2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)分類加法計(jì)數(shù)原理試題一、填空題（單空題/概念填空）完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m?種不同的方法，第二類辦法中有m?種不同的方法……第n類辦法中有m?種不同的方法，那么完成這件事共有N=m?+m?+…+m?種不同的方法。在數(shù)字0-9這10個(gè)數(shù)字中選擇若干個(gè)數(shù)：(1)能組成1368個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為25的倍數(shù)的五位數(shù)；(2)能組成240個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且不大于5000的四位數(shù)。書架上原有5本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，要求不改變?cè)瓡捻樞颍灿?36種插入方法。將27，37，47，48，55，71，75這7個(gè)數(shù)排成一列，使任意連續(xù)4個(gè)數(shù)的和為3的倍數(shù)，則這樣的排列有144種。如圖，當(dāng)一條電路從A處到B處接通時(shí)，不同的線路共有18條（每條線路僅含一條通路）。如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在用7種顏色給5個(gè)小區(qū)域（A，B，C，D，E）涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有1620種。從八個(gè)連續(xù)整數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，若取出的三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)之差不為1，則這樣的取法總數(shù)為20種。對(duì)于n個(gè)不同的正整數(shù)，依次排列后若第一個(gè)數(shù)能整除最后一個(gè)數(shù)，則稱這樣的排列為“首末整除排列”?，F(xiàn)有2，3，4，6，8，則它們的“首末整除排列”共有28種。由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有360個(gè)。用4種不同的顏色給圖中6個(gè)區(qū)域染色，要求邊界有重合部分的區(qū)域染上不同的顏色，則不同的染色方法有732種。二、單選題現(xiàn)有3名醫(yī)生，5名護(hù)士，2名麻醉師。從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個(gè)醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？（）A.14B.19C.30D.200如圖，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對(duì)的頂點(diǎn)B，則其中經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有（）條。A.6B.8C.12D.16已知集合M={-2,0,1}，N={1,2,3}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中第一，二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.18B.17C.16D.10集合A={1,2}，B={-1,0,1}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則在第二象限內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.2B.4C.5D.6某校組織校慶活動(dòng)，由甲、乙、丙三名志愿者負(fù)責(zé)A、B、C、D四個(gè)任務(wù)，每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有且僅有一人負(fù)責(zé)，且A任務(wù)由甲負(fù)責(zé)，則不同的任務(wù)分配方法種數(shù)為（）A.12B.18C.24D.36為慶祝七一建黨節(jié)，某黨支部舉辦了建黨節(jié)演出活動(dòng)，該活動(dòng)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)情景類節(jié)目和2個(gè)朗誦類節(jié)目。若朗誦類節(jié)目不在第一個(gè)出場(chǎng)，情景類節(jié)目演出順序不相鄰，則不同的演出順序的種數(shù)為（）A.1560B.2640C.1360D.2340某地區(qū)是典型的鹽堿地區(qū)，農(nóng)技人員培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種?，F(xiàn)有A，B，C，D四塊鹽堿地，計(jì)劃種植這兩種旱堿麥，若要求這兩種旱堿麥都要種植，每塊鹽堿地種植一種旱堿麥，則不同的種植方案共有（）A.12B.14C.16D.18現(xiàn)有2位老師，3位女同學(xué)，4位男同學(xué)，派這些人去參加兩項(xiàng)活動(dòng)。要求老師參加活動(dòng)時(shí)至少帶上一位男同學(xué)和一位女同學(xué)，每個(gè)人只參加一個(gè)活動(dòng)且每個(gè)活動(dòng)至少一人參加，若不同的參與活動(dòng)的方法有N種，則N的值為（）A.120B.240C.360D.480三、解答題已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2}，B={-2,-1,0,1,2,3,4}。