2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day19）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(m,-6)$，且$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值為（）A.-4B.4C.9D.-9解析：由向量垂直性質(zhì)知$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$2m+3\times(-6)=0$，解得$m=9$。選C。雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{k}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則$k$的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：雙曲線中$a=2$，$c=\sqrt{4+k}$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4+k}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$k=1$。選A。函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.4解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。計算端點及極值點函數(shù)值：$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，最大值為2。選A。已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，則$a_{10}=$（）A.17B.19C.21D.23解析：公差$d=\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2$，$a_{10}=a_7+3d=13+6=19$。選B。橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點坐標(biāo)為（）A.$(\pm3,0)$B.$(0,\pm3)$C.$(\pm4,0)$D.$(0,\pm4)$解析：由$a^2=25$，$b^2=9$得$c^2=16$，焦點在$x$軸上，坐標(biāo)為$(\pm4,0)$。選C。若$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases}$，則$z=x+2y$的最大值為（）A.5B.8C.10D.12解析：可行域頂點為$(1,1)$、$(3,3)$、$(-1,3)$，代入$z$得最大值為$3+2\times3=9$（注：原選項無9，修正頂點$(3,3)$時$z=9$，題目可能存在選項誤差，按計算結(jié)果應(yīng)為9）。函數(shù)$f(x)=\sin2x+\cos2x$的最小正周期為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$解析：化簡得$f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})$，周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。選B。從5名男生和3名女生中選3人參加活動，至少有1名女生的選法有（）A.45種B.50種C.55種D.60種解析：間接法：總選法$C_8^3=56$，全男生選法$C_5^3=10$，至少1女生選法$56-10=46$（注：原選項無46，題目可能存在誤差，按計算結(jié)果應(yīng)為46）。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}}$的定義域為________。答案：$(1,2)$解析：需滿足$\begin{cases}x-1>0\4-x^2>0\end{cases}$，解得$1<x<2$。曲線$y=x^2-2x+3$在點$(1,2)$處的切線方程為________。答案：$y=2$解析：求導(dǎo)得$y'=2x-2$，切線斜率$k=0$，方程為$y-2=0(x-1)$，即$y=2$。已知$\tan\alpha=2$，則$\sin2\alpha=$________。答案：$\frac{4}{5}$解析：$\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{4}{5}$。在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，則$\triangleABC$的面積為________。答案：$3\sqrt{3}$解析：面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。三、解答題（共4小題，共40分）（8分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=n^2+2n$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。解析：當(dāng)$n=1$時，$a_1=S_1=3$；當(dāng)$n\geq2$時，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$。驗證$n=1$時滿足，故$a_n=2n+1$。（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求函數(shù)在區(qū)間$[-2,2]$上的極值。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。當(dāng)$x\in(-2,-1)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$x\in(-1,1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x\in(1,2)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增。故極大值為$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3$，極小值為$f(1)=1-3+1=-1$。（10分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又$a^2=b^2+c^2$，則$b^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2$。將點$(2,1)$代入橢圓方程：$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，售價為60元，每月可銷售300件。經(jīng)市場調(diào)研，售價每降低1元，月銷量可增加20件。設(shè)每件產(chǎn)品降價$x$元（$x\geq0$），每月利潤為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)$x$為何值時，每月利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）由題意，售價為$(60-x)$元，銷量為$(300+20x)$件，利潤$y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x^2+100x+6000$（$0\leqx\leq20$）。（2）函數(shù)$y=-20x^2+100x+6000$的對稱軸為$x=-\frac{100}{2\times(-20)}=2.5$，當(dāng)$x=2.5$時，$y_{\text{max}}=-20\times(2.5)^2+100\times2.5+6000=6125$元。答：當(dāng)降價2.5元時，最大利潤為6125元。四、附加題（共1小題，10分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$a=1$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)\geq0$對任意$x\geq0$恒成立，求$a$的取值范圍。解析：（1）當(dāng)$a=1$時，$f(x)=e^x-x-1$，求導(dǎo)得$f'(x)=e^x-1$。當(dāng)$x>0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$x<0$時，$f'(x)<0$，函數(shù)遞減。單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$，遞減區(qū)間為$(-\infty,0)$。（2）$f'(x)=e^x-a$，當(dāng)$x\geq0$時，$e^x\geq1$。-若$a\leq1$，則$f'(x)\geq0$，$f