3/5，∴ac=35，又a=7，∴c=5；（6分）（2）由cosB=3/5得sinB=4/5，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=49+25-42=32，b=4√2，由正弦定理得sinA=asinB/b=7×4/5/(4√2)=7√2/10．（12分）設艦艇靠近漁船所需時間為t小時，則AB=21t，BC=9t，AC=10，∠ACB=45°+(180°-105°)=120°，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°，即441t2=100+81t2+90t，解得t=2/3（t=-5/12舍去），此時AB=14，BC=6，由正弦定理得sin∠BAC=BCsin120°/AB=6×√3/2/14=3√3/14，∠BAC≈21.8°，航向為45°+21.8°=66.8°．（12分）（1）由正弦定理得a+c=pb=5/4，ac=1/4