(1)從集合A中任取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從集合B中任取一個(gè)元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，一共可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)在(1)中組成的點(diǎn)中，位于第一、二象限的點(diǎn)有多少個(gè)？解：(1)分兩步完成：第一步確定橫坐標(biāo)，有6種選擇；第二步確定縱坐標(biāo)，有7種選擇。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×7=42個(gè)不同的點(diǎn)。(2)第一象限的點(diǎn)需滿足橫坐標(biāo)>0且縱坐標(biāo)>0：橫坐標(biāo)有2種選擇（1,2），縱坐標(biāo)有3種選擇（1,2,3,4中大于0的有4種，此處修正為4種），共2×4=8個(gè)；第二象限的點(diǎn)需滿足橫坐標(biāo)<0且縱坐標(biāo)>0：橫坐標(biāo)有3種選擇（-3,-2,-1），縱坐標(biāo)有4種選擇，共3×4=12個(gè)。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有8+12=20個(gè)。已知10名運(yùn)動(dòng)員中有6人只擅長(zhǎng)足球，3人只擅長(zhǎng)籃球，另外1人籃球與足球都擅長(zhǎng)。(1)若讓這10名運(yùn)動(dòng)員中所有擅長(zhǎng)籃球的運(yùn)動(dòng)員排成一排拍照，求其中還擅長(zhǎng)足球的運(yùn)動(dòng)員互不相鄰的排法種數(shù)；(2)從這10名運(yùn)動(dòng)員中選派5人參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求這5人中有3人擅長(zhǎng)足球，有2人擅長(zhǎng)籃球，求滿足條件的選派方法種數(shù)。解：(1)擅長(zhǎng)籃球的運(yùn)動(dòng)員共有4人（3名只擅長(zhǎng)籃球+1名全能）。先排3名只擅長(zhǎng)籃球的運(yùn)動(dòng)員，有A?3=6種排法，形成4個(gè)空位，將全能運(yùn)動(dòng)員插入空位，有A?1=4種方法，所以共有6×4=24種排法。(2)分三類：①全能運(yùn)動(dòng)員不選：C?3C?2=20×3=60；②全能運(yùn)動(dòng)員作為足球選手：C?2C?2=15×3=45；③全能運(yùn)動(dòng)員作為籃球選手：C?3C?1=20×3=60。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有60+45+60=165種選派方法。從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個(gè)數(shù)之和為X；從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個(gè)數(shù)之和為Y。求X+Y的值。解：對(duì)于X：三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的對(duì)立事件是三個(gè)數(shù)全為奇數(shù)?？?cè)》–?3=84，全奇數(shù)取法C?3=10，所以滿足條件的取法有84-10=74種。每個(gè)數(shù)被取到的次數(shù)為C?2=28（此處修正為每個(gè)數(shù)在所有組合中出現(xiàn)的次數(shù)），奇數(shù)和偶數(shù)分別計(jì)算求和后相加得X=1260。對(duì)于Y：兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的對(duì)立事件是兩個(gè)數(shù)全為奇數(shù)。總?cè)》–?2=10，全奇數(shù)取法C?2=3，滿足條件的取法有10-3=7種。計(jì)算所有滿足條件的數(shù)對(duì)之和得Y=44。因此X+Y=1260+44=1304。用1，1，1，1，2，4，6，8這8個(gè)數(shù)填入如圖所示的4×2格子中（要求每個(gè)數(shù)都要填入，每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)），若填入的每行數(shù)之和為偶數(shù)，則不同的填數(shù)方法共有多少種？解：每行和為偶數(shù)分兩種情況：①四個(gè)奇數(shù)（1）分布在兩行中，每行2個(gè)；②四個(gè)奇數(shù)分布在同一行。情況①：先將4個(gè)1分成兩組，有C?2/2=3種分法，再將這兩組1填入兩行，有A?2=2種，剩下的4個(gè)數(shù)填入剩余格子有A??=24種，共3×2×24=144種。情況②：4個(gè)1填入同一行，有2種選擇，剩下的4個(gè)數(shù)填入另一行有A??=24種，共2×24=48種。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總方法數(shù)為144+48=192種。擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為a,b,c，求a+b+c為偶數(shù)的概率。解：總基本事件數(shù)為6×6×6=216。a+b+c為偶數(shù)包括兩種情況：①三個(gè)數(shù)全為偶數(shù)；②兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)。情況①：偶數(shù)有2,4,6三個(gè)，每個(gè)位置有3種選擇，共3×3×3=27種。情況②：分三類（a奇b奇c偶、a奇b偶c奇、a偶b奇c奇），每類有3×3×3=27種，共3×27=81種?？傆欣录?shù)為27+81=108，概率為108/216=1/2。某校5名同學(xué)參加A，B，C三項(xiàng)志愿者服務(wù)工作，每名同學(xué)參加一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至多需要2名同學(xué)。若同學(xué)甲參加A工作，則不同的安排方法共有多少種？解：分兩類：①A工作安排2人（甲+1人）：從剩余4人中選1人，有C?1=4種；剩余3人安排到B、C兩項(xiàng)，每項(xiàng)至少1人，有C?2A?2=3×2=6種，共4×6=24種。②A工作安排1人（僅甲）：剩余4人安排到B、C兩項(xiàng)，每項(xiàng)2人，有C?2=6種。總方法數(shù)為24+6=30種。用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給如圖所示的五棱錐P-ABCDE的五個(gè)側(cè)面涂色，要求相鄰側(cè)面（有公共棱）所涂顏色不同，頂點(diǎn)P處的顏色與側(cè)面顏色無(wú)關(guān)，求不同的涂色方法種數(shù)。解：分兩種情況：①底面五個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的五邊形中，A與C同色；②A與C不同色。情況①：A有4種，B有3種，C與A同色（1種），D有3種，E有2種，共4×3×1×3×2=72種。情況②：A有4種，B有3種，C有2種，D有2種，E有2種，共4×3×2×2×2=96種?？偡椒〝?shù)為72+96=168種。現(xiàn)有5本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，從中任取兩本不同學(xué)科的書，共有多少種不同的取法？解：分三類：①數(shù)學(xué)書和物理書：5×4=20種；②數(shù)學(xué)書和化學(xué)書：5×3=15種；③物理書和化學(xué)書：4×3=12種。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有20+15+12=47種。用0-9這10個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求能被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？解：能被5整除的數(shù)個(gè)位為0或5。①個(gè)位為0：前四位從剩余9個(gè)數(shù)中選，有A??=9×8×7×6=3024個(gè)。②個(gè)位為5：萬(wàn)位不能為0，有8種選擇，中間三位從剩余8個(gè)數(shù)中選，有A?3=8×7×6=336個(gè)，共8×336=2688個(gè)?？倐€(gè)數(shù)為3024+2688=5712個(gè)。某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面旗子從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以掛一面、兩面或三面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分三類：①掛一面旗：3種；②掛兩面旗：A?2=3×2=6種；③掛三面旗：A?3=6種。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共3+6+6=15種信號(hào)。四、綜合應(yīng)用題如圖所示的電路圖中，從A到B共有多少條不同的通路？（每條通路中所有開關(guān)都閉合）解：電路可分為左側(cè)、中間、右側(cè)三條支路，每條支路的開關(guān)組合分別為：左側(cè)：2個(gè)開關(guān)串聯(lián)，1條通路；中間：3個(gè)開關(guān)并聯(lián)，3條通路；右側(cè)：先串聯(lián)后并聯(lián)，2條通路。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，總通路數(shù)為1+3+2=6條。某城市的街道如圖所示，從A地到B地要求只能向東或向北行走，求不同的最短路徑有多少條？若在C處有一路障不能通行，此時(shí)的最短路徑有多少條？解：無(wú)障礙物時(shí)，從A到B需向東4次，向北3次，共C??=35條路徑。經(jīng)過(guò)C處的路徑數(shù)：從A到C需向東2次向北1次（C?2=3），從C到B需向東2次向北2次（C?2=6），共3×6=18條。有障礙物時(shí)，最短路徑數(shù)為35-18=17條。用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)：(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；(2)大于3000且小于5421的四位數(shù)。解：(1)分三類：①個(gè)位為0：A?2=20；②個(gè)位為2：百位4種（不能為0），十位4種，共4×4=16；③個(gè)位為4：同②，16種?？偣灿?0+16+16=52個(gè)。(2)分四類：①千位為3：A?3=60；②千位為4：A?3=60；③千位為5，百位<4：百位3種（0,1,2,3），A?2=12，共3×12=36；④千位為5，百位=4，十位<2：十位1種（0,1），個(gè)位A?1=3，共1×3=3。總共有60+60+36+3=159個(gè)。某班級(jí)要從5名男生和4名女生中選出4人參加學(xué)校組織的知識(shí)競(jìng)賽，要求至少有1名男生和1名女生，且男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，求不同的選法種數(shù)。